-
Sveže grozdne jagode vsebujejo 86% vode. Če grozdje posušimo, dobimo
rozine, ki vsebujejo samo še 16% vode. Izračunaj, koliko svežega grozdja potrebujemo,
če želimo dobiti 1 kg rozin.
Rešitev:
Potrebujemo 6 kg grozdja.
-
Spodnji sistem enačb je zapisan v dvojiškem sestavu. Reši ta sistem enačb in vrednosti
neznank zapiši v dvojiškem sestavu.
\(x+y=10110_{(2)}\)
\(x+z=11110_{(2)}\)
\(y+z=11010_{(2)}\)
Rešitev:
\(x=13=1101_{(2)}\),
\(y=9=1001_{(2)}\),
\(z=17=10001_{(2)}\)
-
Točka \(T(2,4)\) leži na premici \(p\) in je med vsemi točkami premice \(p\)
najmanj oddaljena od koordinatnega izhodišča. Zapiši enačbo premice \(p\).
Rešitev:
\(p\!:~ y=-\frac{1}{2}x+5\)
-
Dana je premica \(p\!:~ {\displaystyle\frac{x}{a}+\frac{y}{5}=1}\).
Določi realni parameter \(a\) tako, da bo oddaljenost premice \(p\) od koordinatnega
izhodišča enaka \(2\sqrt{5}\).
Rešitev:
\(a_1=10,~ a_2=-10\)
-
Obravnavaj in reši enačbo:
\(a^2(x-1)=x-a\)
Rešitev:
Če je \(a=-1\), enačba ni rešljiva; če je \(a=1\), je rešitev enačbe vsak \(x\); sicer pa
je enačba enolično rešljiva in rešitev je \(x=\frac{a}{a+1}\).
-
Določi \(u\) tako, da bo imela dana enačba točno eno
rešitev. To rešitev tudi izračunaj!
\(3ux^2-(6u-6)x+(3u-5)=0\)
Rešitev:
Dve možnosti: (a) iz \(D=0\) dobimo \(u=3,~~ x=\frac{2}{3}\), (b) iz \(a=0\) pa dobimo \(u=0,~~ x=\frac{5}{6}\)
-
Poišči vsa kompleksna števila \(z\), za katera velja:
\({\displaystyle\frac{z^2-|z|}{z-3}=4}\)
Rešitev:
\(z_1=2+i\sqrt{5},~ z_2=2-i\sqrt{5},~ z_3=2+2i\sqrt{3},~ z_4=2-2i\sqrt{3}\)
-
Reši enačbo:
\(\log_2 (2x-6)-\log_4 (3x+7)=2\)
Rešitev:
\(x=19\)
-
Pravilnemu \(n\)-kotniku s stranico \(a=10~\mathrm{cm}\) včrtamo in očrtamo krožnico.
Dokaži, da je ploščina kolobarja, ki ga omejujeta krožnici, neodvisna od \(n\). To ploščino
tudi izračunaj.
Rešitev:
\(S=25\pi~\mathrm{cm}^2\)
-
V kvadratu \(ABCD\) leži točka \(T\) na stranici \(AB\) in jo deli v razmerju \(|AT|:|TB|=2:1\).
Točka \(U\) pa leži na stranici \(BC\) in jo deli v razmerju \(|BU|:|UC|=3:1\).
Izračunaj, v kakšnem razmerju daljica \(TD\) deli daljico \(AU\).
Rešitev:
V razmerju \(4:5\) (torej: \(|AX|:|XU|=4:5\))
-
V kvadratu \(ABCD\) označimo razpolovišče stranice \(CD\) z \(E\), razpolovišče stranice \(AD\) pa s \(F\).
S črko \(G\) označimo presečišče daljic \(AE\) in \(BF\).
(a) Dokaži, da je \(\triangle BEG\) pravokotni trikotnik.
(b) Izračunaj razmerje dolžin stranic v trikotniku \(\triangle BEG\).
Rešitev:
(a) Namig: pravi kot je pri \(G\);
(b) \(|EG|:|GB|:|BE|=3:4:5\)
-
Izračunaj ploščino trikotnika, ki ima oglišča v točkah \(A(2,8,15)\), \(B(30,32,18)\) in \(C(22,20,24)\).
Rešitev:
\(S=150\) (Lahko si pomagaš z vektorskim produktom, da pa se tudi drugače.)
-
Poševna piramida ima za osnovno ploskev (vodoraven) kvadrat \(ABCD\)
z diagonalo \(d=5~\mathrm{cm}\). Vrh te piramide leži točno \(5~\mathrm{cm}\) nad
ogliščem \(B\). Izračunaj površino in prostornino te piramide.
Rešitev:
\(V\doteq20,83~\mathrm{cm}^3,~~ P\doteq51,83~\mathrm{cm}^2\)
-
Pravokotni trikotnik ima kateti \(a=7~\mathrm{cm},~ b=24~\mathrm{cm}\).
Izračunaj površino rotacijskega telesa, ki ga dobimo, če ta trikotnik zavrtimo za \(360^\circ\) okoli:
(a) daljše katete,
(b) hipotenuze.
Oba rezultata zaokroži na štiri mesta.
