Odvodi elementarnih funkcij



Izbor poglavij:
 − Predstavitev naloge
 − Definicija odvoda
 − Odvodi elementarnih funkcij
 − Pravila odvajanja
 − Višji odvodi
 − Risanje funkcij
 − Preverjanje znanja
 − Zgodovinski okvir
 − O avtorici, virih in pripomočkih
 «« nazaj   « domov »   naprej »» 
Odvod smo dobili z limitnim računom, ko smo za izhodišče izračuna vzeli definicijo odvoda.
f'(x) =
 
lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
V naslednjih primerih bodo prikazani izračuni za odvode osnovnih elementarnih funkcij (konstanta, linearna funkcija, potenca, sinus, kosinus , eksponentna funkcija in logaritem). Limitni izračuni bodo potekali podobno kot je v prejšnjem poglavju potekal izračun za odvod kvadratne funkcije f(x) = x2. V primerih je na desni strani v dinamični sliki prikazan graf funkcije v rdeči barvi. S premikanjem rdeče točke T nariše modra točka K graf odvoda v modri barvi.
 

Odvod konstantne funkcije

Konstantno funkcija je oblike f(x) = c, pri čemer je c neko poljubno realno število. Konstanta je posebna oblika linearne funkcije f(x) = kx+n. Ker je predpis za konstanto f(x) = c, pomeni, da je k = 0. Zato pričakujemo, da bo odvod poljubne konstantne funkcije 0 (oziroma konstantna funkcije f(x)=0). V limitni obrazec za definicijo odvoda vstavimo: f(x+h) = c in f(x) = c.
f'(x) =
 
lim
h→0
c−c
h
  =
 
lim
h→0
0
h
  =
 
lim
h→0
 0 = 0

Torej: če je f(x) = c, potem velja f'(x) = 0

 

Odvod funkcije f(x) = x

Tudi tu lahko izhajamo splošnega predpisa za linearno funkcijo f(x) = kx+n. Vidimo, da je za našo funkcijo f(x) = x smerni koeficient enak 1. Torej lahko pričakujemo, da je odvod funkcije f(x) = x enak 1. V limitni obrazec za odvod bomo vstavili vrednosti f(x+h) = x+h in f(x) = x.
f'(x) =
 
lim
h→0
(x+h)−x
h
  =
 
lim
h→0
h
h
  =
 
lim
h→0
 1 = 1

Torej: če je f(x) = x, potem velja f'(x) = 1


 

Odvod funkcije f(x) = 2x

Ker je smerni koeficient naše funkcije enak 2, pričakujmo, da bo odvod funkcije f(x) = 2x enak 2. V obrazec bomo vstavili vrednosti:
f(x+h) = 2(x+h) in f(x) = 2x.
f'(x) =
 
lim
h→0
2(x+h)−2x
h
  =
 
lim
h→0
2x+2h-2x
h
  =
=
 
lim
h→0
2h
h
  =
 
lim
h→0
 2 = 2

Torej: če je f(x) = 2x, potem velja f'(x) = 2
 

Odvod funkcije f(x) = ax

Na osnovi ugotovitev zgornji dveh primerov lahko sklepamo, da je odvod funkcije f(x) = ax enak a. V obrazec za izračun bomo vstavili:
f(x+h) = a(x+h) in f(x) = ax.
f'(x) =
 
lim
h→0
a(x+h)−ax
h
  =
 
lim
h→0
ax+ah-ax
h
  =
=
 
lim
h→0
a · h
h
  =
 
lim
h→0
 a = a

Torej: če je f(x) = ax, potem velja f'(x) = a za vsako realno število a.
 

