KOSINUSNI
IZREK
V raznostraničnem trikotniku ABC načrtaj
višino v
= CD, ki razdeli stranico c v dva dela:
AD = x in BD = c - x
V pravokotnem trikotniku ADC je po Pitagorovem izreku :
v
=
b
- (c – x)2
V pravokotnem trikotniku DBC
pa je po istem izreku:
v= a- x2 
Izenačimo oba izraza, ki smo ju našli za v:
a2 - x2 = b2 – (c – x)2
a2 - x2 = b2 - (c2 -2cx + x2)
a2 - x2 = b2 - c2 +2cx - x2
a2 = b2 - c2 + 2cx
a2 + c2 - 2cx = b2
b2 = a2 + c2 - 2cx
Neznani odsek x izrazimo s stranico a in s kotom b
cos
b
= 
x = a . cos b
Zato je:
b= a+ c- 2 . a . c . cos
b
Če bi
načrtal namesto vvišino va ali vb bi lahko izpeljal
enako zvezo med stranicami in enim kotom :
a2 = b2 + c2 – 2.b .c . cos a
c2 = a2 + b2 – 2. a. b . cos g
Vsi trije obrazci skupaj izražajo kosinusni izrek, ki se glasi:
Kvadrat stranice je enak vsoti kvadratov drugih dveh stranic, zmanjšani za dvojni produkt teh dveh stanic s kosinusom kota, ki ga ti dve stranici oklepata.
a = b + c - 2 . b . c . cos
a
b = a + c - 2 . a . c . cos
b
c = a + b - 2 . a .b . cos
g
P R I M E R I :
a) Znani sta dve stranici in kot, ki ga oklepata:
1. Reši trikotnik s podatki a = 7m, b = 5,5m, g = 54º31'
|
A |
|
B |
|
C |
|
a |
|
b |
c
= ? a
= ? , b
= ? Skica:
Uporabi kosinusni izrek :
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos g
c2 = 72 + 5,52 - 2.7.5,5.cos 54º31'
c2 = 49+30,25 - 77.0,58046
c2= 34,5548
c =
=5,878=5,88
c= 5,88m
Kot a bi lahko izračunal po sinusnem izreku sin a : sin g = a : c !
Izračunal ga boš iz kosinusnega izreka:
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos a
a2 - b2 - c2 = - 2bc.cos a/(-1)
b2 + c2 - a2 = 2bc.cos a/ delimo z 2bc
cos
a
=
cos
a
=
cos a = 0,24466
a = 75º50'
Kot b dobiš iz obrazca za vsoto kotov v triktniku.
b = 1800 – (a + g)
b) Znane so vse tri stranice trikotnika:
|
A |
|
B |
|
C |
|
a |
|
b |
|
c |
1.
Reši trikotnik s podatki a = 95cm, b = 102cm, c = 120cm
a, b, g = ? Skica:
Iz
a2
= b2 + c2 – 2. b . c . cos
a
dobiš cos
a
=
Iz b2
= a2 + c2 – 2. a . c . cos
b
dobiš
cos
b
=
iz c2
=a2 + b2 – 2. a. b . cos
g
dobiš
cos
g
=
cos
a = 49052’
Izračunaj še ostala kota.
cos b = …………….
b = …………………
cos g =…………….
g = ……………….