Pravila odvajanja



Izbor poglavij:
 − Predstavitev naloge
 − Definicija odvoda
 − Odvodi elementarnih funkcij
 − Pravila odvajanja
 − Višji odvodi
 − Risanje funkcij
 − Preverjanje znanja
 − Zgodovinski okvir
 − O avtorici, virih in pripomočkih
 «« nazaj   « domov »   naprej »» 
Na teh straneh so podana pravila za odvajanje funkcij, ki so rezultat vsote, razlike, produkta, količnika ali sestavljanja dveh ali več funkcij. Rezultatno funkcijo bomo označili z r, izvorni funkciji pa z f in g. V poljubni točki x na izbranem intervalu (kjer funkciji f in g obstojata) so posamezne funkcije pridobljene z operacijami definirane takole:

Tudi v teh izračunih bomo uporabili obrazec za definicijo odvoda v poljubni točki x izbranega intervala.
f'(x) =
 
lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
Vsota funkcij r = f + g, r(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Razlika funkcij r = f − g, r(x) = (f − g)(x) = f(x) − g(x)
Produkt funkcij r = f · g, r(x) = (f · g)(x)  = f(x) · g(x)
Količnik funkcij r = f / g, r(x) = ( f / g)(x) = f(x) / g(x)
Sestavljena funkcija r = f ° g, r(x) = (f ° g)(x) = f(g(x))

 

Odvod vsote funkcij f + g

Imejmo funkciji f in g, ki sta odvedljivi v točki x, tj. za f in g obstajata f' in g'. Če to velja, potem ugotovimo, da je tudi f+g odvedljiva v x. Do pravila za izračun odvoda vsote funkcij pa bomo prišli z uporabo obrazca za definicijo odvoda. Po definiciji za vsoto funkcij bomo upoštevali, da je (f + g)(x+h) = f(x+h) + g(x+h) in (f + g)(x) = f(x) + g(x).
(f(x)+g(x))' =
 
lim
h→0
(f+g)(x+h) − (f+g)(x)
h
 =
 
lim
h→0
f(x+h)+g(x+h) − (f(x)+g(x))
h
 =
=
 
lim
h→0
f(x+h)−f(x) + g(x+h)−g(x)
h
 =
 
lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
 +
 
lim
h→0
g(x+h)−g(x)
h
 = f'(x) + g'(x)
Pravilo za odvod vsote funkcij:
(f(x) + g(x))'= f'(x) + g'(x)
Pravilo velja tudi za vsoto več funkcij: (f+g+...+h)'=f'+g'+...+h'

 

Odvod razlike funkcij f − g

Pravilo za razliko odvodov dobimo podobno kot za vsoto. Pomagamo si z definicijo razlike funkcij in z definicijo odvoda.
(f(x)−g(x))' =
 
lim
h→0
(f−g)(x+h) − (f−g)(x)
h
 =
 
lim
h→0
(f(x+h)−g(x+h)) − (f(x)−g(x))
h
 =
=
 
lim
h→0
(f(x+h)−f(x)) − (g(x+h)−g(x))
h
 =
 
lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
 −
 
lim
h→0
g(x+h)−g(x)
h
 = f'(x) − g'(x)
Pravilo za odvod razlike funkcij:
(f(x) − g(x))' = f'(x) − g'(x)
 

Primer uporabe pravila za vsoto in razliko

1. Odvod za polinom f(x) = x2 + x − 2

Polinom f(x) lahko zapišemo kot vsoto in razliko dveh potenc in konstante:
g(x) = x2, h(x) = x, k(x) = 2
Odvajajmo vsako funkcijo:
g(x) = x2g'(x) = (x2)' = 2x
h(x) = xh'(x) = (x)' = 1
k(x) = 2k'(x) = (2)' = 0
Upoštevamo zgornji pravili in dobimo:
f'(x) = g'(x) + h'(x) − k'(x)= 2x + 1 − 0 = 2x + 1

2. Odvod za parabolo f(x) = ax2 + bx + c

Funkcijo obravnavamo kot vsoto treh funkcij (a, b in c so poljubna realna števila):
g(x) = a·x2g'(x) = (ax2)' = a·(x2)'= a· (2·x) = 2ax
h(x) = b·xh'(x) = (bx)' = b
k(x) = ck'(x) = (c)' = 0
Upoštevamo zgornje pravilo za odvod vsote funkcij:
f'(x) = g'(x) + h'(x) + k'(x) = 2ax + b + 0= 2ax + b

