| Osnovni
pojmi Aksiom: Dve različni točki določata natanko eno premico. |
Dve točki in premica |
| To pomeni, da sta dve točki
dovolj, da zapišemo enačbo premice ... a to ni dejavnost geometrije.
Nam zadostuje dejstvo, da lahko z dvema točkama že veliko več počnemo
... nimamo 'samo' dveh točk, ampak s tem tudi celo premico. |
|
| Definicija: Točke A, B, C, D ... , ki ležijo na isti
premici so kolinearne, če ne
ležijo na isti premici, pa so nekolinearne. |
Kolinearne točke |
| Aksiom: Tri nekolinearne točke
določajo natanko eno ravnino. |
|
| To pomeni, da moramo poiskati
tri nekolinearne točke, da določimo lego ravnine. Predstavljate si, da
imamo samo dve poljubni točki oziroma, če smo bolj praktični, imamo dve
oporni točki in knjigo. A lahko knjigo držimo v zraku s tema dvema
točkama? Možno sicer je, če smo izbrali težišče, a ko govorimo o
poljubnih točkah, bi za stabilnost naše konstrukcije izbrali vsaj še
eno
točko. Pa še ta ne bi bila na isti premici kot prejšnji dve! |
|
| Tudi točke, ki ležijo na eni
ravnini imajo posebno ime, kot ga imajo točke, ki ležijo na eni premici: |
|
| Komplanarnost Definicija: Točke A, B, C, D ..., ki ležijo na isti ravnini, so komplanarne, če pa ne ležijo na isti ravnini, pa so nekomplanarne. |
Komplanarne točke |
| Zdaj pa spet nekaj, kar je
očitno res. Ne pozabimo, da govorimo o premici in ravnini, torej o
nečem, kar je 'ravno'. |
|
| Aksiom: Če ima premica z dano
ravnino dve različni skupni točki, je premica vsebovana v ravnini. |
Premica v ravnini |
| Da je premica vsebovana v
ravnini pomeni, da leži v ravnini. Včasih rečemo tudi, da je premica p podmnožica ravnine in tako tudi zapišemo. Govorimo pa seveda o množicah in podmnožicah točk, ki jih ta dva objekta sestavljata. Zdaj pa je na vrsti naš prvi izrek. Tako očiten, da ga težko ločimo od aksioma. |
|
| Izrek: Dve različni premici imata
največ eno skupno točko. |
|
| Malo razmislimo ... kako bi to
dokazovali? S protislovjem. Recimo, da imata dve različni premici dve skupni točki. Dve točki pa določata natanko eno premico, kot pravi zgornji aksiom, pa smo prišli do protislovja, saj smo v izreku predpostavili, da sta premici različni, ne pa da lahko sovpadata. |
|
| Presečišče
premic Definicija: Če imata dve premici natanko eno skupno točko, se sekata. Skupno točko pa imenujemo presečišče. Premici, ki ležita na isti ravnini in nimata nobene skupne točke ali, ki sovpadata, sta vzporedni. Premici, ki ne ležita v isti ravnini in nimata nobene skupne točke, sta mimobežni. |
Dve premici Vzporedni premici |
| Mimobežnice je težko narisati v
zvezek, ki je projekcija prostora v ravnino, pa tudi v R.i.Š.-u je bilo
težko, ker zgleda kot da so narisane ali vzporednice ali pa premice, ki
se sekajo. Jaz si v razredu pomagam z nabodali za peko na žaru. Vam pa
to sliko prepuščam domišljiji. |
|
| Izrek: Ravnina je enolično določena: - s premico in točko, ki ne leži na tej premici, - z dvema premicama, ki se sekata, - z dvema vzporednima premicama. |
Ravnina |
| Torej ... ravnina je določena s
tremi točkami in te tri točke je potrebno poiskati na teh objektih ...
