LINEARNA FUNKCIJA

Osnovni pojmi

Geofizikalne meritve so pokazale, da temperatura v zemeljski skorji narašča enakomerno z globino.Blizu površja je okrog 20⁰ C, nato pa z vsakim kilometrom globine naraste za 10⁰ C.

Če označimo globino z x in z y temperaturo v ⁰ C, opisuje ta odnos obrazec

y = 10x + 20 Ta obrazec je primer linearne funkcije.

Kolikšna je temperatura 4km globoko?

X = 4 ; y = 10.4 + 20 ; y = 60⁰

Iz obrazca lahko izračunamo temeraturo v različnih globinah zemeljske skorje.

Rezultate lahko zapišemo v obliki tabele:

Globina v km	Temperatura
0	20
1	30
2	40

Rezultate lahko zapišemo kot urejene pare in sicer je prvo število vedno poljubno izbrana vrednost spremenljivke X, drugo število pa vedno pa za izbrani x izračunana vrednost spremenljivke y.

x	y
0	20
1	30
2	40

Torej vrednosti x in y se spreminjata. Zato se imenujeta spremenljivki.. Vrednost

spremenljivke x si izberemo poljubno in jo imenujemo neodvisna spremenljivka, vrednost spremenljivke y pa vedno izračunamo in je odvisna od vrednosti spremenljivke x. Imenujemo jo odvisna spremenljivka.

Torej je vrednost spremenljivke y odvisna od vrednosti spremenljivke x. Besedici » odvisno od « pa v matematiki nadomestimo z besedo

» funkcija » in namesto da rečemo y je odvisen od x ,govorimo y je funkcija x in to zapišemo:

y = f(x) ali f(x) = y

Zgornjo tabelo lahko zapišeš: f(0) = 20, f(1) = 30, f(2) = 40

Urejene pare lahko upodobiš v pravokotnem koordinatnem sistemu. Množico točk, ki so slike vseh urejenih parov, imenujemo graf funkcije. Vseh urejenih parov je preveč zato si zberemo nekaj primernih vrednosti x in iz funkcije izračunamo pripadajoče vrednosti y. Navadno vzamemo nekaj pozitivnih in nekaj negativnih vrednosti.

Risanje grafa linearne funkcije

Nariši graf linearne funkcije y = x + 4!

Postopek:

a) Najprej narišeš pravokotni koordinatni sistem, označiš izhodišče in enote na obeh oseh.

b) Iz funkcije izračunaj ustrezni y za vsak izbrani x .

X	-2	-1	0	1	2	3	4
Y	2	3	4	5	6	7	8

korak

-2 interval +4

Vrednosti spremenljivke x si izberi od –2 do 4. Razdaljo med -2 in +4 imenujemo interval. Razlika med dvema zaporednima izbranima vrednostima za x pa naj bo 1. To razliko imenujemo korak.

c) Upodobi na ta način dobljene urejene pare (x, y) – točke.

Upodobljene točke ležijo vzdolž ravne črte.

d) Potegni premico skozi narisane točke.

Grafi linearnih funkcij so neomejene ravne črte ( linije) – premice.

Splošna linearna funkcija ima obliko y= kx + n,

kjer sta k in n realni števili.

V našem primeru je y = x + 4 je k = 1 in n = 4.

Linearnih funkcij je nešteto, saj vsak par števil za k in n določa drugačno linearno funkcijo.

Med neodvisno spremenljivko x in odvisno spremenljivko y so lahko naslednje povezave:

a) y = x – identiteta b) y = -x –nasprotna vrednost

c) y = x + 3 – premik d) y = 2x – razteg

e) y = x^-1 –obratna vrednost f) y = a (stalna-konstantna vrednost)

Primera e) in f) nista linearni funkciji!

