Imamo poljubno krivuljo, podano s funkcijo f(x). Zanima nas naklon te krivulje v neki izbrani točki T, podobno kot poznamo naklon pri premicah. Opazimo, da bo določitev naklona na krivulji težje opravilo kot je bilo pri premicah. Oglejmo si naslednji primer:

Opazovanje krivulje omejimo na nek manjši interval. V tem intervalu si na krivulji izberemo poljubno točko A. Na krivulji izberemo še drugo poljubno točko B. Skozi točki narišemo premico. Določimo še točko C, kot je to prikazano na sliki. Naklon te premice je določen z razmerjem dolžin katet AC in BC v trikotniku ABC.
Premaknimo točko B proti točki A (na sliki postavi miškin kazalec na točko B, izvedi levi klik, zadrži tipko in premikaj miško). Ugotovimo, da se spreminjata naklon premice in trikotnik ABC. Ko s točko B dosežemo točko A, trikotnik izgine, premica pa postane dotikalnica (tangenta) na krivuljo v točki A. Ko je točka B levo od A, dobimo obrnjen trikotnik ABC, situacija pa je podobna tisti, ko je točka B desno od A.
Ugotovimo: najboljša mera za naklon krivulje v točki A je kar enaka naklonu tangente na krivuljo skozi točko A. Položaj točke A v koordinatni mreži naj bo (a,f(a)). Ko smo z a označili absciso točke A, njena ordinata je f(a), saj leži točka na krivulji, položaj točke B pa naj bo (b,f(b)). Točka C ima položaj (b,f(a)), saj ima isto ordinato kot točka A in isto absciso kot točka B.
Dolžina stranice CB je enaka Δf = f(b)−f(a),
dolžina stranice AC pa je enaka Δx = b−a,
količnik dolžin, ki je mera za naklon pa je enak k = (f(b)−f(a)) / (b−a).

Ko približujemo točko B k točki A, se b približuje k a, f(b) k f(a), količnik k pa se približuje k naklonu tangente. Temu postopku približevanja pravimo limitiranje, če se vrednost količnika k približuje nekemu končnemu številu, pa to število imenujemo limita. Zapišemo pa v obliki:

k =

lim b→a

Δf Δx

=

lim b→a

f(b)−f(a) b−a

Vpeljemo novo oznako h = b−a, potem je b = a+h. Ko gre b→a, gre h→0. Izraz za velikost naklona se sedaj glasi:

k =

lim h→0

Δf Δx

=

lim h→0

f(a+h)−f(a) h

Dobljeni količnik imenujemo diferenčni količnik. Podaja nam naklon tangente na krivuljo v točki A. Ker je tangenta premica, naklon krivulje v točki pa smo določili z naklonom tangente, pomeni da ima naklon poljubne krivulje enake lastnosti kot jih ima za linearno funkcijo. Za naraščajoče funkcije bo pozitiven, za padajoče negativen, za strme bo po absolutni vrednosti večji od 1 in za položne manjši od 1. Ker je po velikosti enak tangensu kota med premico in absciso, imamo s tem tudi podatek pod kakšnim kotom seka tangenta na krivuljo abscisno os. V konstrukciji na desni je prikazana krivulja, ki je graf funkcije f(x) = sinx.
S premikanjem točke na krivulji se spreminja tudi tangenta. Majhna sprememba položaja točke povzroči la majhno spremembo v naklonu tangente. To vidimo v gibanju modre točke K, katere ordinata ima vrednost naklona. Sled točke K je zopet krivulja. Vprašamo se, graf katere funkcije nariše točka K? Novo funkcijo bomo imenovali odvod funkcije f(x) in jo označili z f'(x).
Določili jo bomo z uporabo diferenčnega količnika, ko bomo namesto natančno določene točke A izbrali poljubno točko T s koordinatama (x,f(x)) na izbranem intervalu za spremenljivko x.

f'(x) =

lim h→0

f(x+h)−f(x) h

V tem izračunu bosta x in h spremenljivki, rezultat bo nek nov izraz s spremenljivko x, ki bo podajal predpis za odvod kot novo funkcijo.
Primer za funkcijo f(x) = x²

f'(x) =

lim h→0

(x+h)2−x2 h

=

lim h→0

x2+2xh+h2−x2 h

=

lim h→0

2xh+h2 h

=

lim h→0

2x+h = 2x

Za funkcija f(x) = x² je njen odvod funkcija f'(x) = 2x. Če ima funkcija f v točki a odvod, torej je f'(a) je končno število, potem pravimo, da je funkcija f v točki a odvedljiva.
Če ima funkcija f za vsako točko na intervalu [a,b] končen odvod, potem pravimo, da je funkcija f odvedljiva na intervalu [a,b].