Geometrija  –  osnovna raven

1. Izračunaj, koliko diagonal imajo naslednji konveksni večkotniki:$$
   

   (a)   petkotnik,

   (b)   devetkotnik,

   (c)   sedemnajstkotnik.

   Rešitev:    (a)  5 diagonal,     (b)  27 diagonal,     (c)  119 diagonal
2. Izračunaj notranje kote $\alpha ,\beta$ in $\gamma$ v trikotniku $\mathrm{△}ABC$, če poznaš zunanja kota $\alpha {}^{\prime }={143}^{\circ }{40}^{\prime },{\beta }^{\prime }=43,{75}^{\circ }$. Rezultate zapiši v stopinjah in minutah
   Rešitev:    $\alpha ={36}^{\circ }{20}^{\prime },\beta ={136}^{\circ }{15}^{\prime },\gamma =7^{\circ }{25}^{\prime }$
3. Izračunaj, koliko meri notranji in koliko zunanji kot v pravilnem 48-kotniku. Rezultata zapiši v stopinjah in minutah. Izračunaj tudi, koliko diagonal ima ta lik.
   Rešitev:    $\alpha ={172}^{\circ }{30}^{\prime },\alpha {}^{\prime }=7^{\circ }{30}^{\prime },D=1080$
4. Romba $ABCD$ in $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ sta si podobna. Obseg prvega meri $o=280\mathrm{cm}$, diagonali drugega pa merita $e^{\prime }=16\mathrm{cm}$ in $f^{\prime }=12\mathrm{cm}$. Izračunaj, koliko merita diagonali prvega romba.
   Rešitev:    $e=112\mathrm{cm},f=84\mathrm{cm}$
5. Obseg pravokotnika meri $o=46\mathrm{cm}$, diagonala pa meri $d=17\mathrm{cm}$. Koliko merita stranici tega pravokotnika?
   Rešitev:    Merita 15 cm in 8 cm.
6. Točka $A$ je $9\mathrm{cm}$ oddaljena od premice $p$ in $10\mathrm{cm}$ od točke $B\in p$. Če $A$ prezrcalimo čez točko $B$, dobimo točko $A^{\prime }$; če $A$ pravokotno projiciramo na $p$, pa dobimo točko $A^{″}$. Izračunaj razdaljo med točkama $A^{\prime }$ in $A^{″}$. Rezultat zaokroži na štiri mesta.
   Rešitev:    $|A^{\prime }{A}^{″}|\doteq 12,53\mathrm{cm}$
7. Izračunaj, koliko meri polmer krožnice včrtane rombu z diagonalama $e=15\mathrm{cm}$ in $f=12\mathrm{cm}$. Rezultat zaokroži na štiri mesta.
   Rešitev:    Stranica: $a\doteq 9,605\mathrm{cm}$, polmer: $r\doteq 4,685\mathrm{cm}$
8. Na štiri mesta natančno izračunaj obseg trikotnika s podatki:  $\alpha ={50}^{\circ },\beta ={65}^{\circ },c=15\mathrm{cm}$.
   Rešitev:    Obseg: $o\doteq 42,68\mathrm{cm}$     (Opomba: to je enakokraki trikotnik: $\gamma =\beta$, torej $b=c$.)
9. Izračunaj višino trapeza s podatki:  $a=72\mathrm{cm},b=65\mathrm{cm},c=40\mathrm{cm},d=65\mathrm{cm}$.
   Rešitev:    $v=63\mathrm{cm}$     (Opomba: to je enakokraki trapez: $b=d$.)
10. Pravilni devetkotnik je včrtan v krog s polmerom $12\mathrm{cm}$. Diagonale tega devetkotnika niso vse enako dolge  —  izračunaj dolžino diagonale $d$, ki ni niti najdaljša niti najkrajša.
    Rešitev:    $d\doteq 20,78\mathrm{cm}$
11. Trikotnik ima stranice:  $a=78\mathrm{cm},b=75\mathrm{cm},c=51\mathrm{cm}$. Drugi trikotnik je temu podoben, njegov obseg pa meri $136\mathrm{cm}$. Izračunaj ploščino drugega trikotnika.
    Rešitev:    Stranice: $a^{\prime }=52\mathrm{cm},b^{\prime }=50\mathrm{cm},c^{\prime }=34\mathrm{cm}$; ploščina: $S^{\prime }=816{\mathrm{cm}}^2$
