Funkcije  –  osnovna raven

1. Izračunaj razdaljo med točkama $A(\sqrt{2},-\sqrt{3})$ in $B(3,\sqrt{6})$. Rezultat naj bo točen in delno korenjen.
   Rešitev:    $|AB|=2\sqrt{5}$
2. Dani sta točki $A(2,2)$ in $B(14,y)$. Določi neznano koordinato $y$ tako, da bo dolžina daljice $AB$ merila točno 13 enot.
   Rešitev:    $y_1=-3,y_2=7$
3. Dane so točke: $A(3,1+\sqrt{3}),B(\sqrt{3}+2,1)$ in $C(1,-2)$. Izračunaj ploščino in orientacijo trikotnika $\mathrm{△}ABC$. Rezultat naj bo točen.
   Rešitev:    Negativna orientacija, $S=2\sqrt{3}$
4. Trikotnik $\mathrm{△}ABC$ ima oglišči $A(1,-2)$ in $B(-1,7)$, oglišče $C$ pa leži na simetrali lihih kvadrantov. Zapiši koordinati oglišča $C$, če veš, da je trikotnik $\mathrm{△}ABC$ negativno orientiran in ima ploščino enako 102.
   Rešitev:    $C(19,19)$
5. Dane so točke: $A(25,18),B(12,10),C(1,3)$ in $D(-15,-7)$. Računsko ugotovi, katere tri od teh točk so kolinearne.
   Rešitev:    Kolinearne so točke $A,C$ in $D$. Ležijo na premici $p:y=\frac{5}{8}x+\frac{19}{8}$
6. Premica $p$ poteka skozi točke $A(1,1),B(\lambda ,7),C(5,13)$ in $D(-1,\mu )$.
   

   (a)   Izračunaj vrednosti parametrov $\lambda$ in $\mu$.

   (b)   Zapiši enačbo premice $p$ in premico nariši.

   (c)   Izračunaj ploščino trikotnika, ki ga omejujejo os $x$, os $y$ in premica $p$.

   Rešitev:    (a)  $\lambda =3,\mu =-5$;     (b)  $p:y=3x-2$;     (c)  $S=\frac{2}{3}$
7. Na premici z enačbo $y=x+8$ leži točno ena točka, ki ima absciso in ordinato v razmerju $2:3$. Zapiši koordinati te točke.
   Rešitev:    $T(16,24)$
8. Dana je premica $p:mx-2y-1=0$. Določi parameter $m\in \mathbb{R}$ tako, da bo premica $p$ pravokotna na premico $q:y=\frac{8-2x}{4}$, in zapiši presečišče premic $p$ in $q$.
   Rešitev:    $m=4,P(1,\frac{3}{2})$
9. Dana je množica točk:   $M=\{(x,y);y⩾0,y⩽x,x+2y⩽6\}$
   

   (a)   Nariši to množico točk v koordinatnem sistemu.

   (b)   Izračunaj ploščino te množice.

   Rešitev:    (b)  $S=6$
10. Poenostavi naslednji izraz za $x>0,y>0$   (rezultat naj bo točen):    ${\displaystyle \sqrt{\frac{63x^4\cdot \sqrt[3]{y^{24}}}{(x{y}^2{)}^2}}-\frac{\sqrt{28x^2{y}^5}}{\sqrt{y}}}$
    Rešitev:    $\cdots =x{y}^2\sqrt{7}$
11. Dana je funkcija $f(x)=\frac{1}{2}(x-1)(x-3)$.
    

    (a)   Nariši graf funkcije $f$.

    (b)   Če graf funkcije $f$ prezrcališ čez koordinatno izhodišče, dobiš graf funkcije $g$. Zapiši enačbo funkcije $g$.

