Naravna in cela števila

Naravna števila

Množico naravnih števil označimo:

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

Uporabljamo tudi oznako za množico naravnih števil z dodanim številom 0:

₀ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

V množici naravnih števil sta definirani operaciji seštevanje in množenje.
Pri tem veljajo naslednji zakoni oziroma aksiomi (za ∀a, b, c ∈

a + b = b + a	komutativnostni zakon (za seštevanje)
a + (b + c) = (a + b) + c	asociativnostni zakon (za seštevanje)
a b = b a	komutativnostni zakon (za množenje)
a (b c) = (a b) c	asociativnostni zakon (za množenje)
a 1 = a	zakon o nevtralnem elementu (za množenje)
a (b + c) = a b + a c	distributivnostni zakon (za seštevanje in množenje)

Osnovni izrek o deljenju naravnih števil

Pravo deljenje v množici naravnih števil na splošno ni možno, velikokrat pa si pomagamo z računsko operacijo deljenje z ostankom. Pri tem velja naslednji izrek:

Za poljubni naravni števili a (deljenec) in b (delitelj) lahko izvajamo deljenje z ostankom. Pri tem dobimo količnik k ∈

₀ in ostanek r ∈

₀, tako da velja:
  r < b    (ostanek je manjši od delitelja)
  a = k b + r    (velja preizkus deljenja)

Zgled:
   37 : 5 = 7, ostane 2    (če število 37 delimo s 5, dobimo količnik 7 in ostanek 2)
   velja preizkus: 37 = 7 ∙ 5 + 2

Cela števila

V množici naravnih števil ne moremo definirati računske operacije odštevanje - rezultat ni vedno naravno število. Zato množici naravnih števil dodamo še negativna števila in število 0 in tako dobimo množico celih števil.
Množico celih števil označimo:

= {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

Uporabljamo tudi oznaki:

⁺ =

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } (pozitivna cela števila)

⁻ = { ..., −6, −5, −4, −3, −2, −1} (negativna cela števila)

Torej velja:

⁻ ∪ {0} ∪

⁺

Za seštevanje in množenje celih števil veljajo naslednji zakoni oziroma aksiomi (za ∀a, b, c ∈

a + b = b + a	komutativnostni zakon (za seštevanje)
a + (b + c) = (a + b) + c	asociativnostni zakon (za seštevanje)
a + 0 = a	zakon o nevtralnem elementu (za seštevanje)
a + (−a) = 0	zakon o inverznem (nasprotnem) elementu (za seštevanje)
a b = b a	komutativnostni zakon (za množenje)
a (b c) = (a b) c	asociativnostni zakon (za množenje)
a 1 = a	zakon o nevtralnem elementu (za množenje)
a (b + c) = a b + a c	distributivnostni zakon (za seštevanje in množenje)

Odštevanje v množici celih števil definiramo kot prištevanje nasprotne vrednosti, torej:
a − b = a + (−b)

Deljivost naravnih in celih števil

Število b je večkratnik števila a, če ga lahko zapišemo kot b = k a, pri čemer je k poljubno naravno (oziroma celo) število.

Primer: Število 7 ima večkratnike:
- v množici

: 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...
- v množici

: ..., −21, −14, −7, 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...

Če je število b večkratnik števila a, pravimo tudi, da je število a delitelj števila b (ali na kratko, da a deli b). To označimo:
a | b (beri: a deli b)

Primer: Število 4 ima delitelje:
- v množici

: 1, 2, 4
- v množici

: −4, −2, −1, 1, 2, 4

Praštevila in sestavljena števila

Praštevilo je naravno število, ki ima v množici

točno dva delitelja.
Sestavljeno naravno število je število, ki ima v množici

več kot dva delitelja.

V množici celih števil moramo upoštevati tudi negativne delitelje, zato je definicija praštevila in sestavljenega števila nekoliko drugačna:
Nerazcepno celo število je število, ki ima v množici

točno štiri delitelje. Pozitivno nerazcepno število imenujemo praštevilo.
Sestavljeno (ali razcepno) celo število je število, ki ima v množici

več kot štiri delitelje.

Števila −1, 0 in 1 so glede na število deliteljev posebna - ne uvrščamo jih niti med razcepna niti med nerazcepna števila.

