Mešane naloge – višja raven

1. Sveže grozdne jagode vsebujejo 86% vode. Če grozdje posušimo, dobimo rozine, ki vsebujejo samo še 16% vode. Izračunaj, koliko svežega grozdja potrebujemo, če želimo dobiti 1 kg rozin.
   Rešitev:    Potrebujemo 6 kg grozdja.
2. Spodnji sistem enačb je zapisan v dvojiškem sestavu. Reši ta sistem enačb in vrednosti neznank zapiši v dvojiškem sestavu.
   

   $x+y={10110}_{(2)}$

   $x+z={11110}_{(2)}$

   $y+z={11010}_{(2)}$

   Rešitev:    $x=13={1101}_{(2)}$,   $y=9={1001}_{(2)}$,   $z=17={10001}_{(2)}$
3. Točka $T(2,4)$ leži na premici $p$ in je med vsemi točkami premice $p$ najmanj oddaljena od koordinatnega izhodišča. Zapiši enačbo premice $p$.
   Rešitev:    $p:y=-\frac{1}{2}x+5$
4. Dana je premica $p:{\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{5}=1}$. Določi realni parameter $a$ tako, da bo oddaljenost premice $p$ od koordinatnega izhodišča enaka $2\sqrt{5}$.
   Rešitev:    $a_1=10,a_2=-10$
5. Obravnavaj in reši enačbo:
   

   $a^2(x-1)=x-a$

   Rešitev:    Če je $a=-1$, enačba ni rešljiva; če je $a=1$, je rešitev enačbe vsak $x$; sicer pa je enačba enolično rešljiva in rešitev je $x=\frac{a}{a+1}$.
6. Določi $u$ tako, da bo imela dana enačba točno eno rešitev. To rešitev tudi izračunaj!
   

   $3u{x}^2-(6u-6)x+(3u-5)=0$

   Rešitev:    Dve možnosti: (a) iz $D=0$ dobimo $u=3,x=\frac{2}{3}$,   (b) iz $a=0$ pa dobimo $u=0,x=\frac{5}{6}$
7. Poišči vsa kompleksna števila $z$, za katera velja:  ${\displaystyle \frac{z^2-|z|}{z-3}=4}$
   Rešitev:    $z_1=2+i\sqrt{5},z_2=2-i\sqrt{5},z_3=2+2i\sqrt{3},z_4=2-2i\sqrt{3}$
8. Reši enačbo:  ${\log }_2(2x-6)-{\log }_4(3x+7)=2$
   Rešitev:    $x=19$
9. Pravilnemu $n$-kotniku s stranico $a=10\mathrm{cm}$ včrtamo in očrtamo krožnico. Dokaži, da je ploščina kolobarja, ki ga omejujeta krožnici, neodvisna od $n$. To ploščino tudi izračunaj.
   Rešitev:    $S=25\pi {\mathrm{cm}}^2$
10. V kvadratu $ABCD$ leži točka $T$ na stranici $AB$ in jo deli v razmerju $|AT|:|TB|=2:1$. Točka $U$ pa leži na stranici $BC$ in jo deli v razmerju $|BU|:|UC|=3:1$. Izračunaj, v kakšnem razmerju daljica $TD$ deli daljico $AU$.
    Rešitev:    V razmerju $4:5$ (torej: $|AX|:|XU|=4:5$)
11. V kvadratu $ABCD$ označimo razpolovišče stranice $CD$ z $E$, razpolovišče stranice $AD$ pa s $F$. S črko $G$ označimo presečišče daljic $AE$ in $BF$.
    

    (a)   Dokaži, da je $\mathrm{△}BEG$ pravokotni trikotnik.

    (b)   Izračunaj razmerje dolžin stranic v trikotniku $\mathrm{△}BEG$.

    Rešitev:    (a)  Namig: pravi kot je pri $G$;    (b)  $|EG|:|GB|:|BE|=3:4:5$
12. Izračunaj ploščino trikotnika, ki ima oglišča v točkah $A(2,8,15)$, $B(30,32,18)$ in $C(22,20,24)$.
    Rešitev:    $S=150$    (Lahko si pomagaš z vektorskim produktom, da pa se tudi drugače.)
13. Poševna piramida ima za osnovno ploskev (vodoraven) kvadrat $ABCD$ z diagonalo $d=5\mathrm{cm}$. Vrh te piramide leži točno $5\mathrm{cm}$ nad ogliščem $B$. Izračunaj površino in prostornino te piramide.
    Rešitev:    $V\doteq 20,83{\mathrm{cm}}^3,P\doteq 51,83{\mathrm{cm}}^2$
14. Pravokotni trikotnik ima kateti $a=7\mathrm{cm},b=24\mathrm{cm}$. Izračunaj površino rotacijskega telesa, ki ga dobimo, če ta trikotnik zavrtimo za ${360}^{\circ }$ okoli:
    

    (a)   daljše katete,

    (b)   hipotenuze.

    Oba rezultata zaokroži na štiri mesta.

