AKTUALNO 2009

http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Craters_on_the_Moon

Geometrijsko korektna metoda


Določitev dolžine sence gore, kraterja na Luni z matematično
eksaktno metodo

A)
Višina kraterja

Ko merimo dolžino sence  v svetlobnih elementih (pixlih)
ali mm, je to le projekcija na ravnino pravokotno
na smer našega pogleda, na sliko. 










Pravo dolžino izračunamo s pomočjo koordinat kraterja (selenografične koordinate), 
- podatke dobimo recimo na wikipediji.
Izračunamo faktor nagiba in z njim pomnožimo izmerjeno dolžino L'.

ls = lunina_širina_kraterja v ločnih stopinjah
ld = lunina_dolžina_kraterja v ločnih stopinjah
- za lažje razumevanje, 
  na Zemlji podamo geografsjo šrino in dolžino nekega kraja,
  na Luni pa lunino dolžino in širino neke nekega kraja, kraterja, točke.

- za ponazoritev primerjave koordinat Zemlja-Luna povečaj sliko.

                                        1
    faktor_nagiba_korekcija  =  --------------------
                                 cos(ls) * cos(ld)


    L = L''* faktor_nagiba_korekcija





-----------------------
** Bolj korekten faktor je (ker je Luna nekoliko nagnjena glede na opazovalca)

                                            1
    faktor_nagiba_korekcija  =   ---------------------------
                                 cos(ls - zs) * cos(ld - zd)

-kjer sta ls in ld Lunine
 (selenografične) koordinate, 
  zs in zd pa sta koordinati sub-zemljine točke 
 (kjer daljica "Zmelja - Luna" prebada Luno). 
-------------------------




Veljavnost tega faktorja (pri velikih kotih) je potrebno preveriti? 


B) 
Določitev kota theta, pod katerim padajo žarki na krater, goro (izpeljava je spodaj)


     

   x  =  sin(Bo)*sin(ls)  +  cos(Bo)*cos(ls)*sin(Co + ld)

 
   kot theta  =  arcsin(x)

   H = L * tan(theta) - višina kraterja, gore

Kaj sta kota Co in Bo, kje jih dobimo:
# Co: Colongitude of the Sun (*1 razlaga spodaj)
# Bo: Subsolar point Lat     (*2 razlaga spodaj)
Kota Co in Bo dobimo na: http://www.lunar-occultations.com/rlo/ephemeris.htm


 
Slika za pomoč pri razumevanju pomena kotov.

Za Luno velja, da (*2 Bo) subsolarna točka na Luni (to je točka kjer Luno
prebada daljica, ki povezuje centra Lune in Sonca) ni nikoli
več kot 1.5 st. nad ali pod Luninim ekvatorjem. 
Subsolarna točka na Luni je tista, v kateri je Sonce, če gledamo z Lune, v zenitu.
Lunina dolžina se meri od centralnega meridiana (CM) proti vzhodu
(to je pozitivna smer). Kot 90 st. minus lunina dolžina subsolarne
točke je (*1 Co) lunina dolžina terminatorja,
v angleščini se imenuje ta kot "Sun's selenographic colongitude".
Terminator je področje med osvetljenim in neosvetljenim delom Lune. 
Ko je Sonce direktno nad vzhodnim robom Lune
(prvi krajec), je lunina dolžina subsolarne točke +90 st., lunina
dolžina terminatorja  (Sun's selenographic colongitude) pa je 0 ločnih st.
Lunina dolžina terminatorja narašča okrog 0.51 stopinje na uro.
Lunina dolžina terminatorja se tako spreminja od 0 do
 360° v približno 29.53 dneh. Pri polni Luni lunina dolžina 
terminatorja naraste na 90 st. zahodno;
pri zadnjem krajcu na 180 st. in pri mladi Luni na 270 st. zahodno.
http://www.pacifier.com/~tpope/Moon_Page.htm


Sledijo primeri iz zgornje slike, 
datum 2009-01-05, posneto ob času 20 CET, 19 UT

------------------------------------------------------------------
Podatki in izračuni (brez upoštevanja koordinat sub-zemljine točke)
--------------------