Odseki grafa linearne funkcije na koordinatnih oseh

Načrtaj funkcijo y = x + 3

1. Najprej moraš določiti vsaj tri urejene pare (x, y), ki ustrezajo enačbi.

Računi: x = -2 y = (-2) + 3 = 1

x = 0 y = .0 + 3 = 3

x = 4 y = .4 +3 = 5

2. Nato zapišeš rezultate v tabelo:

x	-2	0	4
y	1	3	5

Urejeni pari so: (-2,1), (0,3) in (4,5)

3. Vse tri točke narišeš in skoznje potegneš premico.-

Graf seka x-os v točki (-6, 0) in y-os v točki(0, 3). Točka (-6, 0) je odsek na osi x, točka (3, 0) je odsek na osi y.

Odseke si ugotovil grafično. Sedaj pa še analitično.

Iz y = x + 3 ju izračunaš tako:

a) Odsek na osi y:

Vstavi v funkcijo x = 0 in izračunaj y! y = .0 + 3 = 3 y = 3

Za vse linearne funkcije velja:

x = 0 ; y = k . 0 + n ; y = n Odsek na y osi je (0,n) n se imenuje konstantni člen

b) Odsek na osi x:

Vstavi v funkcijo y = 0 in izračunaj x! 0 = x +3;

- x = 3; x = - 6

Za vse linearne funkcije velja:

y = 0 ; 0 = kx + n ; -kx = n ; x = Odsek na x osi je (, 0)

· Risanje grafa linearne funkcije s pomočjo odsekov

Namesto , da si zbereš nekaj vrednosti zapiši začetno tabelo takole

x	0
y		0

in izračunaš manjkajoča x in y.

x	0	- 6
y	3	0

Vedno je priporočljivo poiskati za kontrolo še eno točko.

Strmina ali naklon premice

Pred teboj so grafi treh premic, ki imajo vse enak odsek na y- osi, toda različne strmine.

Strmino premice v matematiki imenujemo naklon premice.

Določiš ga na sledeči način:

Na premici si zbereš dve točki. Če se premakneš v vodoravni smeri – po osi x- se ta premik imenuje sprememba v x – smeri, če pa se premakneš v navpični smeri pa se ta premik imenuje sprememba v y - smeri.

Naklon premice je razmerje med obema spremembama:

y = ½ x +2 y = 1 x + 2 y = 2 x + 2

Naklon premice =, ko se premakneš od ene k drugi točki na premici.

Za naklon premice dobiš vedno enako vrednost, ne glede na to, kateri točki si si izbral.

Geometrijski pomen naklona premice

Če se premakneš po poljubni premici za 1 enoto v desno je naklon premice :

Naklon premice == = sprememba v y – smeri

Naklon premice je enak spremembi v navpični smeri, ko se premaknemo v vodoravni smeri za 1 enoto.

Na sliki vidiš, da premica s pozitivnim naklonom raste, premice z negativnim naklonom pa pada s vsakim premikom od leve proti desni.

Pomen koeficientov k in n v linearni funkciji y = kx + n

Poglej sliko treh linearnih funkcij, ki imajo enak odsek na y – osi. Iz njihovih enačb lahko ugotoviš, da imajo vse enak konstantni člen n.

To lahko poveš tudi tako:

Koeficient n v enačbi linearne funkcije y = kx + n je y - koordinata točke, v kateri graf te funkcije seka y - os.

Če bi izračunal naklone narisanih premic bi ugotovil, da je naklon premice enak koeficientu k pri x v enačbi y = kx + n.

Torej velja:

V linearni funkciji y = kx + n je koeficient k enak naklonu premice, ki je graf te funkcije, koeficient n pa je enak njenemu odseku na y – osi.

