Geometrija  –  osnovna raven

1. Izračunaj, koliko diagonal imajo naslednji konveksni večkotniki:\(\newcommand{\vekt}[1]{{\stackrel{\rightharpoonup}{{#1}}}}\)
   

   (a)   petkotnik,

   (b)   devetkotnik,

   (c)   sedemnajstkotnik.

   Rešitev:    (a)  5 diagonal,     (b)  27 diagonal,     (c)  119 diagonal
2. Izračunaj notranje kote \(\alpha,~ \beta\) in \(\gamma\) v trikotniku \(\triangle ABC\), če poznaš zunanja kota \(\alpha\,'=143^\circ40',~ \beta'=43,\!75^\circ\). Rezultate zapiši v stopinjah in minutah
   Rešitev:    \(\alpha=36^\circ20',~ \beta=136^\circ15',~ \gamma=7^\circ25'\)
3. Izračunaj, koliko meri notranji in koliko zunanji kot v pravilnem 48-kotniku. Rezultata zapiši v stopinjah in minutah. Izračunaj tudi, koliko diagonal ima ta lik.
   Rešitev:    \(\alpha=172^\circ30',~ \alpha\,'=7^\circ30',~ D=1080\)
4. Romba \(ABCD\) in \(A'B'C'D'\) sta si podobna. Obseg prvega meri \(o=280~\mathrm{cm}\), diagonali drugega pa merita \(e'=16~\mathrm{cm}\) in \(f'=12~\mathrm{cm}\). Izračunaj, koliko merita diagonali prvega romba.
   Rešitev:    \(e=112~\mathrm{cm},~ f=84~\mathrm{cm}\)
5. Obseg pravokotnika meri \(o=46~\mathrm{cm}\), diagonala pa meri \(d=17~\mathrm{cm}\). Koliko merita stranici tega pravokotnika?
   Rešitev:    Merita 15 cm in 8 cm.
6. Točka \(A\) je \(9~\mathrm{cm}\) oddaljena od premice \(p\) in \(10~\mathrm{cm}\) od točke \(B\in p\). Če \(A\) prezrcalimo čez točko \(B\), dobimo točko \(A'\); če \(A\) pravokotno projiciramo na \(p\), pa dobimo točko \(A''\). Izračunaj razdaljo med točkama \(A'\) in \(A''\). Rezultat zaokroži na štiri mesta.
   Rešitev:    \(|A'A''|\doteq12,\!53~\mathrm{cm}\)
7. Izračunaj, koliko meri polmer krožnice včrtane rombu z diagonalama \(e=15~\mathrm{cm}\) in \(f=12~\mathrm{cm}\). Rezultat zaokroži na štiri mesta.
   Rešitev:    Stranica: \(a\doteq9,\!605~\mathrm{cm}\), polmer: \(r\doteq4,\!685~\mathrm{cm}\)
8. Na štiri mesta natančno izračunaj obseg trikotnika s podatki:  \(\alpha=50^\circ,~ \beta=65^\circ,~c=15~\mathrm{cm}\).
   Rešitev:    Obseg: \(o\doteq42,\!68~\mathrm{cm}\)     (Opomba: to je enakokraki trikotnik: \(\gamma=\beta\), torej \(b=c\).)
9. Izračunaj višino trapeza s podatki:  \(a=72~\mathrm{cm},~ b=65~\mathrm{cm},~ c=40~\mathrm{cm},~ d=65~\mathrm{cm}\).
   Rešitev:    \(v=63~\mathrm{cm}\)     (Opomba: to je enakokraki trapez: \(b=d\).)
10. Pravilni devetkotnik je včrtan v krog s polmerom \(12~\mathrm{cm}\). Diagonale tega devetkotnika niso vse enako dolge  —  izračunaj dolžino diagonale \(d\), ki ni niti najdaljša niti najkrajša.
    Rešitev:    \(d\doteq20,\!78~\mathrm{cm}\)
11. Trikotnik ima stranice:  \(a=78~\mathrm{cm},~ b=75~\mathrm{cm},~ c=51~\mathrm{cm}\). Drugi trikotnik je temu podoben, njegov obseg pa meri \(136~\mathrm{cm}\). Izračunaj ploščino drugega trikotnika.
    Rešitev:    Stranice: \(a'=52~\mathrm{cm},~ b'=50~\mathrm{cm},~ c'=34~\mathrm{cm}\); ploščina: \(S'=816~\mathrm{cm}^2\)
