Naloge brez kalkulatorja

1. Izračunaj največji skupni delitelj števil 713 in 1147.
   Rešitev:    $D(713,1147)=31$    (Namig: Uporabiš lahko Evklidov algoritem.)
2. Ugotovi, če je število 765432 deljivo
   

   (a)   z 2,    (b)   s 3,    (c)   s 4,    (d)   s 6,    (e)   z 8,    (f)   z 9.

   Rešitev:    Število 765432 je deljivo z vsemi navedenimi števili.
3. Izračunaj vrednost naslednjega izraza: ${\displaystyle {(\frac{0,\overline{27}}{0,2\bar{7}}\cdot \frac{11}{9}-1)}^{-1}}$
   Rešitev:    $\cdots =5$
4. Izračunaj razdaljo med točkama $A(2,-\sqrt{2})$ in $B(1+\sqrt{10},\sqrt{5})$. Rezultat naj bo delno korenjen.
   Rešitev:    $|AB|=3\sqrt{2}$
5. Zapiši enačbo premice, ki poteka skozi točki $A(1,2+\sqrt{5})$ in $B(\sqrt{5},7)$.
   Rešitev:    $y=x\sqrt{5}+2$
6. Podana je premica $p:5x-21y-35=0$. Zapiši enačbo premice v segmentni obliki in izračunaj ploščino trikotnika, ki ga omejuje ta premica skupaj z obema koordinatnima osema.
   Rešitev:    Segmentna: ${\displaystyle \frac{x}{7}-\frac{y}{\frac{5}{3}}=1}$, ploščina: $S=\frac{35}{6}$
7. V enakokrakem trikotniku $ABC$ je kot nasproti osnovnici $\gamma ={54}^{\circ }{32}^{\prime }{10}^{″}$.
   

   (a)   Izračunaj kot $\alpha$.

   (b)   Izračunaj ostri kot $\vartheta$, ki ga oklepata višini $v_a$ in $v_b$.

   Rešitev:    (a)  $\alpha =\beta ={62}^{\circ }{43}^{\prime }{55}^{″}$;     (b)  $\vartheta =\gamma ={54}^{\circ }{32}^{\prime }{10}^{″}$ (princip kotov s pravokotnimi kraki)
8. Trikotnik ima stranice $a=7\mathrm{cm},b=13\mathrm{cm},c=8\mathrm{cm}$.
   

   (a)   Izračunaj največji kot v tem trikotniku.

   (b)   Izračunaj ploščino.

   Rešitev:    (a)  $\beta ={120}^{\circ }$;     (b)  $S=14\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2$
9. Stranici v pravokotniku $ABCD$ merita $6\sqrt{2}$ in 3 enote. Izračunaj oddaljenost oglišča $B$ od diagonale $AC$.
   Rešitev:    $2\sqrt{2}$
10. Vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ oklepata kot ${30}^{\circ }$. Dolžina vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ meri 2 enoti, dolžina vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ pa je $\sqrt{3}$. Izračunaj, koliko meri dolžina vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=\stackrel{\rightharpoonup }{a}-5\stackrel{\rightharpoonup }{b}$.
    Rešitev:    $|\stackrel{\rightharpoonup }{c}|=7$
11. Reši enačbo:  $2x^2+x\sqrt{5}-5=0$
    Rešitev:    $x_1=-\sqrt{5},x_2=\frac{\sqrt{5}}{2}$
12. Dano je kompleksno število $z=12+5i$. Izračunaj vrednost naslednjega izraza:  ${\displaystyle {\left(\frac{|z|-z}{z-39i}\right)}^{-2}}$
    Rešitev:    $\cdots =48+14i$

13. (a)   Število $\sqrt{29+12\sqrt{5}}$ zapiši v obliki $a+b\sqrt{5}(a,b\in \mathbb{N})$.

    (b)   Uporabi zgoraj dobljeni rezultat in poenostavi naslednji izraz:   ${\displaystyle \frac{(4-\sqrt{5}{)}^2}{\sqrt{29+12\sqrt{5}}}}$

    Rešitev:    (a)  $\sqrt{29+12\sqrt{5}}=3+2\sqrt{5}$;     (b)  $\cdots =-13+6\sqrt{5}$
14. Izračunaj vrednosti naslednjih izrazov, če veš, da je $\log x=\frac{1}{3}$, $\log y=\frac{1}{2}$:
    

    (a)   ${\displaystyle \log \frac{10x{y}^2}{\sqrt[5]{xy}}}$

    (b)   ${\log }_{x}y$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{5}{3}$;     (b)  $\cdots =\frac{3}{2}$
15. Reši enačbo:  ${\displaystyle \frac{4}{\log x^2+1}-\frac{1}{\log x^4-1}=1}$
    Rešitev:    $x_1=10,x_2=\sqrt{10}$
16. Enakokraki trapez $ABCD$ ima osnovnici $a=28\mathrm{cm},c=12\mathrm{cm}$ in kraka $b=d=17\mathrm{cm}$.
    

    (a)   Izračunaj višino tega trapeza.

    (b)   Izračunaj dolžino diagonale trapeza.

    Rešitev:    (a)  $v=15\mathrm{cm}$;     (b)  $e=f=25\mathrm{cm}$
17. Pravilna enakoroba šeststrana prizma ima prostornino $V=108{\mathrm{cm}}^3$.
    

    (a)   Izračunaj osnovni rob $a$.

    (b)   Ta prizma ima telesne diagonale dveh različnih dolžin. Izračunaj obe možni dolžini.

    Rešitev:    (a)  $a=2\sqrt{3}\mathrm{cm}$;     (b)  $D_1=2a=4\sqrt{3}\mathrm{cm},D_2=a\sqrt{5}=2\sqrt{15}\mathrm{cm}$
18. Preoblikuj v kotno funkcijo ostrega kota in zapiši točno vrednost izraza:
    

    (a)   $\sin {870}^{\circ }$

    (b)   $\sin {660}^{\circ }$

    (c)   $\cos {945}^{\circ }$

    (d)   $\cos {1200}^{\circ }$

    (e)   $\tan {600}^{\circ }$

    (f)   $\cot {675}^{\circ }$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$;     (b)  $\cdots =-\sin {60}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;     (c)  $\cdots =-\cos {45}^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$;     (d)  $\cdots =-\cos {60}^{\circ }=-\frac{1}{2}$;     (e)  $\cdots =\tan {60}^{\circ }=\sqrt{3}$;     (f)  $\cdots =-\cot {45}^{\circ }=-1$
19. Za topa kota $\alpha$ in $\beta$ velja:  $\sin \alpha =\frac{1}{3},\sin \beta =\frac{7}{9}$. Izračunaj vrednost izraza  $\sin (\alpha -\beta )$.
    Rešitev:    $\sin (\alpha -\beta )=\frac{10\sqrt{2}}{27}$
20. Faktoriziraj in poenostavi naslednja izraza:

    (a)   ${\displaystyle \frac{\sin (3x-{20}^{\circ })-\sin ({60}^{\circ }-x)}{\cos 2x+\cos {40}^{\circ }}}$

    (b)   ${\displaystyle \frac{\sin (\frac{\pi }{6}-x)+\cos x}{\cos (\frac{\pi }{6}-x)-\sin x}}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =2\sin (x-{20}^{\circ })$;     (b)  $\cdots =\sqrt{3}$
21. Dokaži, da je vrednost naslednjega izraza konstantna (enaka za vsak $x\in \mathbb{R}$):  $\sin (\frac{\pi }{4}+x)\cos (\frac{\pi }{12}-x)+\cos (\frac{\pi }{4}+x)\sin (\frac{\pi }{12}-x)$
    Rešitev:    $\cdots =\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
22. Dani sta premici $12x+9y=99$ in $\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=1$.

    (a)   Izračunaj presečišče premic.

    (b)   Izračunaj kot, ki ga premici oklepata.

    Rešitev:    (a)  $P(6,3)$;     (b)  $\phi ={90}^{\circ }$ (ker je $k_2=-\frac{1}{k_1}$)
23. Dani sta premici $y=3\sqrt{3}x-8$ in $\sqrt{3}x-5y+2=0$.

    (a)   Izračunaj presečišče premic.

    (b)   Izračunaj kot, ki ga premici oklepata.

    Rešitev:    (a)  $P(\sqrt{3},1)$;     (b)  $\phi ={60}^{\circ }$ (ker je $\tan \phi =\sqrt{3}$)
24. Dan je polinom $p(x)=2x^4+13x^3+30x^2+28x+8$. Poišči vse ničle tega polinoma. Zapiši tudi stopnjo (večkratnost) vsake posamezne ničle.
    Rešitev:    $x_1=-\frac{1}{2}$ (enostavna ničla),   $x_{2,3,4}=-2$ (trojna ničla)
25. Polinom $p$ je tretje stopnje in ima realne koeficiente. Dve od njegovih ničel sta $x_1=-3$ in $x_2=1+i\sqrt{2}$. Graf tega polinoma poteka skozi točko $A(\sqrt{3},4)$. Zapiši enačbo polinoma $p$ v splošni obliki.
    Rešitev:    $p(x)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{3}{x}^2-x+3$
26. V razredu je 8 fantov in 12 deklet. Izračunaj, na koliko različnih načinov lahko izmed njih izberemo tričlansko delegacijo,

    (a)   če so člani delegacije povsem poljubni,

    (b)   če mora biti v delegaciji vsaj eno dekle.

    Rešitev:    (a)  1140;     (b)  1084
27. Dana so števila:  $a_1={\log }_2(m+1),a_2={\log }_2(3m-5),a_3={\log }_2(5m-3)$. Za določeno vrednost realnega parametra $m$ so ta števila (zapisana po tem vrstnem redu) prvi trije členi aritmetičnega zaporedja. Poišči ustrezno vrednost parametra $m$ in zapiši splošni člen tega aritmetičnega zaporedja.
    Rešitev:    $m=7$, zaporedje: $a_n=n+2$
28. Dana je funkcija $f(x)=(x-2)e^x$.

    (a)   Zapiši koordinati edine stacionarne točke te funkcije.

    (b)   Zapiši koordinati prevoja. (Opomba: Ta prevoj ni stacionarna točka.)

    Rešitev:    (a)  Minimum: $(1,-e)$;     (b)  Poševni prevoj: $(0,-2)$
29. Graf funkcije $f(x)=\ln (2x-3)$ seka abscisno os v točki $A$.

    (a)   Zapiši enačbo tangente na graf funkcije v točki $A$.

    (b)   Zapiši enačbo normale na graf funkcije v točki $A$.

    (c)   Izračunaj ploščino trikotnika, ki ga omejujeta tangenta in normala skupaj z ordinatno osjo.

    Rešitev:    (a)  Tangenta: $y=2x-4$;     (b)  Normala: $y=-\frac{1}{2}x+1$;     (c)  $S_{\mathrm{△}}=5$
30. Izračunaj:  ${\displaystyle \underset{0}{\overset{13}{\int }}\sqrt[3]{2x+1}dx}$
    Rešitev:    $\cdots =30$

 Domov