KRATER	       lun_sir°	lun_dol° Co°	Bo°	x		theta_rad	H' km		L' px	korekcija	H km		H_resnična km
Tycho		43.3	348.8	23.4	-0.7	0.145406309	0.145923633	3.363698794	16	1.400732003	4.711640549	4.8
Timocharis	26.7	346.9	23.4	-0.7	0.154235531	0.15485368	2.67958314	12	1.14926378	3.079547849	3.1
Copernicus	9.7	340	23.4	-0.7	0.056395701	0.056425638	3.231998965	40	1.079612486	3.489306436	3.8
Eratosten	14.5	348.7	23.4	-0.7	0.199867679	0.201222873	3.209675768	11	1.053319266	3.380813324	3.6
Autolycus *	30.7	1.5	23.4	-0.7	0.355764279	0.363731722	2.722647043	5	1.163389137	3.167497995	3.4
Aristillus *	33.9	1.2	23.4	-0.7	0.338678413	0.345511946	3.089354749	6	1.205065735	3.722875552	3.6


Rezultati 1
--------------------
KRATER		H km	H_resnična km	(H_brez korekcij km)
Tycho		4.7	4.8		(4.4)
Timocharis	3.1	3.1		(3.1)
Copernicus	3.5	3.8		(4.2)
Eratosten	3.4	3.6		(3.7)
Autolycus *	3.2	3.4
Aristillus *	3.7	3.6



Podatki in izračuni (z upoštevanjem koordinat sub-zemljine točke - rotacije Lune glede na Zemljo)
zs =-6.8 st 	zd =-7 st									
---------------------------------------------------------------------------											
KRATER	       lun_sir°	lun_dol° Co°	Bo°	x		theta_rad	H' km		L' px	korekcija	H km		H_resniTycho		43.3	348.8	23.4	-0.7	0.145406309	0.145923633	3.363698794	16	1.563166779	5.258022207	4.8
Timocharis:	26.7	346.9	23.4	-0.7	0.154235531	0.15485368	2.67958314	12	1.206033573	3.231667228	3.1
 Copernicus	9.7	340	23.4	-0.7	0.056395701	0.056425638	3.231998965	40	1.070382753	3.459475951	3.8
Eratosten	14.5	348.7	23.4	-0.7	0.199867679	0.201222873	3.209675768	11	1.076346737	3.454724039	3.6
Autolycus *	30.7	1.5	23.4	-0.7	0.355764279	0.363731722	2.722647043	5	1.274471382	3.469935739	3.4
Aristillus *	33.9	1.2	23.4	-0.7	0.338678413	0.345511946	3.089354749	6	1.332652178	4.117035334	3.6

Rezultati 2
--------------------
KRATER		H km	H_resnična km	(H_brez korekcij km)
Tycho		5.3	4.8		(4.4)
Timocharis	3.2	3.1		(3.1)
Copernicus	3.5	3.8		(4.2)
Eratosten	3.5	3.6		(3.7)
Autolycus *	3.5	3.4
Aristillus *	4.1	3.6



Zaključek
Pri prvem ali zadnjem krajcu sta obe metodi dokaj blizu,
napaka pa je večja tam, kjer so sence krajše in en svetlobni
element (px) lahko pomeni 10 ali celo 20 procentov napake.
Napaka pri prvi grobi metodi majhnih kotov se dodatno poveča,
če je krater blizu terminatorja, takrat se poveča relativna
vrednost sv. elementa za radaljo d, pri drugi metodi, geometrijsko 
eksaktni, pa je v tem primeru tudi problem majhnega kota, kjer je
tudi čas pomemben (lunina dolžina terminatorja narašča okrog 
0.51 stopinje na uro).
Naši rezultati so tako uteženi najmanj z 10 % napako.
Zelo pomembna je ostrina slike, višino bi lahko ocenjevali tudi
vizualno s časom prehoda sence čez nitni križ (tako je meril 
Galilejo).