Odvod funkcije f(x) = x2

Za našo funkcijo f(x) = x2 bomo v obrazec za izračun odvoda vstavili vrednosti f(x+h) = (x+h)2 in f(x) = x2.
f'(x) =
 
lim
h→0
(x+h)3−x2
h
  =
 
lim
h→0
x2+2xh+h2−x2
h
  =
=
 
lim
h→0
2xh+h2
h
  =
 
lim
h→0
 2x+h = 2x
Torej: če je f(x) = x2, potem velja f'(x) = 2x
 

Odvod funkcije f(x) = x3

Za funkcijo f(x) = x3 bomo v obrazec za izračun odvoda vstavili vrednosti f(x+h) = (x+h)3 in f(x) = x3.
f'(x) =
 
lim
h→0
(x+h)3−x3
h
  =
 
lim
h→0
x3+3x2h+3xh2+h3−x3
h
  =
=
 
lim
h→0
3x2h+3xh2+h3
h
  =
 
lim
h→0
 3x2+3xh+h2 = 3x2
Torej: če je f(x) = x3, potem velja f'(x) = 3x2
 

Odvod funkcije f(x) = xn

Ker je elementarni izračun odvoda funkcije f(x) = xn s pomočjo definicije odvoda precej zahteven, ga bomo dokazali kasneje v poglavju pravil odvajanja. Poskusimo pa uganiti, kaj bi odvod takšne funkcije lahko bil. Pomagajmo si s prejšnjima primeroma. Oglejmo si odvod funkcije f(x) = x3. Pri odvodu te funkcije se vrednost eksponenta v potenci pomnoži s potenco, ki ima eksponent za eno manjši kot originalna potenca (iz 3 na 2). Poglejmo še za funkcijo f(x) = x2. Odvod te funkcije je enak 2x. Vrednost eksponenta 2 se res pomnoži s potenčno funkcijo x1, ki ima stopnjo zmanjšano za eno.

Torej: če je f(x) = xn, potem velja f'(x) = nxn-1

Pravilo za odvajanje poljubnih potenc je pravilno in ga bomo dokazali v naslednjem poglavju.
 

Odvod funkcije f(x) = sin(x)

Po izkušnjah, pridobljenih v gornjih primerih, lahko kar izračunamo odvod.
f'(x) =
 
lim
h→0
sin(x+h)−sinx
h
  =
 
lim
h→0
2·cos(x + h/2)·sin(h/2)
h
  =
=
 
lim
h→0
sin(h/2)
h/2
  ·
 
lim
h→0
 cos(x+h/2)  =
= 1 · cos(x) = cos(x)
Pri drugem enačaju smo uporabili pravilo pretvarjanja vsote v produkt:
sin(x) − sin(y) = 2·cos
(x+y)
2
 ·sin
(x-y)
2
Pri petem enačaju smo uporabili pravilo iz poglavja o limitah:
 
lim
h→0
sin(h/2)
h/2
  =
 
lim
x→0
sin (x)
x
  = 1
Torej: če je f(x) = sin(x), potem velja f'(x) = cos(x)
 

Odvod funkcije f(x) = cos(x)

f'(x) =
 
lim
h→0
cos(x+h)−cosx
h
 =
 
lim
h→0
-2·sin(x+h/2)·sin(h/2)
h
 =
=−
 
lim
h→0
sin(h/2)
h/2
  ·
 
lim
h→0
 sin(x+h/2) =
= −1 · sin(x) = −sin(x)
Pri drugem enačaju smo uporabili pravilo pretvarjanja vsote v produkt:
cos(x) − cos(y) = -2·sin
(x+y)
2
 ·sin
(x-y)
2
Pri petem enačaju smo uporabili isto pravilo kot v izračunu za sinus.

Torej: če je f(x)=cos(x), potem velja f'(x) = −sin(x)
 

Zapišimo še nekaj odvodov pomembnih elementarnih funkcij:

 če je f(x) = ex,velja f'(x) = ex

 če je f(x) = ekx,velja f'(x) = k·ekx

 če je f(x) = ax,velja f'(x) = ax·ln(a)

če je f(x) = ln(x), velja f'(x) =
1
x