    Rešitev:    (b)  $g(x)=-\frac{1}{2}(x+1)(x+3)$   oziroma   $g(x)=-\frac{1}{2}{x}^2-2x-\frac{3}{2}$
12. Zapiši (v splošni obliki) enačbo kvadratne funkcije, ki ima najmanjšo vrednost $-8$ pri $x=3$, njen graf pa seka ordinatno os pri $10$.
    Rešitev:    $f(x)=2x^2-12x+10$
13. Izračunaj točno vrednost izraza  $x_1^{-1}+x_2^{-1}$,  če sta $x_1$ in $x_2$ rešitvi kvadratne enačbe $x^2-2x+6=0$.
    Rešitev:    $x_1^{-1}+x_2^{-1}=\frac{1}{3}$     (Priporočilo: Ne računaj rešitev enačbe, raje uporabi Viètovi formuli.)
14. Izračunaj, kje graf funkcije $f(x)=\sqrt{4x+5}$ seka simetralo lihih kvadrantov.
    Rešitev:    V točki $T(5,5)$.     ( Pri $x=-1$ ni presečišča.)
15. Izračunaj vse ničle polinoma:   $f(x)=4x^4+6x^3-2x^2-3x$
    Rešitev:    $x_1=0,x_2=-\frac{3}{2},x_{3,4}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
16. Izračunaj vse (tudi nerealne) ničle polinoma $p(x)=4x^5-7x^4+2x^3+49x^2+44x+8$, če veš, da je polinom $p$ deljiv s polinomom $q(x)=x^2-4x+8$.
    Rešitev:    $x_1=-1(\mathrm{II}.),x_2=-\frac{1}{4},x_3=2+2i,x_4=2-2i$
17. Dan je polinom $p(x)=3x^4+4x^3+1$. Izračunaj stacionarne točke in nariši graf tega polinoma.
    Rešitev:    Minimum (in dvojna ničla): $M(-1,0)$;    vodoravni prevoj: $P(0,1)$.
18. Določi realni števili $a$ in $b$ tako, da bo število 3 dvojna ničla polinoma:   $p(x)=2x^3-11x^2+ax+b$
    Rešitev:    $a=12,b=9$
19. Polinom tretje stopnje z realnimi koeficienti je deljiv s polinomom $(x-2)$ in tudi s polinomom $(x^2+2x+1)$; če ga delimo s polinomom $(x-1)$, pa dobimo ostanek $o(x)=8$. Zapiši ta polinom v splošni obliki.
    Rešitev:    $p(x)=-2x^3+6x+4$
20. Nariši graf funkcije ${\displaystyle f(x)=2+\frac{1}{x-1}}$ in zapiši enačbi obeh asimptot.
    Rešitev:    Asimptoti: $x=1$ in $y=2$
21. Nariši graf funkcije ${\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-4}}$ in zapiši ${\mathcal{D}}_f$ in ${\mathcal{Z}}_f$.
    Rešitev:    ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$,   ${\mathcal{Z}}_f=(-\mathrm{\infty },\frac{1}{4}]\cup (1,\mathrm{\infty })$
22. Izračunaj polmer in koordinati središča ter nariši krožnico, ki jo podaja enačba:   $9x^2+9y^2+18x=6y+8$
    Rešitev:    $S(-1,\frac{1}{3}),r=\sqrt{2}$
23. Zapiši enačbo krožnice, na kateri ležita diametralni točki $A(-12,10)$ in $B(18,-6)$.
    Rešitev:    $(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=289$
24. Krožnica poteka skozi točki $A(2,14)$ in $B(-4,12)$, središče krožnice pa leži na premici $p:y=3x-2$. Zapiši enačbo te krožnice.
    Rešitev:    $(x-2{)}^2+(y-4{)}^2=100$
25. Nariši elipso z enačbo:   $4x^2+y^2=36$
    Rešitev:    $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{36}=1;S(0,0),a=3,b=6$
26. Elipsa $E$ ima gorišči $G_1(0,12)$ in $G_2(0,-12)$. Razmerje med krajšo in daljšo osjo te elipse je enako $4:5$. Zapiši enačbo elipse $E$.
    Rešitev:    $E:\frac{x^2}{256}+\frac{y^2}{400}=1$
27. Nariši hiperbolo z enačbo:   $9x^2-y^2+36=0$
    Rešitev:    $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{36}=-1;S(0,0),a=2,b=6$
28. Hiperbola ima numerično ekscentričnost enako $\sqrt{5}$. Temeni te hiperbole ležita v točkah $T_1(0,2)$ in $T_2(0,-2)$. Nariši to hiperbolo in zapiši njeno enačbo.
    Rešitev:    $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=-1$
29. Krivulja ima enačbo $25x^2+9y^2-900=0$. Zapiši koordinate temen in gorišč te krivulje.
    Rešitev:    Temena: $T_1(6,0),T_2(0,10),T_3(-6,0),T_4(0,-10)$;   gorišči: $G_1(0,8),G_2(0,-8)$
30. Nariši parabolo z enačbo $y=-x^2+4x-5$. Zapiši tudi koordinati temena te krivulje.
    Rešitev:    Teme: $T(2,-1)$
31. Nariši grafa funkcij:
    

