Na teh straneh so podana pravila za odvajanje funkcij, ki so rezultat vsote, razlike, produkta,
količnika ali sestavljanja dveh ali več funkcij. Rezultatno funkcijo bomo označili z r, izvorni funkciji pa z f in g.
V poljubni točki x na izbranem intervalu (kjer funkciji f in g obstojata) so posamezne funkcije
pridobljene z operacijami definirane takole:
Tudi v teh izračunih bomo uporabili obrazec za definicijo odvoda v poljubni točki x izbranega intervala.
| f'(x) = |
lim h→0 |
f(x+h)−f(x) h |
Razlika funkcij r = f − g, r(x) = (f − g)(x) = f(x) − g(x)
Produkt funkcij r = f · g, r(x) = (f · g)(x) = f(x) · g(x)
Količnik funkcij r = f / g, r(x) = ( f / g)(x) = f(x) / g(x)
Sestavljena funkcija r = f ° g, r(x) = (f ° g)(x) = f(g(x))
Odvod vsote funkcij f + g
Imejmo funkciji f in g, ki sta odvedljivi v točki x, tj. za f in g obstajata f' in g'.
Če to velja, potem ugotovimo, da je tudi f+g odvedljiva v x.
Do pravila za izračun odvoda vsote funkcij pa bomo prišli z uporabo obrazca za definicijo odvoda.
Po definiciji za vsoto funkcij bomo upoštevali, da je (f + g)(x+h) = f(x+h) + g(x+h) in (f + g)(x) = f(x) + g(x).
| (f(x)+g(x))' = |
lim h→0 |
(f+g)(x+h) − (f+g)(x) h |
= |
lim h→0 |
f(x+h)+g(x+h) − (f(x)+g(x)) h |
= |
| = |
lim h→0 |
f(x+h)−f(x) + g(x+h)−g(x) h |
= |
lim h→0 |
f(x+h)−f(x) h |
+ |
lim h→0 |
g(x+h)−g(x) h |
= |
f'(x) + g'(x) |
Pravilo za odvod
vsote funkcij:
(f(x) + g(x))'= f'(x) + g'(x)
Pravilo velja tudi za vsoto več funkcij: (f+g+...+h)'=f'+g'+...+h'
Odvod razlike funkcij f − g
Pravilo za razliko odvodov dobimo podobno kot za vsoto.
Pomagamo si z definicijo razlike funkcij in z definicijo odvoda.
| (f(x)−g(x))' = |
lim h→0 |
(f−g)(x+h) − (f−g)(x) h |
= |
lim h→0 |
(f(x+h)−g(x+h)) − (f(x)−g(x)) h |
= |
| = |
lim h→0 |
(f(x+h)−f(x)) − (g(x+h)−g(x)) h |
= |
lim h→0 |
f(x+h)−f(x) h |
− |
lim h→0 |
g(x+h)−g(x) h |
= |
f'(x) − g'(x) |
Pravilo za odvod
razlike funkcij:
(f(x) − g(x))' = f'(x) − g'(x)
Primer uporabe pravila za vsoto in razliko
1. Odvod za polinom f(x) = x2 + x − 2
Polinom f(x) lahko zapišemo kot vsoto in razliko dveh potenc in konstante:
g(x) = x2, h(x) = x, k(x) = 2
Odvajajmo vsako funkcijo:
g(x) = x2g'(x) = (x2)' = 2x
h(x) = xh'(x) = (x)' = 1
k(x) = 2k'(x) = (2)' = 0
Upoštevamo zgornji pravili in dobimo:
f'(x) = g'(x) + h'(x) − k'(x)= 2x + 1 − 0 = 2x + 1
2. Odvod za parabolo f(x) = ax2 + bx + c
Funkcijo obravnavamo kot vsoto treh funkcij (a, b in c so poljubna realna števila):
g(x) = a·x2g'(x) = (ax2)' = a·(x2)'= a· (2·x) = 2ax
h(x) = b·xh'(x) = (bx)' = b
k(x) = ck'(x) = (c)' = 0
Upoštevamo zgornje pravilo za odvod vsote funkcij:
f'(x) = g'(x) + h'(x) + k'(x) = 2ax + b + 0= 2ax + b
3. Fermatov polinom f(x) = x3 − 7x + 6
Odvod dobimo na podoben način kot v prejšnjem primeru
g(x) = x3g'(x) = (x3)' = 3x2
h(x) = 7·xh'(x) = (7x)' = 7
k(x) = 6k'(x) = (6)' = 0
Upoštevamo zgornje pravilo za odvod vsote funkcij:
f'(x) = g'(x) − h'(x) + k'(x) = 3x2 − 7 + 0 = 3x2 − 7
Odvod produkta funkcij
Imejmo funkciji f in g, ki sta odvedljivi v neki točki x, tj. za f in g obstajata f' in g'. Če
to velja, potem je tudi produkt f · g odvedljiva v tej točki x.
