EKSPONENTNA FUNKCIJA

1) Denimo, da vam je nekdo za mesec dni ponudil zaposlitev, pri kateri bi zaslužili prvi delovni dan v mesecu 2 tolarja, drugi dan 4 tolarje, tretji dan 8 tolarjev itd. Bi delo sprejeli?

Matematik bi!  Dvajseti dan v mesecu bi zaslužil 2²⁰ tolarjev. Nikar tega ne izračunajte, ker je nevarnost, da se ne boste več učili matematike, temveč začeli iskati tako zaposlitev.

 2) Rast prebivalstva na Zemlji narašča kot eksponentna funkcija z osnovo 1,017. Leta 1990 je bilo na Zemlji 5,3 milijarde prebivalcev. Če s t označimo leta po letu 1990 potem  število prebivalcev v opazovanem letu opišemo z eksponentno funkcijo

N = 5,3 . 1,017 ^t.

Nekaj možnosti imaš, da bo tvoj otrok 7 miljardni prebivalec Zemlje!

Če te zanima, kdaj bo to in koliko boš star pa to izračunaj ! 

3) Živiš v radioaktivni dobi. Pomemben podatek pri razpadanju radioaktivne snovi je razpolovna doba . To je čas, v katerem razpade polovica vse radioaktivne snovi. Ta doba je odvisna le od radioaktivnega elementa, ne pa tudi od količine snovi, ki razpada.

Količino snovi, ki v času t še ni razpadla, opisuje eksponentna funkcija

 M = m₀ . , kjer je m₀ količina snovi ob začetku merjenja časa.

Morda boš kdaj pobrskal po kakšnem leksikonu in za kakšen element vstavil podatke  in potem bolje razumel ljudi, ki se borijo proti atomski energiji.

Druga  skupina pomembnih funkcij so  torej eksponentne funkcije. To so funkcije pri katerih je osnova stalna in eksponent spremenljivka. Primeri eksponentnih funkcij so: f(x) = 2 ^x,  f(x) = 4 ^x,  f(x) = 5 ^{2 – x},

 f(x) = ,  f(x) =  itd.

Za začetek si oglejmo funkcijo f(x) = 2^x, kjer je x lahko celo število ali ulomek. Do pomembnega spoznanja pa pridemo, če je f(x) = ( - 2)^x .

Če je x = , dobimo = . Kvadratni koren iz negativnega števila pa ne obstaja v obsegu realnih števil. Podobno ne dobimo nobene vrednosti pri poljubnem korenu sode stopnje, torej , če je

x = Zato osnova v eksponentni funkciji ne sme biti – 2 in iz enakih razlogov tudi ne nobeno negativno število.

Eksponentna funkcija je funkcija oblike f(x) = a ^x , kjer je a > 0 in    a ¹ 1. Obstaja pri vseh vrednostih spremenljivke x.

Pri vrednosti a = 1 dobimo funkcijo f(x) = 1^x  = 1, ki pa smo jo že obravnavali. Njen graf je premica.

Pri izračunavanju vrednosti eksponentnih funkcij si bomo pomagali z računalom.

Poglejmo si nekaj osnovnih primerov:

Iz a = 2 sledi, da je f(x) = a ^x enako f(x) = 2 ^x. Graf te funkcije dobimo tako, da funkcijo tabeliramo in s tem poiščemo nekaj točk grafa:

 Za natačnejše načrtovanje je potrebno izračunati še več vrednosti.

Na primer:,  itd. Pri teh izračunih si pomagaj s računalom.

Graf funkcije 2^x.

 Krivulja leži vsa nad  x osjo, seka y- os v točki ( 0,1)  in postaja čedalje bolj strma, če se po njej premikamo od leve proti desni. Za vsakič, ko se pomaknemo za 1 proti desni, se njena vrednost podvoji ( 2 ^{x +1} = 2 ^x . 2 ). Ko pa gre x  proti - ¥ , se funkcija 2^x bliža 0,vendar je zmeraj večja od 0. Os x je asimptota obravnavane funkcije.

       Iz a = 10 sledi, da je f(x) = a ^x enako f(x) = 10 ^x.

Če je osnova eksponentne funkcije večja, funkcija še hitreje narašča  - še hitreje kot funkcija 2 ^x. Pri pomiku za  1 v desno se njena vrednost pomnoži z 10

( 10 ^{x + 1} = 10 ^x . 10 ). Ko gre x proti - ¥, pa se bliža osi x hitreje kot 2 ^x. Zato pri risanju grafov eksponentnih funkcij včasih izberemo v smeri y-osi manjšo enoto kot v smeri x-osi.

Tabela:

Oba grafa potekata skozi točko (0, 1), torej sekata y - os v isti točki.  Oba se na desni strani y - osi čedalje bolj strmo dvigata, levo od y - osi se oba čedalje bolj prilegata x-osi. Te lastnosti so skupne grafom vseh eksponentnih funkcij, katerih osnove so večje od 1. Za a  > 1 je a ^x naraščajoča funkcija.

    Naj bo sedaj 0 < a <  1. Najprej naj bo a =  . Torej je f(x) = a ^x enako f(x) = .

Funkcijo bomo tabelirali, jo narisali in na isto sliko še narisali še funkcijo f(x) = 2 ^x ter ju primerjali.

Tabela:

 Opazimo, da je graf funkcije f(x) =  zrcalna slika grafa funkcije f(x) = 2 ^x čez

y - os. Torej, če sta osnovi eksponentnih funkcij recipročni števili, sta njuna grafa zrcalni sliki drug drugega čez os y.

 Iz a =  sledi, da je f(x) = a ^x enak f(x) = . Narišimo še ta graf.

Tabela:

Slika:

Oba grafa potekata skozi točko (0, 1). Oba se najprej strmo, nato pa vse bolj počasi spuščata, ko gremo vzdolž njiju od leve proti desni, in oba se na desni strani bolj prilegata x-osi.

Funkcija 2 ^{– x}  - prav tako 3 ^{– x} – je padajoča . Ker je 2 ^{– (x + 1)} = 2 ^{– x}. 2 ^-1 = . 2 ^{– x}  se njena vrednost razpolovi pri pomiku za 1 v desno. Pri grafu 10 ^{– x}  pa je njena vrednost pri enakem pomiku v desno 10 krat manjša.

Naj bo sedaj  a <  0, torej negativen.

Oglejmo si funkcijo f (x) = - 2 ^x.

Narišimo najprej graf funkcije 2 ^x . Iskani graf f (x) = - 2 ^x dobimo tako, da vse vrednosti pomnožimo z ( - 1). Vse točke grafa 2 ^x se prezrcalijo čez abcisno os. Tudi ta funkcija je padajoča.

 Načrtajmo še graf funkcije f(x) = a ^x + c.

Naj bo a = 3 in c = - 2. Zapišimo funkcijo: f(x) = 3^x – 2 ter načrtajmo njen graf. Ta graf dobimo iz grafa funkcije 3^x tako, da vsem vrednostim odštejemo 1, torej ga pomaknemo za 2 navzdol. Asimptota grafa je premica y = - 2.

 Logaritemska funkcija

Graf za funkcije y = log ₁₀ x dobimo tako,da prezrcalimo graf funkcije y = 10 ^x čez simetralo lihih kvadrantov

( inverzna funkcija).