    Rešitev:    (a)  $P\doteq 703.7{\mathrm{cm}}^2$;    (b)  $P\doteq 654.5{\mathrm{cm}}^2$
15. Reši enačbo:  ${\displaystyle \frac{2x+7}{x+\sqrt{x-3}}=3}$
    Rešitev:    $x=4$
16. Reši enačbo:  $\sqrt{2x-5}+\sqrt{3x+4}=8$
    Rešitev:    $x=7$
17. Reši enačbo:  $1+(2x+1)\frac{3}{2}=7x$
    Rešitev:    $x_1=4,x_2=\frac{5}{8}$
18. Določi realni parameter $m$ tako, da bodo rešitve spodnje enačbe (urejene po velikosti) sestavljale končno aritmetično zaporedje.
    

    $x^4-(m+1)x^2+m=0$

    Rešitev:    $m_1=9$ (rešitve enačbe so: $-3,-1,1,3$), $m_2=\frac{1}{9}$ (rešitve enačbe so: $-1,-\frac{1}{3},\frac{1}{3},1$)
19. Reši neenačbo:  $3x+2⩽x^3$
    Rešitev:    $x\in \{-1\}\cup [2,\mathrm{\infty })$
20. Reši neenačbo:  ${\displaystyle \frac{x^2+1}{x-2}⩽x}$
    Rešitev:    $x\in [-\frac{1}{2},2)$
21. Faktoriziraj in poenostavi:
    

    (a)   ${\displaystyle \frac{\sin x+\sin (x-{42}^{\circ })}{\cos x+\sin (x+{48}^{\circ })}}$

    (b)   ${\displaystyle \frac{\sin (3x+\pi )+\sin (x-\pi )}{2\sin 2x}}$

    (c)   ${\displaystyle \frac{\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x}{4\cos \frac{x}{2}}}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\tan (x-{21}^{\circ })$;    (b)  $\cdots =-\cos x$;    (c)  $\cdots =\cos \frac{5x}{2}\cos x$
22. Reši enačbo:  $\cos 7x\cos x=\cos 4x\cos 2x$
    Rešitev:    $x_1=\frac{k\pi }{3},x_2=\frac{k\pi }{5};k\in \mathbb{Z}$
23. Premici $y=2x$ in $y=-2x+4$ sta asimptoti hiperbole. Razdalja med goriščema te hiperbole meri 10 enot. Zapiši enačbo te hiperbole in hiperbolo tudi nariši. Upoštevaj vse možne rešitve.
    Rešitev:    Rešitvi sta $\frac{(x-1{)}^2}{5}-\frac{(y-2{)}^2}{20}=1$ in $\frac{(x-1{)}^2}{5}-\frac{(y-2{)}^2}{20}=-1$
24. Parabola ima enačbo $(y+1{)}^2=4(x+4)$. Premica $p$ je tangenta te parabole. Zapiši enačbo premice $p$, če veš, da seka ordinatno os v točki $A(0,4)$.
    Rešitev:    Dve rešitvi: $p_1:y=x+4,p_2:y=\frac{1}{4}x+4$
25. Izračunaj limito:  ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+3+5+7+\cdots +(2n-1)}{(2n-1{)}^2}}$
    Rešitev:    $\cdots =\frac{1}{4}$
26. Dano je število $A=3^{2n+2}-8n-9$. Dokaži, da je število $A$ deljivo z 8 za vsak $n\in \mathbb{N}$.
    Rešitev:    Namig: lahko si pomagaš z matematično indukcijo.
27. Dana je funkcija $f(x)=(x^2-2x+1)\ln x$.
    

    (a)   Dokaži, da ima ta funkcija pri $x=1$ stacionarno točko.

    (b)   Ugotovi, kakšne vrste stacionarna točka je to.

    Rešitev:    (a)  $f^{\prime }(1)=0$;    (b)  vodoravni prevoj $(f^{″}(1)=0,f^{‴}(1)\ne 0)$
28. Dana je funkcija $f(x)=x^3\sin x$.
    

    (a)   Dokaži, da ima ta funkcija pri $x=0$ stacionarno točko.

    (b)   Ugotovi, kakšne vrste stacionarna točka je to.

    Rešitev:    (a)  $f^{\prime }(0)=0$;    (b)  lokalni minimum $(f^{″}(0)=0,f^{‴}(0)=0,f^{⁗}(0)>0)$
29. Dana je funkcija $f(x)=\sqrt{2x+9}$.
    

    (a)   Nariši graf te funkcije.

    (b)   Zapiši definicijsko območje in zalogo vrednosti.

    (c)   Izračunaj ploščino lika, ki ga omejuje graf te funkcije skupaj z obema koordinatnima osema.

    Rešitev:    (b)  ${\mathcal{D}}_f=[-\frac{9}{2},\mathrm{\infty }),{\mathcal{Z}}_f=[0,\mathrm{\infty })$;    (c)  $S=9$
30. Izračunaj naslednje nedoločene integrale:
    

    (a)   ${\displaystyle \int \frac{x^2+2x+3}{x}dx}$

    (b)   ${\displaystyle \int \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}dx}$

    (c)   ${\displaystyle \int \frac{x^2-x-5}{x+2}dx}$

    (d)   ${\displaystyle \int (x+3)e^{x}dx}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{1}{2}{x}^2+2x+3\ln |x|+C$;    (b)  $\cdots =\sqrt{x^2+2x+2}+C$;    (c)  $\cdots =\frac{1}{2}{x}^2-3x+\ln |x+2|+C$;    (d)  $\cdots =(x+2)e^x+C$

 Domov