Dokažimo pravilo s pomočjo definicije odvoda in definicije produkta funkcij.
| (f(x)·g(x))' = |
lim h→0 |
(f·g)(x+h)−(f·g)(x) h |
= |
lim h→0 |
f(x+h)· g(x+h)− f(x)·g(x+h)+ f(x)·g(x+h)−f(x)·g(x) h |
= |
| = |
lim h→0 |
(f(x+h)-f(x))· g(x+h)+ f(x)·(g(x+h)- g(x)) h |
= |
lim h→0 |
(f(x+h)−f(x))·g(x+h) h |
+ |
lim h→0 |
(g(x+h)−g(x))· f(x) h |
= |
| = |
lim h→0 |
f(x+h)−f(x) h |
· |
lim h→0 |
g(x+h) |
+ |
f(x) |
lim h→0 |
g(x+h)−g(x) h |
= |
f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x) |
Po drugem enačaju smo vrinili izraz:
− f(x)·g(x+h) + f(x)·g(x+h)
Pravilo za odvod
produkta dveh funkcij:
(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
Primeri uporabe pravila za odvajanje produkta funkcij
4. Odvod funkcije f(x) = c·g(x)
Iščemo torej odvod funkcije f, ki je produkt konstantne funkcije in neke druge poljubne
funkcije. Pomagamo si z z zgornjim pravilom:
Ker je f(x) = c · g(x), naj bo h(x) = c. Potem lahko z zgornjim pravilom odvajamo funkcijo
f(x).
Odvajajmo: za g(x) je njegov odvod g'(x), za h(x) = c pa je h'(x) = 0.
f'(x) = h'(x)·g(x) + h(x)·g'(x) = 0·g(x) + c·g'(x) = c·g'(x)
Torej,
če je f(x) = c·g(x), potem velja f'(x) = c·g'(x)
5. Odvod funkcije f(x) = xn
Pravilo smo brez dokaza navedli v prejšnjem poglavju. Tu ga dokažemo s popolno matematično
indukcijo in s pravilom za odvajanje produkta funkcij.
Indukcijska predpostavka: Za funkcijo f(x) = x
n je njen odvod enak f'(x) = nx
n-1
za n = 1: funkcija je f(x) = x
f'(x) = (x)' = 1·xo = 1·1 = 1
za n → n+1: funkcija je f(x) = x
n+1
f'(x) = (xn+1)' = (xn·x)' = (xn)'·x + xn·(x)' = nxn-1·x + xn
· 1 = nxn + xn = (n+1)·xn
S tem je pravilo odvajanja za potenčne funkcijo f(x)= x
n dokazano.