12. Izračunaj ploščino trikotnika \(\triangle ABC\) s podatki \(a=8~\mathrm{cm},~ c=10~\mathrm{cm},~ t_c=9~\mathrm{cm}\). Rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(S\doteq39,\!80~\mathrm{cm}^2\)
13. Krožni izsek ima ploščino \(S=175\pi~\mathrm{cm}^2\) in središčni kot \(\alpha=70^\circ\). Izračunaj dolžino loka, ki omejuje ta krožni izsek.
    Rešitev:    Polmer: \(r=30~\mathrm{cm}\), lok: \(\ell=\frac{35}{3}\pi~\mathrm{cm}\doteq36,\!65~\mathrm{cm}\)
14. Krožnici s polmerom \(17~\mathrm{cm}\) včrtamo pravilen sedemkotnik, temu sedemkotniku pa včrtamo novo krožnico. Izračunaj ploščino krožnega kolobarja, ki ga omejujeta obe krožnici. Rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(S\doteq170,\!9~\mathrm{cm}^2\)
15. Krog povečamo s središčnim raztegom tako, da se polmer zveča za 30%. Za koliko odstotkov se pri tem poveča obseg in za koliko odstotkov ploščina kroga?
    Rešitev:    \(o'=1,\!30o\), torej se obseg poveča za 30%;  \(S'=1,\!69S\), torej se ploščina poveča za 69%.
16. Pravilna pokončna štiristrana piramida ima osnovni rob \(a=20~\mathrm{cm}\) in stranski rob \(s=26~\mathrm{cm}\). Izračunaj, koliko litrov meri prostornina te piramide. Rezultat zaokroži na dve decimalki.
    Rešitev:    \(V\doteq2,\!91\,\ell\)
17. Izračunaj prostornino in površino pokončne pravilne tristrane piramide z osnovnim robom \(a=18\sqrt{3}~\mathrm{cm}\) in višino \(v=12~\mathrm{cm}\). Oba rezultata naj bosta točna.
    Rešitev:    \(V=972\sqrt{3}~\mathrm{cm}^3,~ P=648\sqrt{3}~\mathrm{cm}^2\)
18. Pravilna štiristrana enakoroba piramida ima površino \(100~\mathrm{cm}^2\). Izračunaj prostornino te piramide, rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(a\doteq6,\!050~\mathrm{cm},~ V\doteq52,\!20~\mathrm{cm}^3\)
19. Pravilna pokončna petstrana piramida ima osnovni rob \(a=7~\mathrm{cm}\) in stranski rob \(s=10~\mathrm{cm}\). Izračunaj kot med osnovno in stransko ploskvijo te piramide. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\varphi\doteq59^\circ3'\)
20. Izračunaj kot med telesno diagonalo in osnovno ploskvijo kocke. Rezultat zapiši v stopinjah, minutah in sekundah.
    Rešitev:    \(\varphi\doteq35^\circ15'52''\)
21. Krožni izsek s polmerom \(16~\mathrm{cm}\) in središčnim kotom \(135^\circ\) zvijemo v plašč stožca in nato dodamo še primerno osnovno ploskev. Izračunaj površino tako dobljenega stožca. Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    \(r=6~\mathrm{cm},~ P=132\pi~\mathrm{cm}^2\)
22. V enakostraničnem trikotniku \(\triangle ABC\) označi vektorja \(\vekt{x}=\vekt{CA}\) in \(\vekt{y}=\vekt{CB}\). Točka \(T\) je razpolovišče stranice \(AB\), točka \(U\) pa je razpolovišče stranice \(BC\). Izrazi z \(\vekt{x}\) in \(\vekt{y}\) naslednje vektorje:
    

    (a)   \(\vekt{AB}\)

    (b)   \(\vekt{CT}\)

    (c)   \(\vekt{AU}\)

    (d)   \(\vekt{TU}\)