in s tem je izrek tudi dokazan. |
|
| Premica in
ravnina Definicija: Ravnini, ki nimata nobene skupne točke ali pa imata vse skupne točke (to pomeni, da sovpadata) sta vzporedni. Premica in ravnina sta vzporedni, če nimata nobene skupne točke ali pa premica leži v ravnini (in imata zato vse skupne točke). Premica, ki ima z ravnino natanko eno skupno točko, ravnino prebada. To točko imenujemo prebodišče. |
Vzporedni ravnini Prebodišče |
| Izrek: Če sta dve premici vzporedni
tretji premici, sta medsebojno vzporedni. |
|
| Pravzaprav je vzporednost
ekvivalenčna relacija in ena izmed lastnosti takšne relacija je tranzitivnost oziroma prehodnost. Sicer pa je tudi to ena
izmed očitnih lastnosti, a ne? :) |
|
| Razdalja med točkama Definicija: Poljubnima točkama A in B v prostoru pripada nenegativno realno število d(A,B), ki ga imenujemo razdalja med točkama A in B. |
|
| Seveda ne bomo 'računali'
razdalje med dvema točkama in ne bomo na tem mestu niti omenjali
formule za razdaljo med točkama. Je pa razdalja dolžina najkrajše
povezave med točama. Kaj pa pomeni izraz nenegativno število? Seveda je to vsako realno število, ki ni negativno ... torej je pozitivno ali pa enako nič. Kdaj pa je razdalja med dvema točkama enaka nič? A je to sploh možno? Seveda! Če sta točki enaki. Kakšni pa so še položaji točk? Poglejmo: |
|
| Aksiom: Če imamo na premici tri
točke, potem ena izmed njih leži med drugima dvema. |
Ena točka med dvema točkama |
| To pa res ne sodi v nobeno
drugo karegorijo kot v skupino asiomov, a ne? A zakaj jih pišemo, če so tako očitni? Ker se bomo na ta aksiom še kmalu sklicevali. Pa na tega naslednjega tudi ... ki sicer ni tako očiten kot prejšnji, a je s pomočjo ustrezne dinamične (!) slike lažje razumljiv. |
|
| Aksiom: Če sta A in B različni točki premice p, potem na premici p ležita vsaj še točki C in D in sicer tako, da C leži med točkama A in B, D pa tako, da C leži med A in D. |
Štiri točke |
| Tako, zdaj pa si oglejmo
posledico obeh zgornjih aksiomov. |
|
| Izrek: Med dvema različnima točkama
premice je neskončno mnogo točk. |
|
| In ta pomembna ugotovitev sledi
le iz dveh aksiomov. Število točk se kar množi ... do neskončno. |
|
| In na tem mestu je že čas, da ob
nalogah obnovimo znanje. Z dijaki smo se preselili v računalniško
učilnico, kjer je imel vsaj vsak par dijakov en računalnik, pa seveda
projektor, za projeciranje na tablo. In na tem mestu so me rešili dijaki. Hvala! Seveda na vseh računalnikih ni bilo R.i.Š-a in je dijak (brez tega, da bi ga prosila) vstal, šel okrog po razredu in na računalnikih namestil ta program. Pa še moj računalnik smo zasedli z dijaki, tako, da sem lahko bila v pomoč dijakom pri računalnikih. Torej ... po nekaj urah so me zamenjali ... nekaj slik, ki so narejene na tej strani, so naredili moji dijaki ... pri rednih urah in brez velike pomoči z moje strani. |
|
| Osnovni
učbenik, po katerem delamo geometrijo v prvem letniku, je Linea od Dušana Kavke. Nalogi 738
in 739 sta na strani 195. |
Naloga 738 Naloga 739 |
| Daljica Definicija: Množica točk premice, ki ležijo med različnima točkama A in B (vključno z A in B) je daljica AB. Točki A in B sta krajišči daljice AB. Poljubna točka razdeli premico na dva poltraka. To točko imenujemo izhodišče poltraka. Premica, na kateri leži daljica lai poltrak pa je premica nosilka. Vsaka premica razdeli ravnino na dve polravnini. Ta premica je rob polravnine. |