Odvod kvocienta funkcij
Imejmo funkcijo q(x), ki je odvedljiva v točki x in za katero naj velja:
Poiščimo odvod s pomočjo definicije odvoda:
| q'(x) = |
( |
1 f(x) |
)' = |
lim h→0 |
1 h |
· ( |
1 f(x+h) |
- |
1 f(x) |
) = |
lim h→0 |
1 h |
· ( |
f(x)-f(x+h) f(x+h) · f(x) |
) = |
| = |
lim h→0 |
(− |
1 f(x)·f(x+h) |
· |
f(x+h)-f(x) h |
) = |
− |
1 f(x)·f(x) |
· |
f'(x) |
= |
− |
f '(x) f 2(x) |
Torej za
recipročno funkcijo velja, da je njen odvod enak:
| ( |
1 f(x) |
)' |
= − |
f '(x) f 2(x) |
Oglejmo si sedaj funkcijo q(x), ki je odvedljiva v x in je kvocient dveh odvedljivih funkcij:
Poiščimo njen odvod s pomočjo pravila odvajanja produkta:
| q'(x) |
= ( |
f(x) g(x) |
)' |
= ( |
f(x) · |
1 g(x) |
)' |
= |
f'(x) |
· |
1 g(x) |
+ f(x)·( |
1 g(x) |
)' = |
| = |
f'(x) g(x) |
+ |
f(x) |
· |
g'(x) g2(x) |
= |
f'(x) g(x) |
− |
f(x)·g'(x) g2(x) |
= |
f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x) g2(x) |
Za
kvocient odvedljivih funkcij velja pravilo:
| ( |
f(x) g(x) |
)' |
= |
f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x) g2(x) |
Primeri uporabe pravila za odvajanje kvocienta funkcij
6. Potenčna funkcija z negativno stopnjo f(x) = x−n
Pomagamo si z zgornjim pravilom. Funkcijo f(x) lahko zapišemo tudi z ulomkom.
Odvajajmo sedaj f(x) kot ulomek s števcem 1:
| (f(x))' |
= |
( |
1 xn |
)' |
= |
− |
(xn)' (xn)2 |
= |
− |
n·xn-1 x2n |
= |
− n · xn-1-2n |
= |
− n · x-n-1 |
= |
− n · |
1 xn+1 |
7. Odvod tangensa f(x) = tg(x)
Pomagamo si z zgornjim pravilom. Funkcijo f(x) lahko zapišemo tudi z ulomkom.
| f(x) |
= |
tg(x) |
= |
sin(x) cos(x) |
Odvajajmo sedaj f(x) kot ulomek:
| (tg(x))' |
= |
( |
sin(x) cos(x) |
)' |
= |
cos(x)·cos(x)−sin(x)·(-sin(x)) cos 2(x) |
= |
cos2(x) + sin2(x) cos2(x) |
= |
1 cos2(x) |
8. Odvod kotangensa f(x) = ctg(x)
Pomagamo si z zgornjim pravilom. Funkcijo f(x) lahko zapišemo tudi z ulomkom.
| f(x) |
= |
ctg(x) |
= |
cos(x) sin(x) |
Odvajajmo sedaj f(x) kot ulomek:
| (ctg(x))' |
= |
( |
cos(x) sin(x) |
)' |
= |
−sin(x)·sin(x)−cos(x)·cos(x) sin2(x) |
= |
− |
sin2(x) + cos2(x) sin2(x) |
= |
− |
1 sin2(x) |
Odvod sestavljene funkcije
Imejmo funkciji f(x) in g(x), takšni, da je g odvedljiva v točki x, f pa odvedljiva v točki g(x).
Potem je tudi sestavljena funkcija f ° g odvedljiva v točki x.
Pravila za odvajanja sestavljene funkcije ne bomo dokazali, ker je dokaz prezahteven.
Zapišimo pa pravilo:
(f ° g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x)
Primeri uporabe pravila za odvajanje sestavljene funkcije
9. Sestavljena funkcija h(x) = (x2+1)5
Zapišimo h(x) kot kompozitum dveh funkcij:
g(x) = x2+1
f(g) = g5
Odvajajmo:
g'(x) = 2x
f'(g) = 5·g4
Zdaj lahko h(x) odvajamo po pravilu o odvajanju sestavljene funkcije:
| h'(x) = |
f'(g(x))·g'(x) = |
5·(x2+1)4·2x = |
10x(x2+1)4 |
10. Sestavljena funkcija h(x) = √ 2x2 + 3x − 5
Zapišimo h(x) kot kompozitum dveh funkcij:
g(x) = f(x)= 2x2 + 3x -5
g(f) = √ f = f1/2
Odvajajmo:
| f'(x) = 4x + 3 |
g'(f) = (f1/2)' = |
1 2 |
f−1/2 |
= |
1 2·f1/2 |
= |
1 2√ f2 |
Zdaj lahko h(x) odvajamo po pravilu o odvajanju sestavljene funkcije:
| h'(x) = |
f'(g(x))·g'(x) = |
1 2·√ 2x2 + 3x - 5 |
·(4x + 3) = |
4x + 3 2√ 2x2 + 3x - 5 |