Zgledi:
Praštevila so npr.: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
Sestavljena števila so npr.: 4, 6, 8, 9, 10, (pa tudi: −4, −6, −8, −9, −10, ...)
Števila −2, −3, −5, −7, ... so negativna nerazcepna števila.

Praštevil je neskončno mnogo.
Sestavljena števila imenujemo tudi razcepna zato, ker jih lahko razcepimo na produkt praštevil. Ta razcep imenujemo tudi prafaktorizacija. Razcep na prafaktorje je enoličen (spremenimo lahko le vrstni red faktorjev). Pri razcepu negativnega števila upoštevamo kot dodatni faktor še število −1.

Zgledi:
  6 = 2 ∙ 3
  8 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 2³
  60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 2² ∙ 3 ∙ 5
  −75 = −1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 = −1 ∙ 3 ∙ 5²

Skupni delitelji in večkratniki

Največji skupni delitelj danih števil je največje naravno število, ki deli obe dani števili (oziroma vsa dana števila). Označimo ga D(a, b).
Primer: D(12, 20) = 4
(Največji skupni delitelj števil 12 in 20 je 4. Poleg tega imata števili 12 in 20 še druge skupne delitelje: 2, 1, −1, −2, −4. Na splošno velja: vsi skupni delitelji so delitelji največjega skupnega delitelja.)

Najmanjši skupni večkratnik danih števil je najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh (oziroma vseh) danih števil. Označimo ga v(a, b).
Primer: v(12, 20) = 60
(Najmanjši skupni večkratnik števil 12 in 20 je 60. Poleg tega imata števili 12 in 20 še druge skupne večkratnike: 120, 180, 0, −60, −120, .... Na splošno velja: vsi skupni večkratniki so večkratniki najmanjšega skupnega večkratnika.)

Če je največji skupni delitelj dveh danih števil enak 1, pravimo, da sta števili tuji. V tem primeru nimata nobenega skupnega prafaktorja.
Zgled: Števili 24 in 35 sta tuji.

Za največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik dveh števil velja zveza:
  D(a, b) v(a, b) = a b

Pri iskanju največjega skupnega delitelja in najmanjšega skupnega večkratnika si lahko pomagamo z razcepom danih števil na prafaktorje.
Največji skupni delitelj dobimo tako, da pri vsakem prafaktorju upoštevamo najmanjšo potenco, ki nastopa v razcepu danih števil (upoštevamo tudi možnost, da je najmanjša potenca enaka 0).
Najmanjši skupni večkratnik dobimo tako, da pri vsakem prafaktorju upoštevamo največjo potenco, ki nastopa v razcepu danih števil.
Zgled:
   40 = 2³ ∙ 5 = 2³ ∙ 3⁰ ∙ 5¹
   36 = 2² ∙ 3² = 2² ∙ 3² ∙ 5⁰
   60 = 2² ∙ 3 ∙ 5 = 2² ∙ 3¹ ∙ 5¹
   D(36, 40, 60) = 2² ∙ 3⁰ ∙ 5⁰ = 4
   v(36, 40, 60)= 2³ ∙ 3² ∙ 5¹ = 360

Pri iskanju največjega skupnega delitelja dveh števil si lahko pomagamo tudi z Evklidovim algoritmom. Pri tem upoštevamo zvezo:
  D(a, b) = D(b, r)    (r = ostanek pri deljenju števila a z b)

Zgled: Izračunajmo D(348, 276). Pri deljenju z ostankom ponavadi uporabimo zapis v obliki preizkusa:
   348 = 1 ∙ 276 + 72
   276 = 3 ∙ 72 + 60
   72 = 1 ∙ 60 + 12
   60 = 5 ∙ 12 + 0 (končamo, ko je ostanek 0)
Torej velja: D(348, 276) = D(276, 72) = D(72, 60) = D(60, 12)
Sklep: D(348, 276) = 12 (največji skupni delitelj je zadnji od 0 različni ostanek)

S pomočjo zveze D(a, b) v(a, b) = a b lahko izračunamo tudi najmanjši skupni večkratnik: v(348, 276) = 8004