Kazalo poglavij

Vektorji

Odvod

Abecedno kazalo

Zaporedja

Zaporedje je funkcija f :   → .
To pomeni, da poljubnemu naravnemu številu n pripada določeno realno število, ki ga označimo a_n in ga imenujemo n-ti člen zaporedja.

Zaporedje ponavadi podamo s formulo za splošni člen.
Zgled: Zaporedje s splošnim členom a_n = n² + 1 ima člene: a₁ = 2,  a₂ = 5,  a₃ = 10,  a₄ = 17,  a₅ = 26, ...

Lastnosti zaporedij

• Zaporedje narašča, če za ∀n ∈  velja:   a_n+1 > a_n
  
  (Opomba: Nekateri avtorji v zgornji lastnosti dopuščajo tudi enakost, torej: a_n+1 ≥ a_n. Če želimo ločiti obe varianti, pravimo prvi možnosti strogo naraščanje (>), drugi pa nestrogo naraščanje (≥).)
  
  
• Zaporedje pada, če za ∀n ∈  velja:   a_n+1 < a_n
  
  (Opomba: Nekateri avtorji v zgornji lastnosti dopuščajo tudi enakost, torej: a_n+1 ≤ a_n. Če želimo ločiti obe varianti, pravimo prvi možnosti strogo padanje (<), drugi pa nestrogo padanje (≤).)
  
  
• Zaporedje je omejeno navzgor, če obstaja realno število M, tako da za ∀n ∈  velja:   a_n ≤ M
  Število M, ki nastopa v zgornji lastnosti, imenujemo zgornja meja zaporedja. Če je zaporedje navzgor omejeno, obstaja celo več zgornjih mej. Najmanjši med njimi pravimo natančna zgornja meja ali supremum zaporedja. Zaporedje lahko natančno zgornjo mejo doseže ali pa tudi ne. Če obstaja člen, ki je enak natančni zgornji meji, ga imenujemo maksimalni člen zaporedja.
  
  
• Zaporedje je omejeno navzdol, če obstaja realno število m, tako da za ∀n ∈  velja:   a_n ≥ m
  Število m, ki nastopa v zgornji lastnosti, imenujemo spodnja meja zaporedja. Če je zaporedje navzdol omejeno, obstaja celo več spodnjih mej. Največji med njimi pravimo natančna spodnja meja ali infimum zaporedja. Zaporedje lahko natančno spodnjo mejo doseže ali pa tudi ne. Če obstaja člen, ki je enak natančni spodnji meji, ga imenujemo minimalni člen zaporedja.
  
  
• Zaporedje je omejeno, če je navzgor in navzdol omejeno.

Vsota prvih n členov zaporedja

Poljubnemu zaporedju a_n lahko priredimo zaporedje delnih vsot:
  s₁ = a₁
  s₂ = a₁ + a₂
  s₃ = a₁ + a₂ + a₃
  s₄ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄
oziroma na splošno:
  s_n = a₁ + a₂ + ... +a_n
Število s_n imenujemo n-ta delna vsota ali vsota prvih n členov zaporedja a_n. Drugo ime za s_n je vsota končne vrste.

Princip popolne indukcije

Princip popolne indukcije je metoda dokazovanja, ki jo lahko uporabimo vedno, kadar želimo dokazati, da neka lastnost velja za vsa naravna števila (npr.: da neka lastnost velja za vse člene zaporedja).

Če dokažemo:

1. da lastnost velja za število 1   in
   
   
2. da se lastnost prenaša s števila na naslednika (če velja za k, potem velja tudi za k+1),

potem dana lastnost zagotovo velja za poljubno naravno število n.

Zgled:
Za dano zaporedje a_n želimo izračunati vsoto prvih n členov, pa nismo prepričani, če je formula s_n pravilna. S pomočjo popolne indukcije pravilnost formule s_n preverimo v dveh korakih:

1. Najprej preverimo, da je:   s₁ = a₁
   
   
2. Potem preverimo še, če velja:   s_k+1 = s_k + a_k+1
   
   

Če oba koraka uspešno preverimo, potem formula s_n zagotovo velja za ∀n ∈ .

Limita zaporedja

Okolica realnega števila a je interval (a − ε,  a + ε). Število a je središče okolice, pozitivno število ε pa imenujemo polmer okolice.
Ker lahko poljubno realno število a ponazorimo s točko na realni osi, se taki okolici reče tudi ε-okolica točke a na realni osi.

Pogosto opazimo, da zelo veliko členov danega zaporedja leži v okolici neke točke.
Če v vsaki okolici točke a na realni osi leži neskončno mnogo členov danega zaporedja, pravimo, da je a stekališče tega zaporedja.

Vsako omejeno zaporedje ima vsaj eno stekališče (lahko pa tudi več).
Za neomejena zaporedja pa včasih upoštevamo tudi nepravi stekališči    in  −  in sicer:
- če je zaporedje navzgor neomejeno, pravimo, da ima stekališče  ,
- če je navzdol neomejeno, pa pravimo, da ima stekališče  −.
Če upoštevamo tudi    in  −, velja trditev: vsako zaporedje ima vsaj eno (pravo ali nepravo) stekališče.

Če ima zaporedje več stekališč ali pa če ima samo stekališče   ali  −, pravimo, da zaporedje divergira.

Če ima zaporedje samo eno stekališče in je to stekališče pravo, pravimo, da zaporedje konvergira. Edino stekališče konvergentnega zaporedja imenujemo limita.
Limito zaporedja a_n označimo:   

Aritmetično zaporedje

Aritmetično zaporedje je zaporedje, v katerem je razlika dveh zaporednih členov konstantna.
To razliko označimo d (diferenca).
Torej: a_n − a_n −1 = d
oziroma: a_n = a_n −1 + d

Formula za splošni člen aritmetičnega zaporedja:
  a_n = a₁ + (n −1)d

Formula za vsoto prvih n členov aritmetičnega zaporedja (za vsoto končne aritmetične vrste):
  

Lastnosti aritmetičnega zaporedja
Če je diferenca d pozitivna, aritmetično zaporedje narašča.
Če je diferenca d negativna, aritmetično zaporedje pada.
Če je diferenca d enaka 0, je aritmetično zaporedje konstantno.

Vsak člen aritmetičnega zaporedja (razen prvega) je enak aritmetični sredini svojih sosedov:
  
(Opomba: Aritmetična sredina števil x in y je število .)

Geometrijsko zaporedje

Geometrijsko zaporedje je zaporedje, v katerem je količnik dveh zaporednih členov konstanten.
Ta količnik označimo k ali q (kvocient).
Torej: a_n / a_n −1 = k
oziroma: a_n = a_n −1 k

Formula za splošni člen geometrijskega zaporedja:
  a_n = a₁ k^n −1

Tri zaporedne člene geometrijskega zaporedja povezuje lastnost:
  a_n² = a_n+1 a_n −1

To pomeni, da je v geometrijskem zaporedju s samimi pozitivnimi členi vsak člen (razen prvega) enak geometrijski sredini svojih sosedov:
  

(Opomba: Geometrijska sredina pozitivnih števil x in y je število .)

Formula za vsoto prvih n členov geometrijskega zaporedja (za vsoto končne geometrijske vrste):
  

Če je |k| < 1, potem zaporedje delnih vsot s_n konvergira k neki vrednosti, ki jo imenujemo vsota neskončne geometrijske vrste in je enaka:
  

Kazalo poglavij

Vektorji

Odvod

Abecedno kazalo