Risanje elementarnih funkcij izvedemo običajno tako, da napravimo tabelarični izračun vrednosti funkcije v izbranih točkah abscisne osi. Ugotovimo obnašanje funkcije okrog izhodišča, ter še obnašanje pri zelo majhnih vrednostih (−∞) in zelo velikih vrednostih (+∞) neodvisne spremenljivke (če je funkcija tu definirana). V koordinatno mrežo narišemo izračunane točke, nato pa skozi te točke narišemo, kolikor se le da, gladko krivuljo.
Pri polinomih, racionalnih funkcijah in funkcijah, dobljenih iz operacij med elementarnimi funkcijami, pa pri uporabi tabelaričnega izračuna točk nikoli ne vemo, na katerem delu abscisne osi si naj izberemo točke, niti to, kako gosto naj bodo, da bi le čim bolje prikazali značilnosti funkcije. Značilne elemente funkcije: ničle, pole, ekstreme, prevoje, asimptote bomo morali določiti zelo natančno. To pa lahko dosežemo le z analitičnimi metodami, ki jih bomo spoznali ob risanju dveh primerov funkcij.

Narišimo polinom     f(x) = x⁴ + 4x³ + 4x²

Določimo ničle funkcije

Rešimo enačbo:
Ker je polinom četrte stopnje, imamo štiri ničle.
Prva ničla je 0 in je dvojna, druga ničla je −2 in je prav tako dvojna.


Stacionarne točke funkcije

Poiščemo ničle odvoda funkcije:

f'(x) = (x4 + 4·x3 + 4·x2)' =

Stacionarne točke so torej: 0, −1 in −2.
Vidimo, da dve stacionarni točki sovpadata z ničlami polinoma.

Stacionarne točke na grafu

Izračunajmo vrednost funkcije v teh točkah:

f(0) = 04 + 4·03 + 4·02 = 0

f(-1) = (-1)4 + 4·(-1)3 + 4·(-1)2 = 1 − 4 + 4 = 1

f(-2) = (-2)4 + 4·(-2)3 + 4·(-2)2 = 16 − 32 + 16 = 0

Lokalni minimumi, maksimumi in prevoji

Izračunajmo drugi odvod naše funkcije:

f''(x) = (4x3 + 12x2 + 8x)' = 12x2 + 24x + 8

f''(0) = 12·02 + 24·0 + 8 = 8 > 0

f''(-1) = 12·(-1)2 + 24·(-1) + 8 = 12 − 24 + 8 = -4 < 0

f''(-2) = 12·(-2)2 + 24·(-2) + 8 = 48 − 48 + 8 = 8 > 0

Funkcija ima za x = 0 in x = −2 dvojne ničle in lokalna minimuma. Pri x = −1 doseže lokalni maksimum. Za majhne in za velike x se obnaša kot x⁴. Pomeni, da je za x < −2 in x > 2 pozitivna in zelo strma.

Narišimo racionalno funkcijo   f(x) =

2x2 − 3x − 2 x2+1

Določimo ničle: 2·x2 − 3·x − 2 = 0 (x−2)·(x + 1/2) = 0 Ničli funkcije sta pri x = 2 in x = −1/2.

Določimo pole: x2 + 1 = 0 Med realnimi števili polinom nima rešitev, zato ta racionalna funkcija nima polov.

Določimo asimptoto:   lim x→∞ f(x) =   lim x→∞ 2·x2−3·x−2 x2+1 = 2 Asimptota racionalne funkcije je y = 2.

Določimo stacionarne točke: f'(x) = (4·x−3)·(x2+1)−(2·x2−3·x−2)·(2·x) (x2+1)2 = = 3·x2 + 8·x − 3 (x2+1)2 = 3·(x−1/3)(x + 3) (x2+1)2 Stacionarni točki sta pri x = −3 in x = 1/3.

Izračunamo vrednosti funkcije v stacionarnih točkah: f(−3) = 2·(−3)2 − 3·(−3) − 2 (−3)2+1 = 25 10 = 2 1 2 f(1/3) = 2·(1/3)2 − 3·(1/3) − 2 (1/3)2+1 = − 25 10 = −2 1 2 Koordinati stacionarnih točka sta: (-3,21/2) in (1/3,-21/2)

Ugotovimo vrsto stacionarnih točk:

f''(x) =

(6·x + 8)·(x2+1)2−(3·x2 + 8·x−3)·2·(x2+1)·(2·x) (x2+1)2

=

−6·x5 −24·x4+ 12·x3− 16·x2 + 18·x + 8 (x2+1)4

f''(1/3) =

(6·(1/3) + 8)·((1/3)2+1)2−(3·(1/3)2 + 8·(1/3)−3)·2·((1/3)2+1)·(2·(1/3)) ((1/3)2+1)2

=

81 10

> 0       minimum

f''(−3) =

(6·(−3) + 8)·((−3)2+1)2−(3·(−3)2 + 8·(−3)−3)·2·((−3)2+1)·(2·(−3)) ((−3)2+1)2

= −

1 10

< 0  maksimum

Potek načrtovanja funkcije:

1. Določitev ničel
2. Določitev polov
3. Določitev asimptote
4. Določitev stacionarnih točk
5. Vrednost funkcije v stacionarnih točkah
6. Vrste stacionarnih točk
7. Risanje grafa funkcije

Načrtovanje funkcije po korakih:          začni »»