12. Izračunaj ploščino trikotnika $\mathrm{△}ABC$ s podatki $a=8\mathrm{cm},c=10\mathrm{cm},t_c=9\mathrm{cm}$. Rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    $S\doteq 39,80{\mathrm{cm}}^2$
13. Krožni izsek ima ploščino $S=175\pi {\mathrm{cm}}^2$ in središčni kot $\alpha ={70}^{\circ }$. Izračunaj dolžino loka, ki omejuje ta krožni izsek.
    Rešitev:    Polmer: $r=30\mathrm{cm}$, lok: $\ell =\frac{35}{3}\pi \mathrm{cm}\doteq 36,65\mathrm{cm}$
14. Krožnici s polmerom $17\mathrm{cm}$ včrtamo pravilen sedemkotnik, temu sedemkotniku pa včrtamo novo krožnico. Izračunaj ploščino krožnega kolobarja, ki ga omejujeta obe krožnici. Rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    $S\doteq 170,9{\mathrm{cm}}^2$
15. Krog povečamo s središčnim raztegom tako, da se polmer zveča za 30%. Za koliko odstotkov se pri tem poveča obseg in za koliko odstotkov ploščina kroga?
    Rešitev:    $o^{\prime }=1,30o$, torej se obseg poveča za 30%;  $S^{\prime }=1,69S$, torej se ploščina poveča za 69%.
16. Pravilna pokončna štiristrana piramida ima osnovni rob $a=20\mathrm{cm}$ in stranski rob $s=26\mathrm{cm}$. Izračunaj, koliko litrov meri prostornina te piramide. Rezultat zaokroži na dve decimalki.
    Rešitev:    $V\doteq 2,91\ell$
17. Izračunaj prostornino in površino pokončne pravilne tristrane piramide z osnovnim robom $a=18\sqrt{3}\mathrm{cm}$ in višino $v=12\mathrm{cm}$. Oba rezultata naj bosta točna.
    Rešitev:    $V=972\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^3,P=648\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2$
18. Pravilna štiristrana enakoroba piramida ima površino $100{\mathrm{cm}}^2$. Izračunaj prostornino te piramide, rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    $a\doteq 6,050\mathrm{cm},V\doteq 52,20{\mathrm{cm}}^3$
19. Pravilna pokončna petstrana piramida ima osnovni rob $a=7\mathrm{cm}$ in stranski rob $s=10\mathrm{cm}$. Izračunaj kot med osnovno in stransko ploskvijo te piramide. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\phi \doteq {59}^{\circ }{3}^{\prime }$
20. Izračunaj kot med telesno diagonalo in osnovno ploskvijo kocke. Rezultat zapiši v stopinjah, minutah in sekundah.
    Rešitev:    $\phi \doteq {35}^{\circ }{15}^{\prime }{52}^{″}$
21. Krožni izsek s polmerom $16\mathrm{cm}$ in središčnim kotom ${135}^{\circ }$ zvijemo v plašč stožca in nato dodamo še primerno osnovno ploskev. Izračunaj površino tako dobljenega stožca. Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    $r=6\mathrm{cm},P=132\pi {\mathrm{cm}}^2$
22. V enakostraničnem trikotniku $\mathrm{△}ABC$ označi vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{x}=\stackrel{\rightharpoonup }{CA}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{y}=\stackrel{\rightharpoonup }{CB}$. Točka $T$ je razpolovišče stranice $AB$, točka $U$ pa je razpolovišče stranice $BC$. Izrazi z $\stackrel{\rightharpoonup }{x}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{y}$ naslednje vektorje:
    

