Funkcije  –  višja raven

1. Dani sta funkciji $f(x)=\frac{x}{x+2}$ in $g(x)=2x+1$. Zapiši enačbe funkcij:
   

   (a)   $f\cdot g$

   (b)   $\frac{f}{g}$

   (c)   $f\circ g$

   (d)   $g\circ f$

   Rešitev:    (a)  $(f\cdot g)(x)=\frac{2x^2+x}{x+2}$;     (b)  $(\frac{f}{g})(x)=\frac{x}{2x^2+5x+2}$;     (c)  $(f\circ g)(x)=\frac{2x+1}{2x+3}$;     (d)  $(g\circ f)(x)=\frac{3x+2}{x+2}$
2. Dani sta funkciji $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$ in $g(x)=\frac{x+4}{x-5}$. Zapiši enačbe funkcij:
   

   (a)   $f\circ g$

   (b)   $g\circ f$

   (c)   $f^{-1}$

   (d)   $g^{-1}$

   Rešitev:    (a)  $(f\circ g)(x)=\frac{5x-7}{9}$;     (b)  $(g\circ f)(x)=\frac{6x-1}{-3x+8}$;     (c)  $f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}$;     (d)  $g^{-1}(x)=\frac{5x+4}{x-1}$
3. Dani sta funkciji $f(x)=\frac{x+1}{5}$ in $g(x)=2x^3$. Zapiši enačbe funkcij:
   

   (a)   $f^{-1}$

   (b)   $g^{-1}$

   (c)   $f\circ g$

   (d)   $(f\circ g{)}^{-1}$

   (e)   $g^{-1}\circ f^{-1}$

   Rešitev:    (a)  $f^{-1}(x)=5x-1$;     (b)  $g^{-1}(x)=\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$;     (c)  $(f\circ g)(x)=\frac{2x^3+1}{5}$;     (d,e)  $(f\circ g{)}^{-1}(x)=(g^{-1}\circ f^{-1})(x)=\sqrt[3]{\frac{5x-1}{2}}$
4. Dana je kvadratna funkcija $f(x)=2x^2-28x+m-2$. Določi realno število $m$ tako, da bo teme funkcije ležalo na abscisni osi.
   Rešitev:    $m=100$
5. Dana je parabola $y=x^2+(2m-3)x+m^2$. Določi realni parameter $m$ tako,
   

   (a)   da bo ležala cela parabola nad premico $y=-x$,

   (b)   da bo ležalo teme parabole nad premico $y=-x$.

   Rešitev:    (a)  $m>\frac{1}{2}$;     (b)  $m>\frac{3}{8}$
6. Dana je družina kvadratnih funkcij $f(x)=\frac{x^2}{m}-2x$.
   

   (a)   Zapiši ničli in teme funkcije $f$ iz te družine.

   (b)   Izračunaj ploščino trikotnika $\mathrm{△}ABC$, ki ima dve oglišči v ničlah, tretje pa v temenu te funkcije.

   (c)   Katero množico točk sestavljajo temena vseh funkcij iz dane družine?

   Rešitev:    (a)  Ničli: $x_1=0,x_2=2m$,  teme: $T(m,-m)$;     (b)  $S=m^2$;     (c)  Sestavljajo simetralo lihih kvadrantov
7. Dana je družina parabol $y=x^2+mx+m+3$.
   

   (a)   Zapiši enačbo krivulje, ki jo sestavljajo temena parabol iz te družine.

   (b)   Katera parabola iz te družine ima teme najvišje?

   Rešitev:    (a)  Krivulja: $y=-x^2-2x+3$ (namig: iz $x_T=-\frac{m}{2}$ izrazi $m=-2x_T$, vstavi v $y_T$ in dobiš enačbo krivulje) ;     (b)  parabola z $m=2$, to je: $y=x^2+2x+5$
8. Dani sta množici $A=\{x\in \mathbb{R};x^2⩾2x\}$ in $B=\{x\in \mathbb{R};x^2+x<2\}$. Zapiši kot interval množico $M=A\cap B$.
   Rešitev:    $M=(-2,0]$
9. Dana je funkcija $f(x)=x^3-6x^2+8x+3$. Dokaži, da je graf te funkcije simetričen glede na točko $T(2,3)$.
   Rešitev:    Dokaži, da je premaknjena funkcija $g(x)=f(x+2)-3$ liha.
10. Določi realna parametra $a$ in $b$ tako, da bo imel polinom $p(x)=2x^3-x^2+ax+b$ ničlo $x_1=1+\sqrt{3}i$. Ali ima polinom $p$ tudi kakšno realno ničlo?
    Rešitev:    $a=2,b=12,x_3=-\frac{3}{2}$
11. Izračunaj vse ničle polinoma $p(x)=x^4-4x^3+7x^2-8x+10$. (Namig: ena od ničel je $\sqrt{2}i$.)
    Rešitev:    $x_1=\sqrt{2}i,x_2=-\sqrt{2}i,x_3=2+i,x_4=2-i$
12. Polinom $p(x)=x^4-2x^3+a{x}^2+bx+c$ ima ničlo pri $x=1$ in ekstrem v točki $T_1(2,-2)$. Izračunaj realne parametre $a,b$ in $c$ ter nariši graf polinoma $p$.
    Rešitev:    $a=-5,b=12,c=-6$;  polinom: $p(x)=x^4-2x^3-5x^2+12x-6$
13. Dana je funkcija $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$. Določi realne parametre $a,b$ in $c$ tako, da bo imela funkcija ničlo pri $x=4$, ekstrem pri $x=1$ in prevoj pri $x=2$. Potem izračunaj vse ničle, ekstreme in prevoje ter nariši graf funkcije in izračunaj ploščino lika, ki ga graf oklepa z abscisno osjo.
    Rešitev:    $a=-6,b=9,c=-4$;  ničli: $x_1=1(\mathrm{II}.),x_2=4$;  stacionarni točki: $T_1(1,0)$, $T_2(3,-4)$;  prevoj: $P(2,-2)$;  ploščina: $S=6\frac{3}{4}$
14. Dan je polinom $f(x)=x^3-3x-4$. Izračunaj stacionarne točke in nariši graf tega polinoma. Po Newtonovi tangentni metodi izračunaj edino realno ničlo tega polinoma na pet mest natančno.
    Rešitev:    Max.: $(-1,-2)$, min.: $(1,-6)$, ničla: $x\doteq 2.1958$
15. Dana je krivulja $y=\frac{x^2}{x-2}$.
    