Daljica, poltrak |
| Potem smo reševali še nalogi 741
in 742 na strani 195, ki sta tudi vezani na osnovne definicije. |
|
| Do sedaj smo govorili le o
točkah, premicah in ravninah. A seveda lahko marsikaj iz njih tudi
sestavljamo ... recimo like. Kakšna pa je osnovna definicija lika? |
|
| Lik Definicija: Enostavni lik je množica točk v ravnini, katero omejuje sklenjena krivulja, ki sama sebe ne seka. |
|
| Za protiprimer enostavnega lika
si izbernimo prostonarisan lik ... malo večjo osmico. Seveda to ni
enostaven lik, po definiciji seveda ... narisati ga je že enostavno! :)
To ni enostaven lik, ker ga omejuje (sicer sklenjena) krivulja, a se ta krivulja seka! |
|
| Definicija: Množica točk v ravnini
je konveksna, če za poljubni
točki A in B iz te množice velja, da je
daljica AB njena podmnožica. |
|
| Torej, če se spet vrnemo k
prejšnjemu primeru ... a je 'osmica' konveksna množica? Izberimo si
poljubni točki znotraj 'osmice' in ju povežemo, a je daljica v celoti
vsebovana v 'osmici'? Odvisno od lege daljice, seveda. A če je ena
točka v zgornji zanki in druga točka v spodnji zanki 'osmice', potem
njuna povezava oziroma daljica verjetno ne leži v celoti v tem liku.
Zato ta lik ni konveksna množica, oziroma rečemo tudi, da je konkavna. Lep primer konveksne in nekonveksne množice sta krog in krožnica. Seveda je treba paziti ... to dvoje ni enako! Krožnica je le rob kroga in je nekonveksna množica, krog pa je konveksna množica. |
|
| Kot Definicija: Dva poltraka s skupnim izhodiščem razdelita ravnino na dva kota (konveksnega in nekonveksnega). Vsak od teh dveh kotov ima dana poltraka za kraka, skupno izhodišče poltrakov pa je vrh obeh kotov. |
Kot |
| Kraka in vrh pripadata kotu,
zato je treba nekako to upoštevati pri zapisu kota. Kot zapišemo s
krakoma ali pa s točkama, ki ležita na krakih. Torej kot AVB je kot, ki ima vrh v
točki V, na enem kraku je
točka A, na drugem pa točba B. Pomembno je le, da je vrh
zapisan na sredini tega zapisa. Poleg tega na sliko ponavadi označimo kateri kot gledamo ... konveksnega ali nekonveksnega. To pa označimo z lokom, ki povezuje oba kraka. |
|
| Obstajajo pa koti, ki imajo
svoje ime ... se pač večkrat pojavljajo in je s tem poenostavljeno delo
z njimi. Poznamo: - iztegnjen kot (kot, ki ima oba kraka na eni premici) - sosednji kot (kot, ki ima z drugim kotom skupni krak) - sokot (poseben primer sosednjih kotov, katerih vsota oziroma unija je iztegnjen kot) - sovršni kot (dve sekajoči se premici določata pare sovršnih kotov) - polni kot (oba kraka sovpadata) - ničelni kot (tu tudi oba kraka sovpadata, a gledamo kot, ki ni polni kot) |
Sosednja kota Polni ničelni in iztegnjeni kot |
Začeli smo govoriti o likih in o kotih. Lahko pa govorimo o prav posebnih likih in sicer o večkotnikih in še o najbolj pogostem ... o trikotniku. Sledi nekaj zelo očitnih definicij: |
|
| n - kotnik Definicija: n- točk v ravnini (nobene tri zaporedne točke niso kolinearne) določa n - kotnik. Te točke so oglišča n-kotnika, daljice, ki povezujejo sesednji oglišči so stranice n-kotnika, daljice, ki pa povezujejo nesosednja oglišča pa so diagonale n-kotnika. |
