Mešane naloge – osnovna raven

1. Dani sta množici \(A=\{50n;~ n\in\mathrm{I\!N}\}\) in \(B=\{4n-4;~ n\in\mathrm{I\!N}\}\). Zapiši (s formulo) množico \(C=A\cap B\).\(\newcommand{\vekt}[1]{{\stackrel{\rightharpoonup}{{#1}}}}\)
   Rešitev:    \(C=\{100n;~ n\in\mathrm{I\!N}\}\)
2. Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik
   Rešitev:   
3. Razcepi (preoblikuj v obliko produkta) naslednji izraz:
        \((2x+y+1)^2-(x-2y+1)^2\)
   Rešitev:    \(\cdots=(x+3y)(3x-y+2)\)
4. Atlas sveta se je podražil za 20%, pozneje pa še za 15%. Zdaj stane 121,44 €. Izračunaj, koliko je stal v začetku (pred prvo podražitvijo).
   Rešitev:    Prej je stal 88 €.
5. 
   Rešitev:   
6. Izračunaj ploščino trikotnika, ki ima oglišča v točkah
   Rešitev:   
7. Dani sta točki \(A(5,-3)\) in \(B(3,2)\). Zapiši (v implicitni obliki) enačbo premice, ki poteka skozi točko \(B\) in je pravokotna na daljico \(AB\).
   Rešitev:    \(2x-5y+4=0\)
8. Reši sistem enačb:
        \(x-2y=7\)
        \(y+z=2\)
        \(2x-z=2\)
   Rešitev:    \(x=3,~~ y=-2,~~ z=4\)
9. Kvadratna funkcija ima ničli
   Rešitev:   
10. Pravokotnik ima obseg \(82~\mathrm{cm}\), diagonala tega pravokotnika pa meri \(13\sqrt{5}~\mathrm{cm}\). Izračunaj, koliko merita stranici.
    Rešitev:    Daljša stranica meri \(22~\mathrm{cm}\), krajša pa \(19~\mathrm{cm}\).
11. Poišči kompleksno število \(z\), za katero velja: 
    Rešitev:   
12. Reši enačbo:   \(3^{x-2}-3\cdot 4^{x-3}=3\cdot 4^{x-2}-3^{x-1}+4^{x-3}\)
    Rešitev:    \(x=2\)
13. Naslednji izraz preoblikuj v logaritem enočlenika:   \(\log(6x+6)-\log 3 - (\log(x+1)-\log x)\)
    Rešitev:    \(\log 2x\)
14. Konstruiraj pravokotnik s stranico \(a=4~\mathrm{cm}\), če veš, da meri kot med diagonalama \(60^\circ\).
15. Trikotnik ima stranice
    Rešitev:   
16. Pravilna šeststrana piramida ima osnovni rob \(a=4~\mathrm{cm}\) in višino \(v=6~\mathrm{cm}\).
    

    (a)   Izračunaj površino in prostornino te piramide. Rezultata naj bosta točna.

    (b)   Izračunaj kot med osnovno in stransko ploskvijo.

    Rešitev:    (a)  \(P=72\sqrt{3}~\mathrm{cm}^2,~ V=48\sqrt{3}~\mathrm{cm}^3\);    (b)  \(\varphi=60^\circ\)
17. 
    Rešitev:   
18. 
    Rešitev:   
19. Pokaži, da je vrednost danega izraza točno enaka \(\sin 20^\circ\):
         \({\displaystyle\frac{2\sin^2 550^\circ}{\mathrm{cot}\,620^\circ}+\frac{\cos3690^\circ}{\sin2525^\circ}}\)
20. Nariši graf funkcije:   \(f(x)=3\sin 2x+1\)
21. Reši enačbo:   \(\sin^2 x+\sin 2x-3\cos^2 x=0\)
    Rešitev:    \(x_1=\frac{\pi}{4}+k\pi,~~ x_2=-\,\mathrm{arc\,tg\,}3+k\pi~~ (k\in\mathbb{Z})\)
22. Izračunaj kot med premicama \(3+x=0\) in \(2x+y=7\). Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\varphi\doteq26^\circ 34'\)
23. Poišči vse ničle polinoma:   \(p(x)=x^4+x^3-5x^2-3x+6\)
    Rešitev:    \(1,~~ -2,~~ \sqrt{3},~~ -\sqrt{3}\)
24. Nariši graf funkcije:   \({\displaystyle f(x)=\frac{x(x-3)}{(x-1)^2}}\)
25. Reši neenačbo:   \(x^3-x \lt 3x\)
    Rešitev:    \(x\in(-\infty,-2)\cup(0,2)\)
26. Dana je premica \(p\):  \(y=6-2x\). Zapiši enačbo krožnice, ki ima središče v presečišču premice \(p\) z abscisno osjo in poteka skozi točko \(A(-4,1)\).
    Rešitev:    \((x-3)^2+y^2=50\)
27. Elipsa ima enačbo
    Rešitev:   
28. Na koliko načinov se lahko razporedi na (dolgi ravni) klopi 10 ljudi, če želita sedeti Andraž in Binca skupaj, drugim pa je vseeno, kako sedijo?
    Rešitev:    Razporedijo se lahko na 725 760 načinov.
29. V posodi je 5 zelenih, 3 bele in 4 črne kroglice. Iz posode na slepo potegnemo tri kroglice (naenkrat). Izračunaj verjetnosti dogodkov:
         \(A\): da je vsaj ena od kroglic bela,
         \(B\): da ni nobena od kroglic zelena.
    Rešitev:    \(P(A)\doteq0,618,~~ P(B)\doteq0,159\)
30. Aritmetično zaporedje ima člena
    Rešitev:   
31. Določi realno število \(x\) tako, da bodo naslednja tri števila (zapisana v tem vrstnem redu) sestavljala končno geometrijsko zaporedje:
         \(a_1=\log_2 x+1\),  \(a_2=\log_2 x +4\),  \(a_3=2\log_2 x\)
    Rešitev:    \(x_1=256\) (GZ: \(9,~ 12,~ 16\));  \(x_2=\frac{1}{4}\) (GZ: \(-1,~ 2,~ -4\))
32. Dana je funkcija
    Rešitev:   
33. Dana je funkcija \(f(x)=\sqrt{2x+3}\).
    

    (a)   Izračunaj, v kateri točki se sekata graf te funkcije in simetrala sodih kvadrantov.

    (b)   Izračunaj, kolikšen kot oklepata.

    Rešitev:    (a)  Presečišče: \(P(-1,1)\);    (b)  kot: \(\varphi=90^\circ\)
34. Izračunaj stacionarne točke in nariši graf funkcije:   Dana je funkcija:  \({\displaystyle f(x)=\frac{4x+4}{x^2}}\)
    

    (a)   Izračunaj stacionarne točke.

    (b)   Nariši graf te funkcije.

    Rešitev:    (a)  Maksimum: \(M\big(-2,-1\big)\)
35. Dana je funkcija:  \(f(x)=x^3-2x^2+\frac{1}{2}x\)
    

    (a)   Zapiši enačbo tangente na graf funkcije \(f\) v točki \(A(0,0)\).

    (b)   Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta graf funkcije in tangenta.

    Rešitev:    (a)  Tangenta: \(y=\frac{1}{2}x\);    (b)  ploščina: \(S=\frac{4}{3}\)

 Domov