Rešitev:
(a) \(P\doteq703.7~\mathrm{cm}^2\);
(b) \(P\doteq654.5~\mathrm{cm}^2\)
-
Reši enačbo:
\({\displaystyle\frac{2x+7}{~x+\sqrt{x-3}~}=3}\)
Rešitev:
\(x=4\)
-
Reši enačbo:
\(\sqrt{2x-5}+\sqrt{3x+4}=8\)
Rešitev:
\(x=7\)
-
Reši enačbo:
\(1+(2x+1)\raise0.9em{\textstyle\frac{3}{2}}=7x\)
Rešitev:
\(x_1=4,~ x_2=\frac{5}{8}\)
-
Določi realni parameter \(m\) tako, da bodo rešitve spodnje enačbe (urejene po velikosti) sestavljale končno aritmetično zaporedje.
\(x^4-(m+1)x^2+m=0\)
Rešitev:
\(m_1=9\) (rešitve enačbe so: \(-3,~ -1,~ 1,~ 3\)),
\(m_2=\frac{1}{9}\) (rešitve enačbe so: \(-1,~ -\frac{1}{3},~ \frac{1}{3},~ 1\))
-
Reši neenačbo:
\(3x+2\leqslant x^3\)
Rešitev:
\(x\in\{-1\}\cup [2,\infty)\)
-
Reši neenačbo:
\({\displaystyle\frac{x^2+1}{x-2}\leqslant x}\)
Rešitev:
\(x\in[-\frac{1}{2},2)\)
-
Faktoriziraj in poenostavi:
(a) \({\displaystyle\frac{\sin x+\sin(x-42^\circ)}{\cos x+\sin(x+48^\circ)}}\)
(b) \({\displaystyle\frac{\sin(3x+\pi)+\sin(x-\pi)}{2\sin2x}}\)
(c) \({\displaystyle\frac{\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x}{4\cos\frac{x}{2}}}\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=\tan(x-21^\circ)\);
(b) \(\cdots=-\cos x\);
(c) \(\cdots=\cos\frac{5x}{2}\, \cos x\)
-
Reši enačbo:
\(\cos 7x \cos x = \cos 4x \cos 2x\)
Rešitev:
\(x_1=\frac{k\pi}{3},~ x_2=\frac{k\pi}{5};~~~ k\in\mathbb{Z}\)
-
Premici \(y=2x\) in \(y=-2x+4\) sta asimptoti hiperbole. Razdalja med goriščema te hiperbole
meri 10 enot. Zapiši enačbo te hiperbole in hiperbolo tudi nariši. Upoštevaj vse možne rešitve.
Rešitev:
Rešitvi sta \(\frac{(x-1)^2}{5}-\frac{(y-2)^2}{20}=1\) in
\(\frac{(x-1)^2}{5}-\frac{(y-2)^2}{20}=-1\)
-
Parabola ima enačbo \((y+1)^2=4(x+4)\). Premica \(p\) je tangenta te parabole.
Zapiši enačbo premice \(p\), če veš, da seka ordinatno os v točki \(A(0,4)\).
Rešitev:
Dve rešitvi: \(p_1\!:~ y=x+4,~~~ p_2\!:~ y=\frac{1}{4}x+4\)
-
Izračunaj limito:
\({\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1+3+5+7+\cdots+(2n-1)}{(2n-1)^2}}\)
Rešitev:
\(\cdots=\frac{1}{4}\)
-
Dano je število \(A=3^{2n+2}-8n-9\). Dokaži, da je število \(A\) deljivo z 8 za vsak \(n\in\mathbb{N}\).
Rešitev:
Namig: lahko si pomagaš z matematično indukcijo.
-
Dana je funkcija \(f(x)=(x^2-2x+1)\ln x\).
(a) Dokaži, da ima ta funkcija pri \(x=1\) stacionarno točko.
(b) Ugotovi, kakšne vrste stacionarna točka je to.
Rešitev:
(a) \(f'(1)=0\);
(b) vodoravni prevoj \((f''(1)=0,~ f'''(1)\ne0)\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=x^3\sin x\).
(a) Dokaži, da ima ta funkcija pri \(x=0\) stacionarno točko.
(b) Ugotovi, kakšne vrste stacionarna točka je to.
Rešitev:
(a) \(f'(0)=0\);
(b) lokalni minimum \((f''(0)=0,~ f'''(0)=0,~ f''''(0)\gt 0)\)
-
Dana je funkcija \(f(x)=\sqrt{2x+9}\).
(a) Nariši graf te funkcije.
(b) Zapiši definicijsko območje in zalogo vrednosti.
(c) Izračunaj ploščino lika, ki ga omejuje graf te funkcije skupaj z obema koordinatnima osema.
Rešitev:
(b) \(\mathcal{D}_f=[-\frac{9}{2},\infty),~ \mathcal{Z}_f=[0,\infty)\);
(c) \(S=9\)
-
Izračunaj naslednje nedoločene integrale:
(a) \({\displaystyle\int\frac{x^2+2x+3}{x}\,dx}\)
(b) \({\displaystyle\int\frac{x+1}{~\sqrt{x^2+2x+2}~}\,dx}\)
(c) \({\displaystyle\int\frac{x^2-x-5}{x+2}\,dx}\)
(d) \({\displaystyle\int(x+3)e^x\,dx}\)
Rešitev:
(a) \(\cdots=\frac{1}{2}x^2+2x+3\ln|x|+C\);
(b) \(\cdots=\sqrt{x^2+2x+2}+C\);
(c) \(\cdots=\frac{1}{2}x^2-3x+\ln|x+2|+C\);
(d) \(\cdots=(x+2)e^x+C\)