|
| Razmislimo o številu diagonal v
poljubnem n-kotniku. Imamo n oglišč. Iz vsakega oglišča povežemo največjo možno število diagonal. Diagonale ne moremo potegniti do dveh sosednjih oglišč in do oglišča samega. Torej 3 oglišča manj. Seveda so diagonale zdaj štete dvakrat, zato je treba produkt n(n-3) še deliti z 2. Zdaj pa iz splošne definicije za poljubni n - kotnik, definicija '3 - kotnika' oziroma trikotnika. |
|
| Trikotnik Definicija: Tri nekolinearne točke A, B in C določajo trikotnik ABC, kjer točke A, B in C imenujemo oglišča, daljice AB, AC in BC pa so stranice trikotnika ABC. Koti BAC, ACB in ABC so notranji koti trikotnika. Njihovi sokoti pa so zunanji koti trikotnika. |
|
| Tem definicijam je sledilo
reševanje nalog v Linei na strani 195 in sicer vse naloge od 745 do 749. |
| Seveda je najprej potrebno
vpeljati pojem skladnosti. Najprej splošno nato pa na konkretnih objektih: na daljicah, kotih in trikotnikih. |
|
| Skladnost Definicija: Dva lika L in K sta skladna, če lahko lika prenesemo tako, da se popolnoma prekrivata. |
|
| Seveda ima tudi ta relacija med
liki določene lastnosti. Pravzaprav je skladnost ekvivalenčna relacija
(tako kot vzporednost). In kot vsaka ekvivalenčna relacija ustreza
nekim določenim pogojem, ki so naslednji: - refleksivnost (pomeni, da je lik L skladen sam sebi); - simetričnost (če le lik L skladen z likom K, potem je tudi lik K skladen z likom L); - tranzitivnost (če je lik L skladen z likom K in je lik K skladen z likom M, sta seveda tudi lika L in M med seboj skladna). Čisto očitne lastnosti, pa vendar pomembne. Poglejmo si zdaj konkretne primere. Kdaj bi lahko rekli za poljubni dve daljici, da sta skladni? Konkretno ... kdaj se bosta dve daljici prekrivali? Če ne drugega, potrebujeta enako dolžino. Definirajmo jo: |
|
| Dolžina daljice Definicija: Dolžina daljice AB je razdalja med točkama A in B. Oznaka |AB|=d(A,B). |
|
| Izrek: Skladni daljici imata enako
dolžino. |
|
| Torej ... za skladnost dveh
daljic je potrebna samo enaka dolžina daljic. Seveda, saj je skladnost
v bistvu preslikava v ravnini, ki prenese oziroma premakne ustrezno
daljico na drugo, tako da se prekrivata. Seveda, pa prenašanje daljic ni edino, kar lahko počnemo z daljicami. Naslednji izrek nam pove, da lahko daljice seštevamo ... seveda pa je posledica tega tudi, dajih lahko odštevamo. |
|
| Izrek: Dolžina vsote daljic je enaka
vsoti dolžin posameznih daljic. |
|
| Tako, pa smo spet pristali pri
dolžinah ... A to ne pomeni, da kar izmerimo dolžine daljic in jih
seštejemo in narišemo sešteto daljico. Ne, v geometriji tega ne
počenjamo. Tu le prenesemo dolžine in ne govorimo o centimetrih ali
metrih ... ampak dolžine prenesemo s šestilom. Popolnoma enaka dolžina
... pa sploh ne vemo, kako dolga je premica. Kako univerzalna je
geometrija! Ne glede na različne merske enote! :) Enako lahko razmislimo še za kote. Kdaj bosta dva kota skladna? Seveda, natanko tedaj ko bosta enako velika ... v nasprotnem primeru se ne bi prekrivala. Lep primer skladnih kotov je par sovršnih kotov. Treba bo še nekaj povedati o merskih enotah za kote. |
|
| Kotne stopinje Definicija: Kotna stopinja je 360. del kroga. Iz kotne stopinje so potem izpeljane še manjše enote, kotne minute in kotne sekunde: 1° = 60' = 3600'' |
