Kazalo poglavij Matematični izrazi Neenačbe Abecedno kazalo

Enačbe in sistemi enačb

Enačba je zapis sestavljen iz dveh matematičnih izrazov, ki ju imenujemo leva in desna stran enačbe, in iz enačaja, ki stoji med njima. V enačbi nastopajo tudi spremenljivke, ki jih v tem primeru imenujemo neznanke. Najpogosteje v matematiki srečamo enačbe z eno neznanko, ki je ponavadi označena s črko x.

Rešitev enačbe z eno neznanko je število, pri katerem je vrednost leve strani enačbe enaka kot vrednost desne strani. (Torej: če vstavimo to število namesto neznanke, dobimo na levi in desni enak rezultat.)
Če enačba vsebuje n neznank, je rešitev enačbe vsaka n-terica števil, pri kateri je vrednost leve strani enačbe enaka kot vrednost desne strani.
Vse rešitve enačbe sestavljajo množico rešitev enačbe. Množico vseh rešitev dane enačbe označimo z oznako R .

Zgledi:
(1) Enačba   2x =  6   ima samo eno rešitev in to je x = 3.
Torej je R = {3}.

(2) Enačba   x + 1 = x   nima rešitve, saj x + 1 nikakor ne more biti enak x.
Torej je R = { }.

(3) Enačba   |x| = x   ima za rešitev vsako nenegativno realno število,
torej R = R0+= [0, neskončno).

Dve enačbi sta enakovredni (ekvivalentni), če imata enaki množici rešitev.

Zgled: Enačbi   5x = 15   in   2x = x + 3   sta enakovredni, saj je za obe enačbi edina rešitev x = 3   (torej je za obe množica rešitev enaka R = {3} ).

Reševanje enačb

Enačbo rešimo tako, da jo preoblikujemo v drugo enačbo, ki je prvotni enakovredna (tj. ima isto množico rešitev), vendar pa je po obliki preprostejša.

Pri reševanju enačb uporabljamo zlasti naslednja dva postopka preoblikovanja (rezultat je vedno enačba, ki je prvotni ekvivalentna): Pri reševanju enačb upoštevamo tudi naslednja opozorila:

Preproste enačbe

Nekaj nasvetov za reševanje preprostejših tipov enačb z eno neznanko: Kadar zgoraj opisani običajni postopki ne pripeljejo do rešitve, lahko uporabimo numerične metode za reševanje enačb.

Sistemi enačb

Sistem enačb je sestavljen iz dveh ali več enačb. Ponavadi te enačbe vsebujejo tudi dve ali več neznank. Rešitev sistema enačb n-terica števil, pri kateri je v vsaki od enačb vrednost leve strani enaka kot vrednost desne strani.

Pri reševanju sistema enačb je naše glavno vodilo zmanjšanje števila enačb in neznank. Npr.: Sistem n enačb z n neznankami poskušamo preoblikovati v sistem, ki ima n−1 enačbo in n−1 neznanko.

Število neznank lahko zmanjšamo, če iz ene enačbe izrazimo eno od neznank in dobljeni izraz vstavimo v vse druge enačbe.

Zgled: Rešiti želimo sistem enačb:
   x2 + y2 = 25
   2xy = 5
Iz spodnje enačbe izrazimo y = 2x − 5 in to vstavimo v zgornjo enačbo:
   x2 + (2x − 5)2 = 25
   x2 + 4x2 − 20x + 25 = 25
   5x2 − 20x = 0
   5x(x − 4) = 0
  x1 = 0   x2 = 4
Po zvezi y = 2x − 5 (ki smo jo izpeljali zgoraj) izračunamo še ustrezni vrednosti za y in dobimo obe rešitvi sistema.
Prva rešitev je par števil: x1 = 0,   y1 = −5
druga rešitev je par števil: x2 = 4,   y2 = 3

Kazalo poglavij Matematični izrazi Neenačbe Abecedno kazalo

Valid XHTML 1.1