    (a)   Čim natančneje nariši graf funkcije (ničle, poli, asimptote, stacionarne točke).

    (b)   Dokaži, da ta krivulja nima tangente vzporedne simetrali lihih kvadrantov.

    (c)   Zapiši enačbo normale na to krivuljo v točki $T_0(3,y_0)$.

    Rešitev:    (a,b)  Odvod: $y^{\prime }=\frac{x^2-4x}{(x-2{)}^2}$;     (c)  normala: $y=\frac{1}{3}x+8$
16. Podana je krožnica $\mathcal{K}:x^2+y^2-4x-10y=20$ in premici $p_1:y=\frac{1}{2}x+4$ in $p_2:y=2x+1$.
    

    (a)   Izračunaj središče in polmer krožnice.

    (b)   Dokaži, da se premici sekata v središču krožnice.

    (c)   Premici $p_1$ in $p_2$ delita krog, ki ga omejuje $\mathcal{K}$, na štiri izseke. Izračunaj ploščine teh izsekov na dve decimalki natančno.

    Rešitev:    (a)  $S(2,5),r=7$;     (c)  $S_1=S_3\doteq 15,77;S_2=S_4\doteq 61,20$
17. Premica $p$ poteka skozi točki $A(\frac{4}{5},0)$ in $B(0,\frac{3}{5})$.
    

    (a)   Zapiši enačbo premice $p$ v eksplicitni obliki.

    (b)   Zapiši enačbo krožnice $\mathcal{K}$, ki je očrtana trikotniku $\mathrm{△}OAB$.

    (c)   Zapiši enačbo tangente na $\mathcal{K}$ v točki $A$.

    Rešitev:    (a)  $y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{5}$;     (b)  ${(x-\frac{2}{5})}^2+{(y-\frac{3}{10})}^2=\frac{1}{4}$;     (c)  $y=\frac{4}{3}x-\frac{15}{16}$
18. Dana je krožnica $(x+8{)}^2+(y-15{)}^2=100$. Ugotovi, katera točka te krožnice je najbližja koordinatnemu izhodišču.
    Namig:    Ta točka leži na premici, ki poteka skozi središče krožnice in skozi izhodišče koordinatnega sistema.
    Rešitev:    $T(-\frac{56}{17},\frac{105}{17})$
19. Nariši krivuljo podano z enačbo:  $-4x^2+9y^2+29=2(27y-8x)$
    Rešitev:    Hiperbola $\frac{(x-2{)}^2}{9}-\frac{(y-3{)}^2}{4}=-1$
20. Dani sta krivulji $9x^2-y^2-18x+2y+3=0$ in $y^2-4x-2y+5=0$.
    

    (a)   Izračunaj vsa presečišča teh dveh krivulj.

    (b)   Nariši obe krivulji.

    (c)   Izračunaj kot med krivuljama (v stopinjah in minutah).

    Rešitev:    (a)  $P_1(2,3),P_2(2,-1)$;     (c)  $\phi \doteq {32}^{\circ }{28}^{\prime }$
21. Dana je krožnica ${\mathcal{K}}_1:x^2+y^2+4x-6y+4=0$.
    

    (a)   Poišči središče in polmer te krožnice.

    (b)   Izračunaj oddaljenost središča krožnice od premice $p:x-y+5=0$.

    (c)   Zapiši enačbo krožnice ${\mathcal{K}}_2$, ki poteka skozi točki $A(3,3)$ in $B(-2,-2)$, če veš, da njeno središče leži na premici $p$.

    (d)   Dokaži, da je krožnica ${\mathcal{K}}_2$ koncentrična z dano krožnico ${\mathcal{K}}_1$.

    Rešitev:    (a)  $S_1(-2,3),r=3$;     (b)  $d=0$;     (c)  $(x+2{)}^2+(y-3{)}^2=25$;     (d)  $S_1=S_2$
22. Dokaži, da števila $\sin x,\sin 2x,\sin 3x$ ne morejo biti prvi trije členi nekonstantnega geometrijskega zaporedja.
    Rešitev:    Pogoju za geometrijsko zaporedje ustreza samo konstantno zaporedje $\sin x=\sin 2x=\sin 3x=0$. (Uporabi zvezo: $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$)
23. V točki z absciso $a$ položimo tangento na graf funkcije $f(x)=\frac{1}{x}$. Dokaži, da je ploščina trikotnika, ki ga omejuje ta premica skupaj s koordinatnima osema, konstantna (neodvisna od $a$).
    Rešitev:    Tangenta: $\frac{x}{2a}+\frac{y}{2/a}=1$,   ploščina: $S_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}\cdot |2a|\cdot |\frac{2}{a}|=2$

 Domov