|
| V okviru matematike izpuščamo
izraz 'kotne' stopinje, uporabljamo le stopinje ... saj vsi vemo, da ne
govorimo o temeraturi zraka v bližini kotov. :) Seveda pa to ni edina merska enota. Omeniti bo treba še radiane. Čeprav se v geometriji ne uporabljajo tako pogosto, imajo zelo lepo geomerijsko definicijo: En radian je središčni kot, katerega dolžina loka je enaka polmeru kroga. Merske enote za kote smo definirali za lažje definicije naslednjih pomembnih pojmov. |
|
| Komplementarni koti Definicija: Kota, katerih vsota meri 90°, sta komplementarna. |
|
| Velikost obeh kotov, merjena v
(kotnih) stopinjah mora znesti ravno 90°. To je zelo lepa lastnost dveh
kotov. Seveda tu sploh ni nujno, da bi bila to sosednja kota. |
|
| Suplementarni koti Definicija: Kota, katerih vsotaa meri 180°, sta suplementarna kota. |
|
| Če malo obnovimo definicije
kotov, lahko rečemo,da sta dva sokota vedno suplementarna. |
|
| Zdaj pa k prečudoviti definiciji
pravega kota. Dijake na tem mestu rado zavede v to smer: Pravi
kot je kot, ki meri 90°. Ne, ne ... |
|
| Pravi kot Definicija: Kot, ki je skladen s svojim sokotom, je pravi kot. |
Pravi kot |
| A ni to čudovita definicija? :) Torej, pravi kot lahko prekrijemo z njegovim sokotom. Tako zdaj pa vse vemo ... kdaj sta daljic skladni in kdaj sta kota skladna. Oboje potrebujemo za defincijo skladnosti dveh trikotnikov ... torej to, kar smo hoteli sploh dobiti z definicijo skladnosti likov. |
|
| Skladnost
trikotnikov Definicija: Dva trikotnika sta skladna, če imata skladne vse stranice in vse kote. |
|
| Na to definicijo se bomo sedaj
kar nekaj časa vračali. Torej, če bi hoteli po zgornji definiciji
dokazovati, da sta dva trikotnika skladna, bi morali preveriti šest
stvari (3 stranice in 3 koti). To je kar veliko, zato nam aksiom in
naslednji
izreki zelo pomagajo. |
|
| Aksiom: Dva trikotnika sta skladna,
če se ujemata v dveh stranicah in v vmesnem kotu. |
Skladnost trikotnikov 1 |
| Torej za skladnost zadostujejo
trije podatki (2 stranici in en kot). Ko govorimo o vmesnem kotu, mislimo seveda na kot, ki leži med stranicama ozriroma sta stranici kraka kota. Ponekod je ta aksiom označen kot SKS, kar pomeni naslednjo zvezo stranica - kot - stranica. Pravzaprav nam ta aksiom omogoča risanje oziroma konstruiranje trikotnikov in sicer s tremi podatki. Podobno velja še za naslednje tri izreke o skladnosti trikotnikov. |
|
| Izrek: Dva trikotnika sta skladna,
če se ujemata v eni stranici in obeh priležnih kotih. |
Skladnost trikotnikov 2 |
| Ta izrek je znan kot KSK
kriterij (kot - stranica - kot). Kaj sta priležna kota? Seveda notranja
kota trikotnika, ki ležita ob stranici. |
|
| Izrek: Dva trikotnika sta skladna,
če se ujemata v vseh treh stranicah. |
Skladnost trikotnikov 3 |
| Povsem jasno je, da bomo ta
izrek poimovali SSS. Pa še zadnji izrek o skladnosti trikotnikov: |
|
| Izrek: Dva trikotnika sta skladna,
če se ujemata v dveh stranicah in v kotu, ki leži nasproti daljši od
obeh stranic. |
Skladnost trikotnikov 4 |