3. Fermatov polinom f(x) = x3 − 7x + 6

Odvod dobimo na podoben način kot v prejšnjem primeru
g(x) = x3g'(x) = (x3)' = 3x2
h(x) = 7·xh'(x) = (7x)' = 7
k(x) = 6k'(x) = (6)' = 0
Upoštevamo zgornje pravilo za odvod vsote funkcij:
f'(x) = g'(x) − h'(x) + k'(x) = 3x2 − 7 + 0 = 3x2 − 7
 

Odvod produkta funkcij

Imejmo funkciji f in g, ki sta odvedljivi v neki točki x, tj. za f in g obstajata f' in g'. Če to velja, potem je tudi produkt f · g odvedljiva v tej točki x. Dokažimo pravilo s pomočjo definicije odvoda in definicije produkta funkcij.
(f(x)·g(x))' =
 
lim
h→0
(f·g)(x+h)−(f·g)(x)
h
 =
=
 
lim
h→0
f(x+h)· g(x+h)− f(x)·g(x+h)+ f(x)·g(x+h)−f(x)·g(x)
h
 =
=
 
lim
h→0
(f(x+h)-f(x))· g(x+h)+ f(x)·(g(x+h)- g(x))
h
 =
=
 
lim
h→0
(f(x+h)−f(x))·g(x+h)
h
 +
 
lim
h→0
(g(x+h)−g(x))· f(x)
h
 =
=
 
lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
 ·
 
lim
h→0
 g(x+h) + f(x)
 
lim
h→0
g(x+h)−g(x)
h
 =
= f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

Po drugem enačaju smo vrinili izraz: − f(x)·g(x+h) + f(x)·g(x+h)

Pravilo za odvod produkta dveh funkcij:
(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
 

Primeri uporabe pravila za odvajanje produkta funkcij

4. Odvod funkcije f(x) = c·g(x)

Iščemo torej odvod funkcije f, ki je produkt konstantne funkcije in neke druge poljubne funkcije. Pomagamo si z z zgornjim pravilom:

Ker je f(x) = c · g(x), naj bo h(x) = c. Potem lahko z zgornjim pravilom odvajamo funkcijo f(x).
Odvajajmo: za g(x) je njegov odvod g'(x), za h(x) = c pa je h'(x) = 0.
f'(x) = h'(x)·g(x) + h(x)·g'(x) = 0·g(x) + c·g'(x) = c·g'(x)
Torej, če je f(x) = c·g(x), potem velja f'(x) = c·g'(x)

5. Odvod funkcije f(x) = xn

Pravilo smo brez dokaza navedli v prejšnjem poglavju. Tu ga dokažemo s popolno matematično indukcijo in s pravilom za odvajanje produkta funkcij.

Indukcijska predpostavka: Za funkcijo f(x) = xn je njen odvod enak f'(x) = nxn-1

za n = 1: funkcija je f(x) = x
f'(x) = (x)' = 1·xo = 1·1 = 1
za n → n+1: funkcija je f(x) = xn+1
f'(x) = (xn+1)' = (xn·x)' = (xn)'·x + xn·(x)' = nxn-1·x + xn · 1 = nxn + xn = (n+1)·xn
S tem je pravilo odvajanja za potenčne funkcijo f(x)= xn dokazano.

 

Odvod kvocienta funkcij

Imejmo funkcijo q(x), ki je odvedljiva v točki x in za katero naj velja:
q(x) =
1
f(x)
Poiščimo odvod s pomočjo definicije odvoda:
q'(x) = (
1
f(x)
 )' =
 