Za osnovne šole je metoda majhnih kotov zelo primerna,
učenci in učenke tako dobijo s preprosto metodo zelo 
primerne ocene višin gora, kraterjev in to na nebesnem objektu, na
katerega načeloma nikoli ne bodo stopili. Ta igra senc
in geometrije, človeškega uma, je lahko zelo poučna
za razumevanje našega sveta glede na oddaljena telesa.

Za srednjo šolo je geometrijska metoda sicer že mogoča
a tudi na tem nivoju je potrebna  previdnost (je pa dobra vaja 
za vektorske račune, kjer se najde tudi globlji in uporabni 
smisel matematike), 
zato naj za začetek uporabijo metodo majhnih kotov.
Eksaktno metodo pa naj uporabijo zgolj mehanično za
korekten izračun in s tem primerjavo rezultatov med
metodama - seveda se tudi v srednji šoli da kaj povedati 
o prostorki geometriji.

http://www.fourmilab.ch/earthview/lunarform/cratnear.html
http://www.maguires.com/astronomy/lunar_craters2.htm



Izpeljava izrazov potrebnih za določanje višine kraterjev:


Koordinate točke na krogli (sferi) in zapis krajevnega vektorja s širino in 
dolžino (lahko sta geografski ali poljubni koordinati na Luni, planetu, ...).

Na Luni prav tako merimo koordinate od Luninega ekvatorja, ki 
oklepa kot približno 1,5 ločne stopinje z ekliptiko in od ničelnega,
centralnega meridiana (CM), ki kaže proti Zemlji.

Zapišimo koordinate krajevnega vektorja do gore, roba kraterja na Luni.
Te koordinate se imenujejo tudi selenografske.
Širino l na Luni bomo zamenjali z zapisom (ls).
Dolžino j na Luni bomo zamenjali z zapisom (ld).
Vektorje bomo zapisovali z krepko pisavo.

Enotski vektor do točke T na Luni je torej
r = R/R = (cos ls cos ld, cos ls sin ld, sin ls)


Za Luno velja, da subsolarna točka na Luni (to je točka kjer Luno
prebada daljica, ki povezuje centra Lune in Sonca) ni nikoli
več kot 1.5 st. nad ali pod Luninim ekvatorjem. 
Subsolarna točka na Luni je tista, v kateri je Sonce, če gledamo z Lune, 
v zenitu.
 
Slika za pomoč pri razumevanju pomena kotov.


Širino subsolarne točke na Luni bomo zamenjali z zapisom (Bo).
Namesto dolžine subsolarne točke pa bomo uporabili kot 90 st. minus 
lunina dolžina subsolarne točke - to je v bistvu lunina dolžina 
terminatorja (Co). Nekatero to točko imenujejo tudi s tujko
- "kolongituda sonca".


Enotski vektor do subsolarne točke na Luni je torej
s = (cos Bo sin Co, cos Bo cos Co, sin Bo)


Analogno enotskemu vektorju subsolarne (sub_sončne) točke,
definiramo se sub_zemeljsko točko. To je točka na Luni iz katere bi videli
Luno v zenitu, oziroma točka na površini Lune, ki leži na daljici
Luna-Zemlja.

ze = (cos zs cos zd, cos zs sin zd, sin zs)

-----------------------------------------------------------------------

Sedaj imamo pripravljene vektorje za izračun višine objekta na Luni.
Pomagajmo si s spodnjo sliko. 


Naša naloga je določiti višino (H) gore, kraterja.
Vse skupaj obravnavamo v (horizontalni) ravnini, ki je pravokotna na krajevni 
vektor, kateri teče od središča Lune, pa do gore (kraterja) na površini Lune. 


Iz slike vidimo, da višina gore, senca gore in žarek iz Sonca tvorijo 
pravokotni trikotnik. Če hočemo izračunati višino gore (H), moramo zato 
poznati dolžino sence (L) in kot (q) pod katerim 
pada svetloba na goro. Če poznamo L in q, lahko 
izračunamo H iz preproste zveze:

H=L*tan q	

Kot q bomo izračunali s pomoćjo zgoraj opisanih
vektorjev (r in s). Nato bomo rešili še en hud zalogaj, določili
bomo dolžino L, kar pa ni čisto enostavno, saj mi v resnici vidimo, slikamo dolžino
L', ki je projekcija sence gore pravokotno na smer Zemlja-Luna. Tukaj bomo 
zanemarili vpliv lege opazovalca ma Zemlji, in da smer Zemlja-Luna (obeh središč)  
ni čisto enaka smeri opazovalec - krater (gora) na Luni.  