    (a)   $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$

    (b)   $\stackrel{\rightharpoonup }{CT}$

    (c)   $\stackrel{\rightharpoonup }{AU}$

    (d)   $\stackrel{\rightharpoonup }{TU}$

    Rešitev:    (a)  $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=-\stackrel{\rightharpoonup }{x}+\stackrel{\rightharpoonup }{y}$,     (b)  $\stackrel{\rightharpoonup }{CT}=\frac{1}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{x}+\frac{1}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{y}$,     (c)  $\stackrel{\rightharpoonup }{AU}=-\stackrel{\rightharpoonup }{x}+\frac{1}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{y}$,     (d)  $\stackrel{\rightharpoonup }{TU}=-\frac{1}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{x}$
23. V pravokotniku $ABCD$ deli točka $U$ stranico $AB$ v razmerju $|AU|:|AB|=2:5$. Izrazi vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{y}=\stackrel{\rightharpoonup }{CU}$ kot linearno kombinacijo vektorjev $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=\stackrel{\rightharpoonup }{AD}$.
    Rešitev:    $\stackrel{\rightharpoonup }{y}=-\frac{3}{5}\stackrel{\rightharpoonup }{a}-\stackrel{\rightharpoonup }{b}$
24. Podane so točke $A(0,0),B(36,25)$ in $C(31,32)$, ki skupaj s točko $D$ tvorijo paralelogram $ABCD$.
    

    (a)   Izračunaj koordinati točke $D$.

    (b)   Računsko preveri, če je ta paralelogram pravokotnik..

    Rešitev:    (a)  $D(-5,7)$,     (b)  ni pravokotnik
25. Točke $A(3,2),B(14,8)$ in $C(9,10)$ so tri od štirih oglišč paralelograma $ABCD$. Izračunaj (v stopinjah, minutah in sekundah) ostri kot med diagonalama tega paralelograma.
    Rešitev:    $\phi ={39}^{\circ }{5}^{\prime }{38}^{″}$
26. Dani so vektorji $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=8\stackrel{\rightharpoonup }{i}+\stackrel{\rightharpoonup }{j},\stackrel{\rightharpoonup }{b}=-4\stackrel{\rightharpoonup }{i}+3\stackrel{\rightharpoonup }{j}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=6\stackrel{\rightharpoonup }{i}+6\stackrel{\rightharpoonup }{j}$.
    

    (a)   Izrazi vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$ v obliki $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=x\stackrel{\rightharpoonup }{a}+y\stackrel{\rightharpoonup }{b}(x,y\in \mathbb{R})$.

    (b)   Izračunaj kot med vektorjema $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$.

    Rešitev:    (a)  $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=\frac{3}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\frac{3}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{b}$,     (b)  $\phi \doteq {98}^{\circ }{8}^{\prime }$
27. Podane so točke $A(3,2),B(15,7)$ in $C(7,5)$. Izračunaj vse kote v trikotniku $\mathrm{△}ABC$. Zapiši jih v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\alpha ={14}^{\circ }{15}^{\prime },\beta =8^{\circ }{35}^{\prime },\gamma ={157}^{\circ }{10}^{\prime }$
28. Dolžina vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ meri 5, dolžina vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ pa meri 8 enot. Vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ oklepata kot ${120}^{\circ }$. Izračunaj dolžino vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=\stackrel{\rightharpoonup }{a}-2\stackrel{\rightharpoonup }{b}$.
    Rešitev:    Njegova dolžina meri 19 enot.
29. Izrazi vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{u}=(5,-7,5)$ kot linearno kombinacijo vektorjev $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(1,0,2),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(2,1,0)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(0,3,-1)$, če se da.
    Rešitev:    $\stackrel{\rightharpoonup }{u}=\stackrel{\rightharpoonup }{a}+2\stackrel{\rightharpoonup }{b}-3\stackrel{\rightharpoonup }{c}$
30. Določi število $p>0$ tako, da bo dolžina vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{x}=(-3,3p,p)$ enaka 13.
    Rešitev:    $p=4$
31. Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(-2,2,-1)$ oklepa kot $\phi$ z vektorjem $\stackrel{\rightharpoonup }{i}$, kot $\vartheta$ z vektorjem $\stackrel{\rightharpoonup }{j}$ in kot $\psi$ z vektorjem $\stackrel{\rightharpoonup }{k}$. Izračunaj vse tri kote in jih zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\phi \doteq {131}^{\circ }{49}^{\prime },\vartheta \doteq {48}^{\circ }{11}^{\prime },\psi \doteq {109}^{\circ }{28}^{\prime }$

 Domov