Sedaj pa o naklonu premice k in stalnemu členu n malo drugače.To so lastnosti grafa y = kx + n.

a) Če je x = 0 ; y = k .0 +n ; y = n. Torej je točka na grafu N(0,n). Graf seka y os v točki N(0,n).

b) Izberi si dva različna x₁in x₂ in izračunaj ustrezna y₁ in y₂.

y₁ = k . x₁ + n

y₂ = k . x₂ + n

Razlika je:

y₂ – y₁ = k .x₂ + n – ( k . x₁ + n)

y₂ – y₁ = k .x₂ + n – k . x₁ – n

y₂ – y₁ = k .x₂ – k . x₁ Izpostavi skupni faktor!

y₂ – y₁ = k .( x₂ – x₁) Iz enačbe dobiš: k =

Izraz lahko zapišeš na kratko in ga imenujemo diferenčni količnik funkcije, kjer je y = y₂ – y₁in x = x₂ – x₁.

( y je sprememba po y – osi, x je sprememba po x – osi)

Diferenčni količnik linearne funkcije je neodvisen od izbire točk x₁ in x₂ in je enak konstanti k.

Če povežeš znanje o difernčnem količniku ( spremembi po y –osi in spremembi po x – osi) z znanjem o kotnih funkcijah lahko naklon premice tudi izračunaš:

k = = = tg

x

y

T

1

2

T

1

1

1

1

2

2

2

2

x

x

x

x

y

y

y

y

-

-

O

1

1

Dolžina daljice

V ravnini koordinatnega sistema sta dani dve točki A(x₁, x₂) in B(x₂, y₂). Izračunati želiš dolžino daljice AB ( razdaljo točk A in B).

x

2

x

x

y

y

x

A

B

1

1

2

2

-

-

1

x

y

0

y

y

1

1

2

Iz slike je razvidno, da je daljica AB hipotenuza pravokotnega trikotnika s katetama x₂ – x₁ in y₂ – y₁ in je zato po Pitagorovem izreku:

V narisanem primeru je x₂> x₁ in y₂ > y₁ sta dolžini katet x₂ – x₁ in y₂ – y₁ pozitivni. Ker sta točki A in B sta lahko postavljeni tudi drugače sta dolžini katet v splošnem primeru enaki absolutni vrednosti ½x₂ – x₁½ in ½ y₂ – y₁ ½.

Ker sta dolžini katet x₂ – x₁ in y₂ – y₁ pod korenom kvadrirani lahko znak absolutne vrednosti izpustiš.

Ploščina trikotnika

V ravnini so dane tri točke A(x₁, x₂), B(x₂, y₂) in C (x₃, y₃). Želiš izračunati ploščino trikotnika ABC. Točke A, B in C naj bodo zaenkrat v prvem kvadrantu, tako kakor je na obeh slikah.

Najprej boš spoznal orientacijo trikotnika.

A

B

C

A

B

C

POZITIVNA ORIENTACIJA

NEGATIVNA ORIENTACIJA

0

X

Y

0

X

Y

Trikotnik ABC je pozitivno orientiran, če si dane točke – oglišča trikotnika A, B in C sledijo v nasprotni smeri urnega kazalca.

Trikotnik ABC je je negativno orientiran, če si dane točke – oglišča trikotnika A, B in C sledijo v smeri urnega kazalca.

V primeru I je ploščina trikotnika ABC enaka vsoti ploščin trapezov

T₁T₃ CA in T₁T₃ BC minus ploščina trapeza T₁T₂BA:

( Obrazec za izračun ploščine trapeza je )

Ploščina trapeza T₁T₃ CA je:

Ploščina trapeza T₁T₃ BC je:

Ploščina trapeza T₁T₂BA je:

Ploščina trikotnika ABC je:

S_ABC = + -

Ko obrazec urediš dobiš:

2S_ABC = x₁. (y₂ – y₃) + x₂. (y₃ – y₁) – x₃. (y₁ – y₂)

V II primeru je obrazec za ploščino trikotnika enak le da ima nasproten predznak saj nastopajo vsi trije členi z nasprotnimi predznaki. Če bi računal ploščino primera II po obrazcu za primer I, bi dobil po absolutni vrednosti isti po predznaku pa nasprotni rezultat.

