Kazalo poglavij

Funkcije

Risanje grafov funkcij

Abecedno kazalo

Lastnosti funkcij

Naj bo f realna funkcija realne spremenljivke. Oglejmo si nekaj najpomembnejših lastnosti, ki nas zanimajo pri taki funkciji.

Injektivnost, surjektivnost, bijektivnost

• Funkcija je injektivna, če preslika različne podatke v različne rezultate:
    ∀x₁, x₂:    x₁ ≠ x₂   ⇒   f (x₁) ≠ f (x₂)
  
  
• Funkcija f :  A → B je surjektivna, če je vsak element množice B slika nekega elementa x iz množice A.
  To pomeni, da je realna funkcija f surjektivna, če je njena zaloga vrednosti enaka množici vseh realnih števil:
    Z _f =
  
  
• Funkcija je bijektivna, če je injektivna in hkrati surjektivna.
  Bijektivno funkcijo imenujemo tudi bijekcija ali povratno enolična preslikava. (Povratna enoličnost pomeni, da poljubnemu podatku ustreza točno en rezultat, poljubnemu rezultatu pa ustreza točno en podatek.)
  
  

Naraščanje, padanje, omejenost

• Funkcija narašča, če ima pri večjem podatku tudi večji rezultat:
    ∀x₁, x₂:    x₁ > x₂   ⇒   f (x₁) > f (x₂)
  
  Če zgornja lastnost velja za vsak x₁ in x₂ iz definicijskega območja funkcije f, potem pravimo, da funkcija narašča povsod.
  Če zgornja lastnost velja za vsak x₁ in x₂ iz neke množice A, potem pravimo, da funkcija narašča na množici A.
  Če zgornja lastnost velja za vsak x₁ in x₂ iz neke okolice dane točke a, potem pravimo, da funkcija narašča v okolici točke a.
  
  (Opomba: Nekateri avtorji v zgornji lastnosti dopuščajo tudi enakost, torej:
    ∀x₁, x₂:    x₁ > x₂   ⇒   f (x₁) ≥ f (x₂)
  Če želimo ločiti obe varianti, pravimo prvi možnosti strogo naraščanje (>), drugi pa nestrogo naraščanje (≥).)
  
  
• Funkcija pada, če ima pri večjem podatku manjši rezultat:
    ∀x₁, x₂:    x₁ > x₂   ⇒   f (x₁) < f (x₂)
  
  Če zgornja lastnost velja za vsak x₁ in x₂ iz definicijskega območja funkcije f, potem pravimo, da funkcija pada povsod.
  Če zgornja lastnost velja za vsak x₁ in x₂ iz neke množice A, potem pravimo, da funkcija pada na množici A.
  Če zgornja lastnost velja za vsak x₁ in x₂ iz neke okolice dane točke a, potem pravimo, da funkcija pada v okolici točke a.
  
  (Opomba: Nekateri avtorji v zgornji lastnosti dopuščajo tudi enakost, torej:
    ∀x₁, x₂:    x₁ > x₂   ⇒   f (x₁) ≤ f (x₂)
  Če želimo ločiti obe varianti, pravimo prvi možnosti strogo padanje (<), drugi pa nestrogo padanje (≤).)
  
  
• Funkciji, ki povsod narašča ali povsod pada, pravimo monotona funkcija.
  
  
• Funkcija je navzgor omejena, če obstaja realno število M, tako da velja:
    ∀x ∈ D_f:   f (x) ≤ M
  Število M, ki nastopa v zgornji lastnosti, imenujemo zgornja meja funkcije. Če je funkcija navzgor omejena, obstaja celo več zgornjih mej. Najmanjši med njimi pravimo natančna zgornja meja ali supremum funkcije. Funkcija lahko natančno zgornjo mejo doseže ali pa tudi ne.
  
  (Opomba: Omejenost navzgor nas ponavadi zanima na celotnenem definicijskem območju, lahko pa bi preučevali tudi omejenost na dani množici A.)
  