lim
h→0
1
h
 · (
1
f(x+h)
 -
1
f(x)
 ) =
 
lim
h→0
1
h
 · (
f(x)-f(x+h)
f(x+h) · f(x)
 ) =
=
 
lim
h→0
 (−
1
f(x)·f(x+h)
 ·
f(x+h)-f(x)
h
 ) = −
1
f(x)·f(x)
 · f'(x) = −
f '(x)
f 2(x)
Torej za recipročno funkcijo velja, da je njen odvod enak:
(
1
f(x)
 )' = −
f '(x)
f 2(x)
Oglejmo si sedaj funkcijo q(x), ki je odvedljiva v x in je kvocient dveh odvedljivih funkcij:
q(x) =
f(x)
g(x)
Poiščimo njen odvod s pomočjo pravila odvajanja produkta:
q'(x) = (
f(x)
g(x)
 )' = ( f(x) ·
1
g(x)
 )' = f'(x) ·
1
g(x)
  + f(x)·(
1
g(x)
 )' =
=
f'(x)
g(x)
 + f(x) ·
g'(x)
g2(x)
 =
f'(x)
g(x)
 −
f(x)·g'(x)
g2(x)
 =
f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)
g2(x)
Za kvocient odvedljivih funkcij velja pravilo:
(
f(x)
g(x)
 )' =
f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)
g2(x)
 

Primeri uporabe pravila za odvajanje kvocienta funkcij

6. Potenčna funkcija z negativno stopnjo f(x) = x−n

Pomagamo si z zgornjim pravilom. Funkcijo f(x) lahko zapišemo tudi z ulomkom.
f(x) =
1
xn
Odvajajmo sedaj f(x) kot ulomek s števcem 1:
(f(x))' = (
1
xn
 )' = −
(xn)'
(xn)2
 = −
n·xn-1
x2n
 = − n · xn-1-2n = − n · x-n-1 = − n ·
1
xn+1
7. Odvod tangensa f(x) = tg(x)

Pomagamo si z zgornjim pravilom. Funkcijo f(x) lahko zapišemo tudi z ulomkom.
f(x) = tg(x) =
sin(x)
cos(x)
Odvajajmo sedaj f(x) kot ulomek:
(tg(x))' = (
sin(x)
cos(x)
 )' =
cos(x)·cos(x)−sin(x)·(-sin(x))
cos 2(x)
 =
cos2(x) + sin2(x)
cos2(x)
 =
1
cos2(x)
8. Odvod kotangensa f(x) = ctg(x)

Pomagamo si z zgornjim pravilom. Funkcijo f(x) lahko zapišemo tudi z ulomkom.
f(x) = ctg(x) =
cos(x)
sin(x)
Odvajajmo sedaj f(x) kot ulomek:
(ctg(x))' = (
cos(x)
sin(x)
 )' =
−sin(x)·sin(x)−cos(x)·cos(x)
sin2(x)
 = −
sin2(x) + cos2(x)
sin2(x)
 = −
1
sin2(x)
 

Odvod sestavljene funkcije

Imejmo funkciji f(x) in g(x), takšni, da je g odvedljiva v točki x, f pa odvedljiva v točki g(x). Potem je tudi sestavljena funkcija f ° g odvedljiva v točki x. Pravila za odvajanja sestavljene funkcije ne bomo dokazali, ker je dokaz prezahteven. Zapišimo pa pravilo:

(f ° g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

 

Primeri uporabe pravila za odvajanje sestavljene funkcije

9. Sestavljena funkcija h(x) = (x2+1)5

Zapišimo h(x) kot kompozitum dveh funkcij:
g(x) = x2+1 f(g) = g5

Odvajajmo:
g'(x) = 2x f'(g) = 5·g4

Zdaj lahko h(x) odvajamo po pravilu o odvajanju sestavljene funkcije:
h'(x) = f'(g(x))·g'(x) = 5·(x2+1)4·2x = 10x(x2+1)4

10. Sestavljena funkcija h(x) = √ 2x2 + 3x − 5 

Zapišimo h(x) kot kompozitum dveh funkcij:
g(x) = f(x)= 2x2 + 3x -5 g(f) = √ f  = f1/2

Odvajajmo:
f'(x) = 4x + 3 g'(f) = (f1/2)' =
1
2
 f−1/2 =
1
2·f1/2
 =
1
2√ f2
Zdaj lahko h(x) odvajamo po pravilu o odvajanju sestavljene funkcije:
h'(x) = f'(g(x))·g'(x) =
1
2·√ 2x2 + 3x - 5 
 ·(4x + 3) =
4x + 3
2√ 2x2 + 3x - 5