Mešane naloge – osnovna raven

1. Dani sta množici $A=\{50n;n\in \mathrm{I}\mathrm{N}\}$ in $B=\{4n-4;n\in \mathrm{I}\mathrm{N}\}$. Zapiši (s formulo) množico $C=A\cap B$.$$
   Rešitev:    $C=\{100n;n\in \mathrm{I}\mathrm{N}\}$
2. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 1918 in 1568.
   Rešitev:    $D=14,v=214816$
3. Razcepi (preoblikuj v obliko produkta) naslednji izraz:
        $(2x+y+1{)}^2-(x-2y+1{)}^2$
   Rešitev:    $\cdots =(x+3y)(3x-y+2)$
4. Atlas sveta se je podražil za 20%, pozneje pa še za 15%. Zdaj stane 121,44 €. Izračunaj, koliko je stal v začetku (pred prvo podražitvijo).
   Rešitev:    Prej je stal 88 €.
5. Reši enačbo:  ${\displaystyle \frac{6}{x^2-5x+4}+\frac{x-6}{x-4}=0}$
   Rešitev:    $x=3$
6. Izračunaj ploščino trikotnika, ki ima oglišča v točkah $A(1,5),B(5,1)$ in $C(11,7)$.
   Rešitev:    Ploščina: $S=24$
7. Dani sta točki $A(5,-3)$ in $B(3,2)$. Zapiši (v implicitni obliki) enačbo premice, ki poteka skozi točko $B$ in je pravokotna na daljico $AB$.
   Rešitev:    $2x-5y+4=0$
8. Reši sistem enačb:
        $x-2y=7$
        $y+z=2$
        $2x-z=2$
   Rešitev:    $x=3,y=-2,z=4$
9. Kvadratna funkcija ima ničli $x_1=-9$ in $x_2=-3$. Graf te funkcije poteka skozi točko $A(-4,15)$. Zapiši enačbo te funkcije v splošni obliki. Izračunaj tudi koordinati temena.
   Rešitev:    $f(x)=-3x^2-36x-81$,   teme: $T(-6,27)$
10. Pravokotnik ima obseg $82\mathrm{cm}$, diagonala tega pravokotnika pa meri $13\sqrt{5}\mathrm{cm}$. Izračunaj, koliko merita stranici.
    Rešitev:    Daljša stranica meri $22\mathrm{cm}$, krajša pa $19\mathrm{cm}$.
11. Poišči kompleksno število $z$, za katero velja:  $2z-18i=\bar{z}i-18$
    Rešitev:    $z=-6+6i$
12. Reši enačbo:   $3^{x-2}-3\cdot 4^{x-3}=3\cdot 4^{x-2}-3^{x-1}+4^{x-3}$
    Rešitev:    $x=2$
13. Naslednji izraz preoblikuj v logaritem enočlenika:   $\log (6x+6)-\log 3-(\log (x+1)-\log x)$
    Rešitev:    $\log 2x$
14. Konstruiraj pravokotnik s stranico $a=4\mathrm{cm}$, če veš, da meri kot med diagonalama ${60}^{\circ }$.
15. Trikotnik ima stranice $a=12\mathrm{cm},b=7\mathrm{cm}$ in $c=15\mathrm{cm}$. Izračunaj, koliko meri težiščnica $t_c$ v tem trikotniku. Rezultat zaokroži na dve decimalki.
    Rešitev:    $t_c\doteq 6.34\mathrm{cm}$
16. Pravilna šeststrana piramida ima osnovni rob $a=4\mathrm{cm}$ in višino $v=6\mathrm{cm}$.
    

    (a)   Izračunaj površino in prostornino te piramide. Rezultata naj bosta točna.

    (b)   Izračunaj kot med osnovno in stransko ploskvijo.