  
• Funkcija je navzdol omejena, če obstaja realno število m, tako da velja:
    ∀x ∈ D_f:   f (x) ≥ m
  Število m, ki nastopa v zgornji lastnosti, imenujemo spodnja meja funkcije. Če je funkcija navzdol omejena, obstaja celo več spodnjih mej. Največji med njimi pravimo natančna spodnja meja ali infimum funkcije. Funkcija lahko natančno spodnjo mejo doseže ali pa tudi ne.
  
  (Opomba: Omejenost navzdol nas ponavadi zanima na celotnenem definicijskem območju, lahko pa bi preučevali tudi omejenost na dani množici A.)
  
  
• Funkcija je omejena, če je navzgor in navzdol omejena.
  
  

Maksimumi in minimumi

• Maksimum funkcije je točka T(x_M, y_M) na grafu, v kateri je funkcijska vrednost večja kot v drugih točkah.
  Ločimo različne variante:
  
  Če je v tej točki funkcijska vrednost večja kot v katerikoli drugi točki na celotnem definicijskem območju, pravimo, da je T(x_M, y_M) globalni maksimum funkcije f.
  Če je v tej točki funkcijska vrednost večja kot v katerikoli drugi točki iz neke okolice točke T(x_M, y_M), pravimo, da je T(x_M, y_M) lokalni maksimum funkcije f.
  Če je v tej točki funkcijska vrednost večja kot v katerikoli drugi točki iz neke dane množice A, pravimo, da je T(x_M, y_M) maksimum funkcije f na dani množici A.
  
  
• Minimum funkcije je točka T(x_m, y_m) na grafu, v kateri je funkcijska vrednost manjša kot v drugih točkah.
  Ločimo različne variante:
  
  Če je v tej točki funkcijska vrednost manjša kot v katerikoli drugi točki na celotnem definicijskem območju, pravimo, da je T(x_m, y_m) globalni minimum funkcije f.
  Če je v tej točki funkcijska vrednost manjša kot v katerikoli drugi točki iz neke okolice točke T(x_m, y_m), pravimo, da je T(x_m, y_m) lokalni minimum funkcije f.
  Če je v tej točki funkcijska vrednost manjša kot v katerikoli drugi točki iz neke dane množice A, pravimo, da je T(x_m, y_m) minimum funkcije f na dani množici A.
  
  
• Maksimume in minimume imenujemo tudi ekstremi funkcije.
  
  

Lihost in sodost

• Funkcija je liha, če za vsak x ∈ D_f velja:   f (− x) = − f (x)
  Graf lihe funkcije je simetričen glede na izhodišče koordinatnega sistema.
  
  
• Funkcija je soda, če za vsak x ∈ D_f velja:   f (− x) = f (x)
  Graf sode funkcije je simetričen glede na ordinatno os.
  
  

Ničle, poli, asimptote

• Ničla funkcije f je število a, za katero velja f (a) = 0.
  V ničlah graf funkcije seka abscisno os.
  Glej tudi: Graf polinoma v okolici ničle k-te stopnje
  
  
• Odsek na ordinatni osi dobimo tako, da v enačbo funkcije vstavimo x = 0.
  Dobljena vrednost f (0) nam pove, kje graf funkcje seka ordinatno os.
  
  
• Asimptota funkcije je premica, ki se ji graf funkcije približuje, ko se oddaljujemo od izhodišča koordinatnega sistema.
  
  
• Pol funkcije je število x, kjer vrednost funkcije ni definirana, v bližnji okolici pa vrednost funkcije narašča ali pada čez vse meje (proti plus ali minus neskončno).
  V okolici pola se graf funkcije približuje navpični asimptoti.
  Glej tudi: Graf racionalne funkcije v okolici pola k-te stopnje
  
  

Kazalo poglavij

Funkcije

Risanje grafov funkcij

Abecedno kazalo