Seveda se je treba naučiti uporabljati te izreke. Uporablja se za dokazovanje skladnosti trikotnikov. In ko imamo enkrat dokazano, da sta dva trikotnika skladna, potem iz tega sladi, da so posamezne stranice enako dolge in koti enako veliki. Zelo uporabno! Dokazovanja smo se učili na naslednjih dveh nalogah iz Legiše Matematika 1, Geometrija v ravnini. |
1. naloga 2. naloga |
| Konstrukcije trikotnikov In kakor je bilo že prej rečeno lahko na podlagi izrekov o skladnosti trikotnikov trikotnike konstruiramo. Seveda je tudi geometrijska konstrukcija nekaj posebnega ... posebni postopek. Najprej je potrebno znati prebrati oznake, dolžine in velikosti iz novodila naloge. Zaenkrat bomo konstruirali samo trikotnike. Torej najprej narišemo skico (v zvezek s svinčnikom in s prosto roko) trikotnika, nato pa označimo vse znane (oglišča, stranice, kote) in podane količine trikotnika, ki jih še posebej označimo (recimo obkrožimo) ter označimo še tiste, ki jih bomo kot vmesni rezultat dodatno dobili. Ob vsem tem razmislimo, kako bi trikotnik konstruirali, če pa je konstrukcija zahtevnejša, pa postopek konstrukcije tudi zapišemo. Ko smo končali s tema dvema korakoma, gremo na dejansko konstrukcijo. Zdaj vzamemo v roke geometrijsko orodje, kajti z ravnilom rišemo stranice, kote in krožnice pa konstruiramo s šestilom. S tem postopku smo konstrurali trikotnika naloge 763 v Linei na strani 200. |
Naloga 763 |
| Konstrukcije kotov Ob tem pa je treba ponoviti kostrukcije 'znamenitih' kotov. To so koti 30°, 45°, 60°, 90° in 120°. Pravzaprav vsi ti koti izhajajo iz konstrukcije kota 60°. Recimo kot 30° je le razpolovljen kot 60°, kot 120° pa je le dvakratnik kota 60°. Z ustreznim seštevanjem dobimo iskani kot, recimo kot 75° = 60° + 15°. |
Kot 60° Koti 45°, 60°, 120° |
| Sledi znameniti peti aksiom o
vzporednici ... seveda Evklidov. O tem akiomu se je v zgodovini
matematike veliko razglabljalo, matematikom se je ta aksiom zdel
bolj kot izrek, ne pa kot aksiom. Ravno ta razcep je pripeljal v 19.
stoletju do razvoja novih smeri geometrije ... torej do neevklidske
geometrije, kjer ima lahko trikotnik vsoto notranjih kotov večjo od
180° ali pa premice niso ravne, ampak so krivulje ... To se nam zdi
nemogoče, glede na naše vsakdanje izkušnje, ampak je tudi takšna
geometrija logična in ustreza nekemu sistemu aksiomov. Čudno se nam zdi
le zato, ker živimo v 'evklidskem svetu'! :) No, no ... pa poglejmo: |
|
| Aksiom o
vzporednici Aksiom: Skozi izbrano točko, ki ne leži na premici, lahko k tej premici narišemo natanko eno vzporednico. |
|
| Seveda govorimo o ravnini ... da
nas ne bo zaneslo v prostor. |
|
| Koti z vzporednimi kraki Definicija: Če dve vzporednici sekamo s premico, dobimo dve presečišči, ob njiju pa pare kotov z vzporednimi kraki. |
Koti z vzporednimi kraki |
| Ob presečišču teh premic smo
dobili pare sovršnih kotov in že prej smo dejali, da so to primeri
skladnih kotov ... A to pomeni, da so koti z vzporednimi kraki
vedno skladni? Oglejmo si naslednji izrek: |
|
| Izrek: Para konveksnih kotov z
vzporednimi kraki sta ali skladna ali suplementarna. |
Suplementarni koti |
| Vsaj za razumevanje
suplementarnosti kotov z vzporednimi kraki si je potrebno ogledati
pripadajočo sliko narisano z R.i.Š.-om. Toliko o vzporednosti ... osnovno definicijo o pravem kotu bomo sedaj dopolnili še z naslednjimi pojmov vezanimi na pravokotnost. |
|