2S_ABC = ½x₁. (y₂ – y₃) + x₂. (y₃ – y₁) – x₃. (y₁ – y₂) ½

Predznak, ki ga dobiš pri računanju ploščine S trikotnika po obrazcu

je odvisen od razvrstitve oglišč trikotnika. Če je rezultat pozitiven so oglišča A,B,C razvrščena v nasprotni smeri urnega kazalca – pozitivna orientacija, če je pa negativen pa so oglišča A,B,C razvrščena v smeri urenga kazalca – negativna orientacija.

Bolj elegantno računanje ploščine trikotnika je z determinanto o kateri boš zvedel kaj več pozneje.

Sedaj je dovolj, da upoštevaš pravilo, da od produkta števil po diagonali 1odšteješ produkt po diagonali 2 in dobiš dvakratno ploščino trikotnika ABC.

2 1

Obrazca veljata ne glede na to v katerem kvadrantu je trikotnik.

Nakloni premic: y = 1/2x +2, y = x + 2, y = 2x +2 so:

k = tg = ½ , k = tg = 1 , k = tg= 2

S pomočjo kalkulatorja izračunani naklonski koti so:

= 26⁰ 33^' , = 45⁰ , = 63⁰ 26^'

Kot med premicama

V koordinatnem sistemu naj bosta dani premici p₁: y = k₁ x + n₁ in p₂: y = k₂ x + n₂. Izračunati želiš kot j med njima.

Smerni koeficient k₁ premice z enačbo y = k₁ x + n₁, je pri čemer je a₁ naklonski kot premice p₁, a₂ pa naklonski kot premice p₂ proti pozitivnemu kraku osi x. Enako je smerni koeficient premice p₂ enak k₂ = tg a₂.

Zunanji kot a₂ trikotnika M₁ M₂ P je enak vsoti notranjih nepriležnih kotov a₁ in j: a₂ = a₁+ j. Med kotoma a₁, a₂ in j, ki ga oklepata dani premici je zveza: ( j + a₁ + p - a₂ = p Þ j = p - a₁ - p + a₂ )

j = a₂ - a₁

y

2

1

x

O

1

p

p

1

2

2

-

- kot med premicama

Od tod sledi:

tg j = tg (a₂ - a₁)

Po adicijskem izreku za tangens:

kar lahko zapišeš tudi tako:

Če bi zamenjal vrstni red premic p₁ in p₂ bi dobil:

Kota med premicama sta j in j₁. Eden od njiju je top, drugi pa njemu suplementaren.

Dogovor je, da se za kot med premica vedno navaja ostri kot.

Vzporedni premici

Premici sta vzporedni natanko tedaj, ko sta njuna smerna koeficienta enaka.

Če sta premici vzporedni je kot med njima 0⁰. Ker je tg 0⁰ = 0, je po obrazcu za kot med premicama k₂ – k₁ = 0 in od tod je k₂ = k₁

Pravokotni premici

Premici sta med seboj pravokotni natanko tedaj, če sta smerna koeficienta nasprotna in obratna.

Če je kot med premicama 90⁰ je tangens kota nedefiniran.To pomeni, da je v obrazcu imenovalec 0, od koder sledi, da je

k₂ . k₁ = - 1 in

Oddaljenost točke od premice

Poznaš točko T₁ (x₁,x₂) in premico q v normalni obliki x . cos j + y . sin j - p = 0

Izračunati želiš razdaljo točke T od premice q. Premica q ima dva bregova. Dogovor je, da je breg, na katerem je koordinatno izhodišče O, pozitivni breg, nasprotni breg pa negativni breg.

Naj bo točka T na pozitivnem bregu in naj ima od premice q razdaljo d.

x

y

D

T

p - d

( x , y )

q

d

O

q

1

1

1

1

Negativni breg

Pozitivni breg

Skozi točko T₁ položi vzporednico q₁ k premici q. Njena enačba je x . cos j + y . sin j- (p – d) = 0.

