Geometrija  –  višja raven

1. V pravokotnem trikotniku $\mathrm{△}ABC$ izberemo točko $S$ na hipotenuzi $AB$ tako, da je $|AS|=20,|SB|=15$. Krožnica $K$ ima središče v točki $S$ in se dotika obeh katet trikotnika. Izračunaj dolžino krožnega loka med obema dotikališčema.$$
   Rešitev:    $r=12,\ell =\frac{1}{4}2\pi r=6\pi$
2. V pravokotnem trikotniku s katetama $a$ in $b$ narišemo simetralo pravega kota. Ta simetrala razdeli hipotenuzo $c=AB$ na dva dela: $c_1=BT,c_2=AT$. Izračunaj razmerje $c_1:c_2$.
   Namig:    Iz točke, kjer simetrala seka hipotenuzo, potegni pravokotnici do obeh katet. Tako dobiš kvadat s stranico $x$ in dva manjša trikotnika. Zdaj si lahko pomagaš s podobnostjo, npr.: $c_1:x=c:b$ in $c_2:x=c:a$
   Rešitev:    $c_1:c_2=a:b$
3. Dokaži, da ne obstaja konveksni večkotnik s štirimi ostrimi (notranjimi) koti.
   Rešitev:    Dokaz s protislovjem: vsota zunanjih kotov (že teh štirih) bi bila: ${\alpha }^{\prime }+{\beta }^{\prime }+{\gamma }^{\prime }+{\delta }^{\prime }>{360}^{\circ }$
4. V pravilni pokončni štiristrani piramidi z osnovnim robom $a=10\mathrm{cm}$ in višino $v=12\mathrm{cm}$ izračunaj naslednje tri kote (zapiši jih v stopinjah in minutah):
   

   (a)   kot med osnovnim robom in stranskim robom,

   (b)   kot med osnovno ploskvijo in stranskim robom,

   (c)   kot med osnovno ploskvijo in stransko ploskvijo.

   Rešitev:    (a)  ${68}^{\circ }{58}^{\prime }$;     (b)  ${59}^{\circ }{29}^{\prime }$;     (c)  ${67}^{\circ }{23}^{\prime }$
5. V kocko včrtamo tetraeder, tako da so robovi tetraedra diagonale mejnih ploskev kocke. Izračunaj razmerje med prostornino tetraedra in kocke.
   Rešitev:    $V_t:V_k=1:3$
6. Stožec ima polmer $r_0=8\mathrm{cm}$ in višino $v_0=15\mathrm{cm}$. Izračunaj polmer krogle, ki jo včrtamo v ta stožec. Rezultat naj bo točen.
   Rešitev:    $r=\frac{24}{5}\mathrm{cm}$
7. Pravilni šestkotnik s stranico $a$ zavrtimo okoli osi, ki je simetrala stranice tega šestkotnika. Izračunaj prostornino in površino dobljene vrtenine.
   Rešitev:    $V=\frac{7\pi \sqrt{3}}{12}{a}^3,P=\frac{7\pi }{2}{a}^2$
8. Dana sta vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(x,-1,0)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(4,3,5)$. Določi realni parameter $x$ tako, da bosta vektorja oklepala kot ${60}^{\circ }$.
   Rešitev:    $x=7$      (Opozorilo: $x=-\frac{1}{7}$ ni rešitev, ker je ustrezni kot top.)
9. Vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ oklepata kot ${45}^{\circ }$ in imata dolžini: $|\stackrel{\rightharpoonup }{a}|=6\sqrt{2}$, $|\stackrel{\rightharpoonup }{b}|=4$.
   

   (a)   Izračunaj dolžino vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{b}$.

   (b)   Izračunaj kot med vektorjem $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ in vektorjem $\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{b}$. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.

   Rešitev:    (a)  $|\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{b}|=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$;     (b)  $\phi \doteq {14}^{\circ }{2}^{\prime }$
10. Rombu s ploščino $S$ je včrtan krog s ploščino $Q$. Pokaži, da za kot med stranicama romba velja:  $\sin \alpha =\frac{4Q}{\pi S}$.
    
11. Trapez $ABCD$ s stranicami $a=6\mathrm{cm},b=3\mathrm{cm},c=2\mathrm{cm},d=4\mathrm{cm}$ zavrtimo za ${360}^{\circ }$ okoli stranice $a$. Izračunaj površino in prostornino nastalega telesa. Rezultata zaokoži na štiri mesta.
    Rešitev:    $P\doteq 96,11{\mathrm{cm}}^2,V\doteq 80,99{\mathrm{cm}}^3$
12. Tričetrt kroga s polmerom $3\mathrm{cm}$ zvijemo v plašč stožca. Kolikšen je kot ob vrhu osnega preseka nastalega stožca? Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\phi \doteq {97}^{\circ }{11}^{\prime }$
13. Točke $A,B$ in $C$ razdelijo krožnico z radijem $r=6\mathrm{cm}$ na tri loke v razmerju $1:3:2$. Izračunaj stranice trikotnika $\mathrm{△}ABC$ in njegove notranje kote.
    Rešitev:    $\alpha ={90}^{\circ },\beta ={60}^{\circ },\gamma ={30}^{\circ },$ $a=12\mathrm{cm},b=6\sqrt{3}\mathrm{cm},c=6\mathrm{cm}$

 Domov