Domov

Naloge brez kalkulatorja

Naloge na tem delovnem listu morate rešiti brez elektronskega žepnega računala (brez kalkulatorja).\(\newcommand{\vekt}[1]{{\stackrel{\rightharpoonup}{{#1}}}}\)
  1. Izračunaj največji skupni delitelj števil 713 in 1147.
    Rešitev:    \(D(713,1147)=31\)    (Namig: Uporabiš lahko Evklidov algoritem.)
  2. Ugotovi, če je število 765432 deljivo

    (a)   z 2,    (b)   s 3,    (c)   s 4,    (d)   s 6,    (e)   z 8,    (f)   z 9.

    Rešitev:    Število 765432 je deljivo z vsemi navedenimi števili.
  3. Izračunaj vrednost naslednjega izraza: \({\displaystyle \left(\frac{~0,\overline{27}~}{0,2\overline{7}}\cdot\frac{11}{9}-1\right)^{-1} }\)
    Rešitev:    \(\cdots=5\)
  4. Izračunaj razdaljo med točkama \(A(2,-\sqrt{2})\) in \(B(1+\sqrt{10},\sqrt{5})\). Rezultat naj bo delno korenjen.
    Rešitev:    \(|AB|=3\sqrt{2}\)
  5. Zapiši enačbo premice, ki poteka skozi točki \(A(1,2+\sqrt{5})\) in \(B(\sqrt{5},7)\).
    Rešitev:    \(y=x\,\sqrt{5}+2\)
  6. Podana je premica \(p\!:~ 5x-21y-35=0\). Zapiši enačbo premice v segmentni obliki in izračunaj ploščino trikotnika, ki ga omejuje ta premica skupaj z obema koordinatnima osema.
    Rešitev:    Segmentna: \(\displaystyle \frac{~x~}{7}-\frac{~y~}{\frac{5}{3}}=1\), ploščina: \(S=\frac{35}{6}\)
  7. V enakokrakem trikotniku \(ABC\) je kot nasproti osnovnici \(\gamma=54^\circ\,32'\,10''\).

    (a)   Izračunaj kot \(\alpha\).

    (b)   Izračunaj ostri kot \(\vartheta\), ki ga oklepata višini \(v_a\) in \(v_b\).

    Rešitev:    (a)  \(\alpha=\beta=62^\circ\,43'\,55''\);     (b)  \(\vartheta=\gamma=54^\circ\,32'\,10''\) (princip kotov s pravokotnimi kraki)
  8. Trikotnik ima stranice \(a=7~\mathrm{cm},~ b=13~\mathrm{cm},~ c=8~\mathrm{cm}\).

    (a)   Izračunaj največji kot v tem trikotniku.

    (b)   Izračunaj ploščino.

    Rešitev:    (a)  \(\beta=120^\circ\);     (b)  \(S=14\sqrt{3}~\mathrm{cm}^2\)
  9. Stranici v pravokotniku \(ABCD\) merita \(6\sqrt{2}\) in 3 enote. Izračunaj oddaljenost oglišča \(B\) od diagonale \(AC\).
    Rešitev:    \(2\sqrt{2}\)
  10. Vektorja \(\vekt{a}\) in \(\vekt{b}\) oklepata kot \(30^\circ\). Dolžina vektorja \(\vekt{a}\) meri 2 enoti, dolžina vektorja \(\vekt{b}\) pa je \(\sqrt{3}\). Izračunaj, koliko meri dolžina vektorja \(\vekt{c}=\vekt{a}-5\vekt{b}\).
    Rešitev:    \(|\vekt{c}|=7\)
  11. Reši enačbo:  \(2x^2+x\sqrt{5}-5=0\)
    Rešitev:    \(x_1=-\sqrt{5},~ x_2=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
  12. Dano je kompleksno število \(z=12+5i\). Izračunaj vrednost naslednjega izraza:  \({\displaystyle \left(\frac{|z|-z}{z-39i}\right)^{-2}}\)
    Rešitev:    \(\cdots=48+14i\)
  13. (a)   Število \(\sqrt{29+12\sqrt{5}~}\) zapiši v obliki \(a+b\sqrt{5}~~ (a,b\in\mathbb{N})\).

    (b)   Uporabi zgoraj dobljeni rezultat in poenostavi naslednji izraz:   \({\displaystyle \frac{\big(4-\sqrt{5}\big)^2}{~\sqrt{29+12\sqrt{5}~}~}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\sqrt{29+12\sqrt{5}~}=3+2\sqrt{5}\);     (b)  \(\cdots=-13+6\sqrt{5}\)
  14. Izračunaj vrednosti naslednjih izrazov, če veš, da je \(\log x=\frac{1}{3}\), \(\log y=\frac{1}{2}\):

    (a)   \({\displaystyle \log \frac{10xy^2}{\sqrt[\scriptstyle5]{xy}}}\)

    (b)   \(\log_x y\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{5}{3}\);     (b)  \(\cdots=\frac{3}{2}\)
  15. Reši enačbo:  \(\displaystyle \frac{4}{\log x^2+1}-\frac{1}{\log x^4-1}=1\)
    Rešitev:    \(x_1=10,~ x_2=\sqrt{10}\)
  16. Enakokraki trapez \(ABCD\) ima osnovnici \(a=28~\mathrm{cm},~ c=12~\mathrm{cm}\) in kraka \(b=d=17~\mathrm{cm}\).

    (a)   Izračunaj višino tega trapeza.

    (b)   Izračunaj dolžino diagonale trapeza.

    Rešitev:    (a)  \(v=15~\mathrm{cm}\);     (b)  \(e=f=25~\mathrm{cm}\)
  17. Pravilna enakoroba šeststrana prizma ima prostornino \(V=108~\mathrm{cm}^3\).

    (a)   Izračunaj osnovni rob \(a\).

    (b)   Ta prizma ima telesne diagonale dveh različnih dolžin. Izračunaj obe možni dolžini.

    Rešitev:    (a)  \(a=2\sqrt{3}~\mathrm{cm}\);     (b)  \(D_1=2a=4\sqrt{3}~\mathrm{cm},~ D_2=a\sqrt{5}=2\sqrt{15}~\mathrm{cm}\)
  18. Preoblikuj v kotno funkcijo ostrega kota in zapiši točno vrednost izraza:

    (a)   \(\sin870^\circ\)

    (b)   \(\sin660^\circ\)

    (c)   \(\cos945^\circ\)

    (d)   \(\cos1200^\circ\)

    (e)   \(\tan600^\circ\)

    (f)   \(\cot675^\circ\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\sin30^\circ=\frac{1}{2}\);     (b)  \(\cdots=-\sin60^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}\);     (c)  \(\cdots=-\cos45^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}\);     (d)  \(\cdots=-\cos60^\circ=-\frac{1}{2}\);     (e)  \(\cdots=\tan60^\circ=\sqrt{3}\);     (f)  \(\cdots=-\cot45^\circ=-1\)
  19. Za topa kota \(\alpha\) in \(\beta\) velja:  \(\sin\alpha=\frac{1}{3},~~ \sin\beta=\frac{7}{9}\). Izračunaj vrednost izraza  \(\sin(\alpha-\beta)\).
    Rešitev:    \(\sin(\alpha-\beta)=\frac{10\sqrt{2}}{27}\)
  20. Faktoriziraj in poenostavi naslednja izraza:

    (a)   \({\displaystyle\frac{\sin(3x-20^\circ)-\sin(60^\circ-x)}{\cos 2x+\cos 40^\circ}}\)

    (b)   \({\displaystyle\frac{\sin(\frac{\pi}{6}-x)+\cos x}{\cos(\frac{\pi}{6}-x)-\sin x}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=2\sin(x-20^\circ)\);     (b)  \(\cdots=\sqrt{3}\)
  21. Dokaži, da je vrednost naslednjega izraza konstantna (enaka za vsak \(x\in\mathbb{R}\)):  \(\sin(\frac{\pi}{4}+x)\cos(\frac{\pi}{12}-x)+\cos(\frac{\pi}{4}+x)\sin(\frac{\pi}{12}-x)\)
    Rešitev:    \(\cdots=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
  22. Dani sta premici \(12x+9y=99\) in \(\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=1\).

    (a)   Izračunaj presečišče premic.

    (b)   Izračunaj kot, ki ga premici oklepata.

    Rešitev:    (a)  \(P(6,3)\);     (b)  \(\varphi=90^\circ\) (ker je \(k_2=-\frac{1}{k_1}\))
  23. Dani sta premici \(y=3\sqrt{3}\,x-8\) in \(\sqrt{3}\,x-5y+2=0\).

    (a)   Izračunaj presečišče premic.

    (b)   Izračunaj kot, ki ga premici oklepata.

    Rešitev:    (a)  \(P(\sqrt{3},1)\);     (b)  \(\varphi=60^\circ\) (ker je \(\tan\varphi=\sqrt{3}\))
  24. Dan je polinom \(p(x)=2x^4+13x^3+30x^2+28x+8\). Poišči vse ničle tega polinoma. Zapiši tudi stopnjo (večkratnost) vsake posamezne ničle.
    Rešitev:    \(x_1=-\frac{1}{2}\) (enostavna ničla),   \(x_{2,3,4}=-2\) (trojna ničla)
  25. Polinom \(p\) je tretje stopnje in ima realne koeficiente. Dve od njegovih ničel sta \(x_1=-3\) in \(x_2=1+i\sqrt{2}\). Graf tega polinoma poteka skozi točko \(A(\sqrt{3},4)\). Zapiši enačbo polinoma \(p\) v splošni obliki.
    Rešitev:    \(p(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{3}x^2-x+3\)
  26. V razredu je 8 fantov in 12 deklet. Izračunaj, na koliko različnih načinov lahko izmed njih izberemo tričlansko delegacijo,

    (a)   če so člani delegacije povsem poljubni,

    (b)   če mora biti v delegaciji vsaj eno dekle.

    Rešitev:    (a)  1140;     (b)  1084
  27. Dana so števila:  \(a_1=\log_2(m+1),~ a_2=\log_2(3m-5),~ a_3=\log_2(5m-3)\). Za določeno vrednost realnega parametra \(m\) so ta števila (zapisana po tem vrstnem redu) prvi trije členi aritmetičnega zaporedja. Poišči ustrezno vrednost parametra \(m\) in zapiši splošni člen tega aritmetičnega zaporedja.
    Rešitev:    \(m=7\), zaporedje: \(a_n=n+2\)
  28. Dana je funkcija \(f(x)=(x-2)e^x\).

    (a)   Zapiši koordinati edine stacionarne točke te funkcije.

    (b)   Zapiši koordinati prevoja. (Opomba: Ta prevoj ni stacionarna točka.)

    Rešitev:    (a)  Minimum: \((1,-e)\);     (b)  Poševni prevoj: \((0,-2)\)
  29. Graf funkcije \(f(x)=\ln(2x-3)\) seka abscisno os v točki \(A\).

    (a)   Zapiši enačbo tangente na graf funkcije v točki \(A\).

    (b)   Zapiši enačbo normale na graf funkcije v točki \(A\).

    (c)   Izračunaj ploščino trikotnika, ki ga omejujeta tangenta in normala skupaj z ordinatno osjo.

    Rešitev:    (a)  Tangenta: \(y=2x-4\);     (b)  Normala: \(y=-\frac{1}{2}x+1\);     (c)  \(S_{\triangle}=5\)
  30. Izračunaj:  \(\displaystyle\int\limits_0^{13} \sqrt[{\scriptstyle3}]{2x+1}~dx\)
    Rešitev:    \(\cdots=30\)

Powered by MathJax
Domov

 Domov