Ko gre premica q₁ skozi točko T₁ zadoščata koordinati točke T₁ enačbi premice :

x₁ . cos j + y₁ . sin j - p + d = 0

Iz te enačbe pa lahko izraziš d, ki je orientirana razdalja:

d = - (x₁ . cos j + y₁ . sin j - p)

Če je točka T₁na negativnem bregu,dobiš po tem obrazcu razdaljo s predznakom - , na pozitivnem bregu pa s predznakom +.

V obrazcu je vsebovana razdalja d in orientacija ± 1.

Razdaljo točke od premice izračunaš takole:

Premico zapiši v normalni obliki, namesto spremenljivk x in y zapiši koordinati točke T₁, katere razdaljo računaš.Pred dobljeno vrednost postavi še predznak -.

Če ima rezultat predznak +, je točka na istem bregu kot koordinatni začetek O ; če pa je predznak - , je točka na negativnem delu premice.

Oblike enačb premice

Eksplicitna oblika

y = kx + n

kjer sta k in n realni števili x in y pa koordinati poljubne točke T na tej premici; k je smerni koeficient n odsek na y osi.

Enačba premice skozi dano točko in znanim naklonom- smernim koeficientom

Za poljubno točko T(x, y) in določeno točko T₁ ( x₁, y₁) na isti premici velja:

in od tod y – y₁ = k . ( x – x₁ )

Tudi to je enačba premice, samo da je zapisana malo drugače. Zapis y – y₁ = k . ( x – x₁ ) ti omogoča, da zapišeš enačbo premice, če poznaš k in dano točko T₁ ( x₁, y₁).

Enačba premice skozi dve dani različni točki T₁ (x₁,y₁) in T₂(x₂,y₂)

Če upoštevaš, da diferenčni količnik ni odvisen od izbire točk x₁ in x₂ in je enak smernemu koeficientu k, potem je k tudi:

Če vstaviš, k v obrazec y – y₁ = k . ( x – x₁ ) dobiš:

y – y₁ = . ( x – x₁ )

To je enačba premice skozi dve dani točki T₁ ( x₁, y₁) in T₂ ( x₂, y₂).

Implicitna oblika

ax + bx - c = 0

Vsaka premica ima enačbo v implicitni obliki. Enačba ima spremenljivki x in y in konstante a, b in –c. Če b ¹ 0 lahko preoblikuješ enačbo ax +by – c = 0 v obliko:

by = - ax +c .

Če deliš z b dobiš:

V primerjavi z eksplicitno obliko y = kx + n je razvidno, da je:

Odsekovna(segmentna) oblika

Premica odreže od osi x- abcisne osi odsek m, od osi y – ordinatne osi pa odsek n.

Z odsekom m je dana točka M na x osi M( m, 0), z odsekom n

pa je dana točka N na y osi N(0, n).Izračunaj najprej k iz obrazca

Sedaj pa iz obrazca y – y₁ = k . ( x – x₁ ) dobiš:

y – n = . ( x – 0) in od tod y – n =

Enačbo še deliš z n in jo urediš:

Dobil si posebno obliko enačbe premice, kjer sta m in in oseka na koordinatnih oseh. Imenuje se odsekovna ali segmentna oblika enačbe premice.

Normalna oblika

x . cos j + y . sin j - p = 0

Uporabimo jo takrat, če poznamo razdaljo premice od koordinatnega izhodišča ter pozitivni kot, ki ga ta razdalja oklepa s pozitivno smerjo osi x.

x

y

p

n

m

M

N

O

P

Slika:

Razdalja premice od izhodišča je označena s p, pozitivni kot, ki ga ta razdalja oklepa s pozitivno smerjo osi x pa z j, x in y pa sta koordinati poljubne točke, ki leži na tej premici.

Za pišimo enačbo te premice, ki je dana s podatkoma p in j, v segmentni obliki: