Domov

Naloge z napako

Na tej spletni strani sem zbral nekaj zgledov nalog z napako. Gre za naloge, ki jih lahko najdemo v različnih knjigah, vendar pa je z njimi nekaj narobe. Pri nekaterih zgledih je napaka že v samem besedilu naloge, pri drugih je napaka v rešitvi. Za vsako nalogo prilagam tudi uradno rešitev (oziroma „rešitev”).

Vsako nalogo naprej poskusite pravilno rešiti. Potem preverite uradno rešitev in poiščite napako.
  1. V trikotniku ABC je stranica b za 20% krajša od stranice a, stranica c pa je dvakrat daljša od stranice a, Izračunaj stranice tega trikotnika, če veš, da obseg trikotnika meri 57 cm.
    Uradna rešitev:   a=15 cm, b=12 cm, c=30 cm
    Napaka:
    Trikotnik s takimi stranicami ne obstaja, ker je stranica c tako dolga, da ostalih dveh stranic ne moremo sestaviti skupaj.
    To pomeni, da ni izpolnjena trikotniška neenakost c<a+b.
    To ni trikotnik
    Pri danem besedilu naloge se pravilni odgovor glasi:
    Naloga nima rešitve – tak trikotnik ne obstaja.
  2. Dolžine stranic v n-kotniku sestavljajo končno geometrijsko zaporedje s količnikom k=3. Najkrajša stranica meri 5 cm, obseg tega n-kotnika pa meri 1820 cm. Določi število n in izračunaj dolžino najdaljše stranice.
    Uradna rešitev:   n=6 (to je šestkotnik),  a6=1215 cm
    Napaka:
    Če izračunamo vrednosti vseh členov ustreznega geometrijskega zaporedja (5, 15, 45, 135, 405, 1215), hitro vidimo, da bi morala biti najdaljša stranica dosti daljša kot vse ostale stranice skupaj. Podobno kot v prejšnji nalogi lika s takšnimi stranicami ne moremo sestaviti.

    To je posledica količnika k=3. Stranice večkotnika nikoli ne morejo sestavljati geometrijskega zaporedja s količnikom k2, saj bi bila najdaljša stranica v tem primeru predolga.
    (Mimogrede: tudi k12 ni v redu.)

    Pri danem besedilu naloge se pravilni odgovor glasi:
    Naloga nima rešitve – tak večkotnik ne obstaja.
  3. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil  a=n2+n  in  b=n2n.
    Uradna rešitev:   D=n, v=n(n+1)(n1)
    Napaka:
    Prva napaka je pomanjkljivo izražanje.
    V besedilu naloge ne piše, v okviru katere množice je treba računati. Privzemimo, da gre za deljivost v množici celih števil Z.

    Poglejmo še drugo (hujšo) napako.
    Z razcepom dobimo a=n(n+1) in b=n(n1). Očitno je n skupni delitelj, vendar pa to ni nujno največji skupni delitelj. Če je spremenljivka n liho število, sta faktorja n+1 in n1 sodi števili in imata skupni delitelj 2.

    Pravilni odgovor je torej daljši in ima dve varianti:
    Če je n sodo število, velja:  D=n, v=n(n+1)(n1);
    če je n liho število, potem pa velja:  D=2n, v=12n(n+1)(n1).
  4. Dokaži, da za vsak xR velja:   x1x11xx=1
    Uradna rešitev:   Enakost res velja za za vsak xR.
    Napaka:
    Preoblikujmo izraz na levi strani:

    x1x11xx = x21x x1xx=

    =x21x1x =(x1)(x+1)x1x=

    =(x+1)x =1

    Tako vidimo, da je vrednost danega izraza res vedno enaka 1.
    Vedno?
    Pravzaprav ne: če poskusimo v prvotni izraz vstaviti x=0 ali x=1, hitro vidimo, da vrednost izraza ni enaka 1, pač pa je nedefinirana zaradi deljenja z 0.

    Napaka je torej v besedilu naloge.
    Namesto „Dokaži, da za vsak xR velja”, bi moralo pisati:
    Dokaži, da enakost velja za vsak xR, za katerega je izraz na levi definiran.
    Ali pa morda bolj konkretno:
    Dokaži, da enakost velja za vsak xR{0, 1}.
  5. Dokaži, da ima dana enačba za vsak mR dve različni realni rešitvi:   x23x=2x218m+2
    Uradna rešitev:   Enačba ima rešitvi x1=3 in x2=6m.
    Napaka:
    Poskusimo rešiti enačbo. Najprej odpravimo ulomek in uredimo člene:
        mx2(3m+6)x+18=0

    Izračunamo diskriminanto D=(3m6)2 in rešitvi:
        x1=3, x2=6m

    Na prvi pogled se zdi, da ima enačba res vedno dve rešitvi. Podrobnejši pregled pa nam pokaže nekaj izjem:
    • Če je m=2, enačba sploh ne obstaja (ni smiselna), saj v imenovalcu desne strani enačbe nastopa 0. Desna stran enačbe torej ni definirana.
    • Če je m=2, je diskriminanta kvadratne enačbe enaka 0, zato ima enačba eno samo rešitev. Izračunani vrednosti x1 in x2 predstavljata isto rešitev, saj velja: x2=62=3=x1.
    • Če je m=0, pa dana enačba sploh ni kvadratna enačba. V tem primeru je enačba linearna (3x=9) in ima eno samo rešitev (x=3).
    Besedilo naloge bi se moralo glasiti:
    Dokaži, da ima dana enačba za vsak mR{2, 0, 2} dve različni realni rešitvi.
  6. Poišči realno število x, za katero velja:   x25x=5x9
    Uradna rešitev:   x=9
    Napaka:
    Poskusimo rešiti enačbo. Najprej odpravimo oba korena in uredimo člene:
        x210x+9=0

    Ta enačba ima dve realni rešitvi:
        x1=9, x2=1

    Zdaj naredimo preizkus:
    • Za x1=9 dobimo na obeh straneh enačbe isto vrednost 36=6. Preizkus velja in število x1=9 je rešitev dane enačbe.
    • Za x2=1 dobimo na obeh straneh enačbe isto vrednost 4=2i. Preizkus tudi v tem primeru velja in tudi število x2=1 je rešitev dane enačbe.
    Problem pri tej nalogi je vprašanje, če je prav, da v drugem preizkusu uporabimo kompleksna števila. V besedilu naloge piše, da mora biti x realno število, nič pa ne piše o preizkusu. Če se strogo držimo besedila, je x2=1 tudi rešitev dane enačbe.

    Vendar pa je tako tolmačenje zelo enostransko in ozkogledo.
    Resnični problem je vprašanje, ali naslednji dve navodili pomenita isto:
     – V množici R reši enačbo…
     – Poišči realno število x, za katero velja…

    Navodilo „V množici R reši enačbo” pomeni, da morajo vsi računi (pri reševanju in pri preizkusu enačbe) potekati v množici R.
    Drugo navodilo govori samo o realnosti števila x. To navodilo ni dovolj natančno. Problem naloge torej ni v uradni rešitvi, pač pa v uradnem besedilu, ki ni dovolj natančno.

    Sklep: Napaka se skriva v besedilu naloge. Besedilo bi se moralo glasiti:
    V množici R reši dano enačbo.
    (In uradna rešitev je potem pravilna: x=9.)
  7. Pravilna pokončna prizma ima za osnovno ploskev večkotnik z obsegom 128 cm in s ploščino 1230 cm2. Višina te prizme meri 20 cm. Izračunaj prostornino in površino te prizme.
    Uradna rešitev:   V=24600 cm3, P=5020 cm2
    Napaka:
    Poskusimo ugotoviti število stranic (n) osnovne ploskve.

    Iz obsega lahko določimo, koliko meri stranica a za različne vrednosti števila n=3,4,5,6,
    S tako dobljeno stranico a lahko potem izračunamo ploščino osnovne ploskve (S) in dobimo naslednje rezultate:
        n aS342.7788.3432.01024.0525.61127.5621.31182.4718.31215.1816.01236.1914.21250.4
    Kot vidimo, ploščine sestavljajo rastoče zaporedje, vendar pa v tem zaporedju ne nastopa ploščina 1230 cm2. Osnovna ploskev torej ni niti sedemkotnik niti osemkotnik, pač pa bi morala biti „nekaj vmes” – kar seveda ni možno.

    Pri danem besedilu naloge se pravilni odgovor glasi:
    Naloga nima rešitve – taka prizma ne obstaja.
  8. Pokončna piramida ima za osnovno ploskev romb z diagonalama e=24 cm, f=10 cm. Višina te piramide meri v=17 cm. Izračunaj prostornino in površino te piramide.
    Uradna rešitev:   V=680 cm3, P=578 cm2
    Napaka:
    Problem pri tej nalogi je definicija pojma „pokončna piramida”.
    V starejših učbenikih in priročnikih je pokončna piramida definirana kot piramida, ki ima vse stranske robove enako dolge. Piramida, ki ima za osnovno ploskev romb, po tej definiciji sploh ne more biti pokončna, saj ima vedno dva daljša in dva krajša stranska robova.
    Če upoštevamo to definicijo, potem se pravilni odgovor glasi:
    Naloga nima rešitve – pokončna piramida s tako osnovno ploskvijo ne obstaja.

    Dejansko pa je zgoraj opisana definicija problematična. Zato avtorji novejših učbenikov definicijo pokončne piramide pogosto kar izpustijo in se pretvarjajo, da pokončnost ni nekaj, kar bi nas pri piramidah zanimalo.

    Ali obstaja boljša definicija pokončnosti? Fizikalno in po zdravi pameti bi bila ustrezna naslednja definicija: Piramida je pokončna, če leži spodnje krajišče višine v težišču osnovne ploskve.
    Če bi veljala ta definicija, potem bi bila uradna rešitev pravilna.
    Žal te definicije ne najdemo v matematični literaturi.
  9. Dana je funkcija f(x)=2sinx2.

    (a)   V spodnji koordinatni sistem nariši graf te funkcije.

    (b)   Izračunaj kot, ki ga oklepata graf funkcije in abscisna os.

    Koordinatni sistem
    Uradna rešitev:   (b)  φ=45
    Napaka:
    Napaka pri tej nalogi je nepravilno narisan koordinatni sistem.

    Rezultat φ=45 je izračunan pravilno. Če pa graf narišemo v dani koordinatni sistem, narisani kot ne meri 45. Namesto tega vidimo na sliki precej večji kot (približno 57.5):

    Koordinatni sistem

    Žal avtorji matematičnih nalog vse prepogosto pozabljajo, da veliko postopkov in formul velja samo v koordinatnem sistemu, ki ima na obeh koordinatnih oseh enako velike enote (glej: Standardni in nestandardni koordinatni sistem).

    Popravimo torej enote. Če so enote na obeh oseh enake, mora biti π3.14 enot. V takem koordinatnem sistemu je kot med grafom in vodoravno osjo res 45:

    Koordinatni sistem

  10. Dana je funkcija f(x)=x2x1. Pokaži, da funkcija f narašča za vsak x1.
    Uradna rešitev:   Odvod je enak f(x)=1(x1)2 in je pozitiven za vsak x1.
    Napaka:
    Napaka pri tej nalogi je nerazumevanje definicije naraščanja.

    Marsikdo misli, da funkcija narašča tam, kjer je odvod pozitiven.
    Dejansko je naraščanje povezano s pozitivnim odvodom, vendar pa je za pravilni odgovor treba upoštevati tudi definicijo naraščanja.

    Definicija:
    Funkcija f na množici M narašča, če za poljubni števili x1,x2M velja:
        x1<x2f(x1)<f(x2)

    Z drugimi besedami: funkcija narašča, če ima pri večjem x tudi večjo funkcijsko vrednost f(x). In to mora veljati na celotni množici M.

    Poglejmo si graf dane funkcije:
    Funkcija

    Kot hitro vidimo, za množico M={xR; x1} definicijski pogoj ne velja. Če izberemo (npr.) x1=1, x2=2, potem je pri večjem x funkcijska vrednost manjša. Torej funkcija ne narašča na celotni množici M.
    Funkcija pa vsekakor narašča na intervalu levo od pola. Prav tako narašča tudi na intervalu desno od pola. Pozorni moramo biti samo na dejstvo, da funkcija ne narašča na sestavljeni množici.

    Popravimo besedilo naloge:
    Določi intervale naraščanja dane funkcije.
    Pravilni odgovor se potem glasi:
    Dana funkcija narašča na intervalu (,1), pa tudi na intervalu (1,).
    (Opomba: nikakor pa ne na množici M=(,1)(1,)).

Powered by MathJax
Domov

 Domov