PROSTORNINA PRIZME
Prostornina prizme je velikost tistega dela prostora, ki ga omejujejo mejne ploskve prizme. Izračunaš jo tako, da določiš število prostorninskih enot, s katerimi popolnoma izpolniš ta del prostora.
Prostornino označi s črko V. (volumen = prostornina)
Prostorninske enote so: 1m3, 1dm3, 1cm3 itd. To so kocke z robovii 1m, 1dm, 1cm itd.
PROSTORNINA KVADRA IN KOCKE
V kvader položi toliko cm3, kolikor jih lahko postaviš na osnovno ploskev, torej a . b cm3. S tem je prostornina kvadra izpolnjena do višine 1cm. Ker je kvader visok c cm lahko vanj položiš c takih plasti, torej skupaj a . b . c cm3. Prostornino si izračunal tako, da si najprej določil ploščino osnovne ploskve S = a . b. To ploščino pa si pomnožil še z višino kvadra, ki je enaka robu c ali kratko:
V = S . v
V = a . b . c
Prostornino kvadra izračunaš tako, da pomnožiš merska števila dolžine, širine in višine.
Prostornino kocke izračunaš enako, le da so tu vsi robovi enaki in zato označeni z a.
V = a . a . a ali
V = a3
PROSTORNINA POKONČNE PRIZME
Kako boš izračunali prostornino poljubne pokončne prizme?
Vzemi najprej pokončen paralelepiped, katerega osnovna ploskev je paralelogram. Od njega odrežeš tristrano prizmo BCEB1C1E1. Odrezamni del dodamo na levi strani tako, da dobimo kvader.
|
A |
|
B |
|
C |
|
D |
|
E |
|
F |
|
A |
|
B |
|
C |
|
E |
|
F |
|
D |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
Ta kvader ima enako prostornino kot prvotna prizma, saj smo ji le na eni strani odvzeli, na drugi strani pa dodali enako velik del. Prostornina dane prizme je enaka prostornini kvadra z enako osnovno ploskvijo S in enako višino v po obrazcu
V = S . v
Kako pa ravnaš s pokončno tristranično prizmo z osnovno ploskvijo S in višino v? Dopolni njeno osnovno ploskev v dvakrat večji paralelogram. Tako dobiš paralepiped, ki ima enako višino in dvakrat večjo osnovno ploskev kot prvotna prizma in zato tudi dvakrat večjo prostornino. Če ima osnovna ploskev tristrane prizme ploščino S, ima paralelepiped osnovno ploskev veliko 2S.
Prostornina
paralelepipeda je V = 2S . v, prostornina tristrane prizme, ki je dvakrat
manjša pa je V = S . v
Če je pokončna prizma n - strana, razdeli njeno osnovno ploskev, ki je mnogokotnik, na trikotnike. Prizma razpade v same tristrane prizme.
Če smo mnogokotnik razdelili na 5 trikotnikov s ploščinami S1, S2, S3, S4, S5, je prostornina prvotne prizme vsota prostornin tristranih prizem, ki jih že znamo izračunati. Zato je:
V = S1 . v + S2 . v + S3 . v + S4 . v + S5 . v = v . (S1+ S2 + S3 + S4 + S5) = v . S
Upoštevaj ,da je S1 + S2 + S3 + S4 + S5 = S
Prostornino poljubne pokončne n - strane prizme izračunaš tako, da mersko število ploščine njene osnovne ploskve pomnožiš z merskim številom višine ali
V = S . v
Obrazec boš morali v posameznih primerih preurediti tako, da boš namesto S vstavili ploščino tistega lika, ki bo osnovna ploskev dane prizme. Tako je prostornina prizme, ki ima za osnovno ploskev romb lahko glede na dane podatke:
V=
ali V= 
ali V = 
Tako je prostornina pravilne tristrane prizme z osnovnim robom a in višino v enaka:
PROSTORNINA POŠEVNE PRIZME
Pri računanju prostornine poševne prizme boš uporabili Cavalierijevo pravilo, ki glasi:
Prizmi, ki imata enaki osnovni ploskvi in enaki višini, imata enaki prostornini.
Tega izreka ne znaš dokazati zato se lahko prepričaš le o njegovi veljavnosti s preprostim premislekom:
Misli si,da si več tankih plošč, ki imajo obliko kvadra, naložili v obliki pokončne prizme. nato jih v mislih zamakni. Nastalo je stopničasto telo, katerega oblika se tem manj razlikuje od poševne prizme, čim tanjše so naložene plošče. Obe telesi imata enaki osnovni ploskvi, enaki višini in enaki prostornini, saj sta sestavljeni iz enakega števila enako debelih plošč z enakimi osnovnimi ploskvami.
|
S |
|
S |
|
v |
|
v |
Prostornino poševne prizme izračunaš tako kot prostornino pokončne prizme z enako osnovno ploskvijo S in enako višino v.
V = S . v
Za prostornino vsake prizme, pokončne ali poševne velja torej isti obrazec.