    Rešitev:    (a)  \(\vekt{AB}=-\vekt{x}+\vekt{y}\),     (b)  \(\vekt{CT}=\frac{1}{2}\vekt{x}+\frac{1}{2}\vekt{y}\),     (c)  \(\vekt{AU}=-\vekt{x}+\frac{1}{2}\vekt{y}\),     (d)  \(\vekt{TU}=-\frac{1}{2}\vekt{x}\)
23. V pravokotniku \(ABCD\) deli točka \(U\) stranico \(AB\) v razmerju \(|AU|:|AB|=2:5\). Izrazi vektor \(\vekt{y}=\vekt{CU}\) kot linearno kombinacijo vektorjev \(\vekt{a}=\vekt{AB}\) in \(\vekt{b}=\vekt{AD}\).
    Rešitev:    \(\vekt{y}=-\frac{3}{5}\vekt{a}-\vekt{b}\)
24. Podane so točke \(A(0,0),~ B(36,25)\) in \(C(31,32)\), ki skupaj s točko \(D\) tvorijo paralelogram \(ABCD\).
    

    (a)   Izračunaj koordinati točke \(D\).

    (b)   Računsko preveri, če je ta paralelogram pravokotnik..

    Rešitev:    (a)  \(D(-5,7)\),     (b)  ni pravokotnik
25. Točke \(A(3,2),~ B(14,8)\) in \(C(9,10)\) so tri od štirih oglišč paralelograma \(ABCD\). Izračunaj (v stopinjah, minutah in sekundah) ostri kot med diagonalama tega paralelograma.
    Rešitev:    \(\varphi=39^\circ5'38''\)
26. Dani so vektorji \(\vekt{a}=8\vekt{i}+\vekt{j},~ \vekt{b}=-4\vekt{i}+3\vekt{j}\) in \(\vekt{c}=6\vekt{i}+6\vekt{j}\).
    

    (a)   Izrazi vektor \(\vekt{c}\) v obliki \(\vekt{c}=x\vekt{a}+y\vekt{b}~~ (x,y\in\mathbb{R})\).

    (b)   Izračunaj kot med vektorjema \(\vekt{b}\) in \(\vekt{c}\).

    Rešitev:    (a)  \(\vekt{c}=\frac{3}{2}\vekt{a}+\frac{3}{2}\vekt{b}\),     (b)  \(\varphi\doteq98^\circ8'\)
27. Podane so točke \(A(3,2),~ B(15,7)\) in \(C(7,5)\). Izračunaj vse kote v trikotniku \(\triangle ABC\). Zapiši jih v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\alpha=14^\circ15',~ \beta=8^\circ35',~ \gamma=157^\circ10'\)
28. Dolžina vektorja \(\vekt{a}\) meri 5, dolžina vektorja \(\vekt{b}\) pa meri 8 enot. Vektorja \(\vekt{a}\) in \(\vekt{b}\) oklepata kot \(120^\circ\). Izračunaj dolžino vektorja \(\vekt{c}=\vekt{a}-2\vekt{b}\).
    Rešitev:    Njegova dolžina meri 19 enot.
29. Izrazi vektor \(\vekt{u}=(5,-7,5)\) kot linearno kombinacijo vektorjev \(\vekt{a}=(1,0,2),~ \vekt{b}=(2,1,0)\) in \(\vekt{c}=(0,3,-1)\), če se da.
    Rešitev:    \(\vekt{u}=\vekt{a}+2\vekt{b}-3\vekt{c}\)
30. Določi število \(p\gt0\) tako, da bo dolžina vektorja \(\vekt{x}=(-3,3p,p)\) enaka 13.
    Rešitev:    \(p=4\)
31. Vektor \(\vekt{b}=(-2,2,-1)\) oklepa kot \(\varphi\) z vektorjem \(\vekt{i}\), kot \(\vartheta\) z vektorjem \(\vekt{j}\) in kot \(\psi\) z vektorjem \(\vekt{k}\). Izračunaj vse tri kote in jih zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\varphi\doteq131^\circ49',~ \vartheta\doteq48^\circ11',~ \psi\doteq109^\circ28'\)

 Domov