Kot med enotskima vektorjena r in s je kar (90° -  q),
to je kot med vpadnimi žarki iz Sonca in krajevnim vektorjem do tiste točke, gore
na Luni, ki ji hočemo določiti višino H.
Za izračun kota q uporabimo kar skalarni produkt med vektorjema r in s:  
r*s = r*s*cos a = r*s*cos (90° - q),
- ker je cos(90 - q) = sin q,
- in ker je velikost vektorjev r in s po definiciji 1,
- da je sin q = cos ls sin ld cos Bo cos Co + cos ls cos ld cos Bo sin Co + sin ls sin Bo, 
- sin q = cos ls cos Bo (sin ld  cos Co + cos ld sin Co) + sin ls sin Bo, 
- ker velja, da je sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y pridemo do končnega izraza za q,

sin q = sin ls sin Bo + cos ls cos Bo sin (ls + Co)

q =  arcsin(sin ls sin Bo + cos ls cos Bo sin (ls + Co))


Naša naloga bi bila sedaj skoraj končana, a sedaj moramo določiti še L iz
meritve L'. V literaturi je več poti, ki pa so nekatere dvomljive narave.
Poznamo vektor Zemlja-Luna (ze), in če bi poznali še vektor sence,
bi lahko spet zadevo rešili s skalarnim produktom.
Kako do vektorja Sence? Ena pot je vektorski produkt. Lahko pa si
pomagamo tudi s trikotnikom vektorjev. Oglejmo si sliko trikotnika, 
ki pa naj bo sestavljena iz uteženih enotskih vektorjev (as in r). 
Kombinacija obeh nas pripelje do vektorja sence (L).

      _____________  
a = \/1+ (1/tan q)2

l = as - r
l = (a cos Bo sin Co, a cos Bo cos Co, a sin Bo) - (cos ls cos ld, cos ls sin ld, sin ls)

l = (a cos Bo sin Co - cos ls cos ld, a cos Bo cos Co - cos ls sin ld, a sin Bo - sin ls)

- da dobimo enotski vektor sence moramo l deliti z dolžino, ki je kar
  l = 1/tan q


Sedaj naredimo skalarni produkt med vektorjema le in ze, 
iz produkta izrazimo kot (ks) in to je kot
s sinusom katerga moramo deliti L', da dobimo dolžino sence L = L'/ sin ks.

Višina kraterja je:  H = L * tan q 

--------------------
Naredimo še ta zadnji korak:

      _____________  
a = \/1+ (1/tan q)2

b = 1/l = tan q

Enotski vektor sence je le. 
le = l/l = b l = b(a cos Bo sin Co - cos ls cos ld, a cos Bo cos Co - cos ls sin ld, a sin Bo - sin ls)

ze = (cos zs cos zd, cos zs sin zd, sin zs)

cos ks = le*ze = b( (a cos Bo sin Co - cos ls cos ld)(cos zs cos zd) + (a cos Bo cos Co - cos ls sin ld)(cos zs sin zd) + (a sin Bo - sin ls)(sin zs) )

ks = arccos( b( (a cos Bo sin Co - cos ls cos ld)(cos zs cos zd) + (a cos Bo cos Co - cos ls sin ld)(cos zs sin zd) + (a sin Bo - sin ls)(sin zs) )  )

L = L'/ sin ks.

Višina kraterja je:  H = L * tan q = (L'/ sin ks) * tan q 





Sledi nekaj slik za boljšo prostorsko predstavo
položaja Lune glede na Zemljeo in Sonce.


Nastanek terminatorja (ločnica med dnevom in nočjo -  
zakaj ločnica ni ostra, se lepo vidi iz slike).


Libracija od strani.


Libracija od zgoraj.

Iz: http://www.pacifier.com/~tpope/Moon_Page.htm