    Rešitev:    (a)  $P=72\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2,V=48\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^3$;    (b)  $\phi ={60}^{\circ }$
17. Daljica $AB$ ima krajišči v točkah $A(2,8)$ in $B(-4,5)$. Točka $T$ leži na tej daljici in jo deli v razmerju $|AT|:|TB|=2:1$. Določi koordinati točke $T$.
    Rešitev:    $T(-2,6)$
18. Dana sta vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(0,1)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(-6,2)$. Izračunaj kot, ko ga oklepata ta dva vektorja. Kot zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\phi \doteq {71}^{\circ }{34}^{\prime }$
19. Pokaži, da je vrednost danega izraza točno enaka $\sin {20}^{\circ }$:
         ${\displaystyle \frac{2{\sin }^2{550}^{\circ }}{\cot {620}^{\circ }}+\frac{\cos {3690}^{\circ }}{\sin {2525}^{\circ }}}$
20. Nariši graf funkcije:   $f(x)=3\sin 2x+1$
21. Reši enačbo:   ${\sin }^{2}x+\sin 2x-3{\cos }^{2}x=0$
    Rešitev:    $x_1=\frac{\pi }{4}+k\pi ,x_2=-\mathrm{arc}\mathrm{tg}3+k\pi (k\in \mathbb{Z})$
22. Izračunaj kot med premicama $3+x=0$ in $2x+y=7$. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\phi \doteq {26}^{\circ }{34}^{\prime }$
23. Poišči vse ničle polinoma:   $p(x)=x^4+x^3-5x^2-3x+6$
    Rešitev:    $1,-2,\sqrt{3},-\sqrt{3}$
24. Nariši graf funkcije:   ${\displaystyle f(x)=\frac{x(x-3)}{(x-1{)}^2}}$
25. Reši neenačbo:   $x^3-x<3x$
    Rešitev:    $x\in (-\mathrm{\infty },-2)\cup (0,2)$
26. Dana je premica $p$:  $y=6-2x$. Zapiši enačbo krožnice, ki ima središče v presečišču premice $p$ z abscisno osjo in poteka skozi točko $A(-4,1)$.
    Rešitev:    $(x-3{)}^2+y^2=50$
27. Elipsa ima enačbo ${\displaystyle \frac{(x+3{)}^2}{36}+\frac{(y-1{)}^2}{37}=1}$. Zapiši koordinate obeh gorišč te elipse.
    Rešitev:    $G_1(-3,0),G_2(-3,2)$
28. Na koliko načinov se lahko razporedi na (dolgi ravni) klopi 10 ljudi, če želita sedeti Andraž in Binca skupaj, drugim pa je vseeno, kako sedijo?
    Rešitev:    Razporedijo se lahko na 725 760 načinov.
29. V posodi je 5 zelenih, 3 bele in 4 črne kroglice. Iz posode na slepo potegnemo tri kroglice (naenkrat). Izračunaj verjetnosti dogodkov:
         $A$: da je vsaj ena od kroglic bela,
         $B$: da ni nobena od kroglic zelena.
    Rešitev:    $P(A)\doteq 0,618,P(B)\doteq 0,159$
30. Aritmetično zaporedje ima člena $a_1=937$ in $a_5=841$. Izračunaj vsoto vseh pozitivnih členov tega zaporedja.
    Rešitev:    $S_{40}=18760$
31. Določi realno število $x$ tako, da bodo naslednja tri števila (zapisana v tem vrstnem redu) sestavljala končno geometrijsko zaporedje:
         $a_1={\log }_{2}x+1$,  $a_2={\log }_{2}x+4$,  $a_3=2{\log }_{2}x$
    Rešitev:    $x_1=256$ (GZ: $9,12,16$);  $x_2=\frac{1}{4}$ (GZ: $-1,2,-4$)
32. Dana je funkcija ${\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{5x-4}}$. Zapiši enačbo inverzne funkcije $f^{-1}(x)$.
    Rešitev:    $f^{-1}(x)=\frac{4x+2}{5x-1}$.
33. Dana je funkcija $f(x)=\sqrt{2x+3}$.
    

    (a)   Izračunaj, v kateri točki se sekata graf te funkcije in simetrala sodih kvadrantov.

    (b)   Izračunaj, kolikšen kot oklepata.

    Rešitev:    (a)  Presečišče: $P(-1,1)$;    (b)  kot: $\phi ={90}^{\circ }$
34. Izračunaj stacionarne točke in nariši graf funkcije:   Dana je funkcija:  ${\displaystyle f(x)=\frac{4x+4}{x^2}}$
    

    (a)   Izračunaj stacionarne točke.

    (b)   Nariši graf te funkcije.

    Rešitev:    (a)  Maksimum: $M(-2,-1)$
35. Dana je funkcija:  $f(x)=x^3-2x^2+\frac{1}{2}x$
    

    (a)   Zapiši enačbo tangente na graf funkcije $f$ v točki $A(0,0)$.

    (b)   Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta graf funkcije in tangenta.

    Rešitev:    (a)  Tangenta: $y=\frac{1}{2}x$;    (b)  ploščina: $S=\frac{4}{3}$

 Domov