| Pravokotnica Definicija: Pravokotnica je premica, ki dano premico seka pod pravim kotom. |
|
| In podobno kot peti aksiom o
vzporednici, sledi izrek o pravokotnici. |
|
| Izrek: V ravnini je na dano premico
mogoče skozi izbrano točko narisati natanko eno pravokotnico. |
|
| To je izrek ... kako bi ga
dokazali? S protislovjem ... |
|
| Pravokotnost uporabljamo tudi
pri projeciranju ... v tem primeru gre za pravokotno projeciranje. |
|
| Pravokotna
projekcija točke na premico Definicija: Pravokotna projekcija točke T na premico p je točka T', ki leži na presečišču premice p in pravokotnice skozi točko T na premico p. To je točki T najbližja točka premice p. |
Projekcija točke |
| Zakaj je to najbližja točka
premice? Če bi si izbrali poljubno drugo točko te premice, ki ni enaka
točki T' dobimo pravokotni
trikotnik, in ker v vsakem trikotniku velja trikotniška neenakost, je
to res najkrajša razdalja. Kaj pa sploh je razdalja od točke do premice? |
|
| Razdalja točke od premice Definicija: Razdalja točke T do premice p je d(T, p) = d(T, T') = |TT'|, kjer je T' pravokotna projekcija točke T na premico p. |
|
| Sedaj vemo, kaj je pravokotna
projekcija točke na premico, kako pa bi lahko pravokotno projecirali
daljico na premico? Koliko točk bo potrebno pravokotno projecirati na premico, da bomo dobili pravokotno projekcijo daljice na premico? Oglejmo si naslednjo definicijo: |
|
| Pravokotna
projekcija daljice na premico Definicija: Pravokotna projekcija daljice AB na premico p je daljica A'B', kjer sta njeni krajišči (A' in B') pravokotni projekciji točk A in B na premico p. |
Projekcija daljice |
| Pravokotne projekcijo bomo
potrebovali pri naslednji množici preslikav, to je pri togih
preslikavah. |
| Najprej bo seveda potrebno
definirati te preslikve v ravnini. Toge preslikave so preslikave, ki
slikajo iz ravnine vase ... kar pomeni, da bomo ostali v ravnini. |
|
| Toge preslikave Definicija: Toga preslikava ali gibanje je taka preslikava v ravnini, ki ohranja medsebojne razdalje točk. d(A, B) = d(A', B'), kjer sta A' in B' s togo preslikavo preslikani točki A in B. Toga preslikava preslika lik v skladen lik. |
|
| Torej bi lahko tudi s pomočjo
defincije togih preslikav definirali skladne like. Saj se ohranjajo
razdalje in če se vrnemo na trikotnik in na izrek, da sta
trikotnika skladna, če imata skladne vse tri stranice ... je jasno, da
se trikotnik preslika v skladni trikotnik s pomočjo toge preslikave. |
|
| Obstjajo štiri različne toge
preslikave in sicer: - vzporedni premik za usmerjeno daljico oziroma za vektor; - vrtenje okrog točke za dan koti; - zrcaljenje preko točke; - zrcaljenje preko premice. Vse te primere si oglejmo za primer trikotnika. Primer trikotnika je še posebej zanimiv zaradi orientacije trikotnika, ki se z enim togim premikom spremeni, pri vseh ostalih se pa ohranja. Trikotnik spremeni orientacijo, je pa še vedno skladen. To pomeni, če bi bil narisan na foliji, bi folijo s togim premikom obrnili. Kaj pa sploh pomeni orintacija trikotnika? Če oglišča označimo z A, B in C smeri urinega kazalca, je trikonik negativno orientiran, če pa v smeri obratno od smeri urinega kazalca, je trikotnik pozitivno orientiran. |
Vzporedni premik Vrtenje okrog točke Zrcaljenje čez točko Zrcaljenje čez premico |