    (a)   $f(x)={\log }_3(x+2)-2$

    (b)   $f(x)={\log }_2(2x+4)$

32. Poenostavi izraz (za pozitiven $a$):   ${\displaystyle \frac{a^{2x+3}+a^{2x+2}+a^{2x+1}}{a^x+a^{x-1}+a^{x-2}}}$
    Rešitev:    $\cdots =a^{x+3}$
33. Graf eksponentne funkcije $f$ poteka skozi točko $T(-2,\frac{9}{4})$. Čim natančneje nariši graf te funkcije.
    Rešitev:    $f(x)=(\frac{2}{3}{)}^x$
34. Nariši grafa funkcij:
    

    (a)   $f(x)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x-2$

    (b)   $f(x)=5-2\cdot 2^x$

35. Zapiši kot logaritem enočlenika:   $\log (6x-6)-\log 2-(\log (x-1)-\log x)$
    Rešitev:    $\cdots =\log 3x$
36. Izračunaj $x$, če veš, da velja zveza:   $\log x=3+\log 8-\log 60+\log 45-\log 6$
    Rešitev:    $x=1000$
37. Izrazi $y$, če veš, da so $a,b,c\in {\mathbb{R}}^{+}$ in velja:   ${\displaystyle \log y=\frac{3\log a-2(\log b+7\log c)}{6}}$
    Rezultat primerno poenostavi.
    Rešitev:    $y=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[3]{b{c}^7}}$
38. Izračunaj natančno:   ${\displaystyle \frac{\sin \frac{25\pi }{12}\cos \frac{35\pi }{12}}{\cos \frac{\pi }{6}}}$
    Rešitev:    $\cdots =-\frac{\sqrt{3}}{6}$
39. Poenostavi naslednje izraze:
    

    (a)   ${\displaystyle \frac{\cos x-\sin x}{2\cos x}\cdot \frac{\cos x-\sin x}{2\sin x}+\frac{1}{2}}$

    (b)   ${\displaystyle \frac{\tan x}{{\sin }^{2}x}-\frac{\cot x}{{\sin }^{-2}x-1}}$

    (c)   ${\displaystyle \frac{\cos \frac{\pi }{3}\cdot (\sin x-\frac{1}{\sin x})}{\frac{\cot x}{2}}}$

    (d)   ${\displaystyle \frac{{\cot }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\cdot \frac{1-{\cos }^{2}x}{1+{\cot }^{2}x}}$

    (e)   ${\displaystyle \frac{\tan x+\sin x}{\cot x+\frac{1}{\sin x}}\cdot \cos x}$

    (f)   ${\displaystyle \frac{\cot x+\cos x}{\cot x\sin 2x}\cdot (1-\sin x)}$

    (g)   ${\displaystyle \frac{1-{\cos }^{2}x}{\frac{1}{\cos x}-\cos x}+\frac{\sin 2x}{\sin x}}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{1}{2\sin 2x}$;     (b)  $\cdots =\cot x$;     (c)  $\cdots =-\cos x$;     (d)  $\cdots ={\sin }^{2}x$;     (e)  $\cdots ={\sin }^{2}x$;     (f)  $\cdots =\frac{1}{2}\cot x$;     (g)  $\cdots =3\cos x$
40. Za kot $\alpha$ velja $\sin \alpha =\frac{2}{3}$ in $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$. Izračunaj točne vrednosti izrazov:
    

    (a)   $\cos \alpha =$

    (b)   $\cos 2\alpha =$

    (c)   $\tan 2\alpha =$

    Rešitev:    (a)  $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$;     (b)  $\cos 2\alpha =\frac{1}{9}$;     (c)  $\tan 2\alpha =-4\sqrt{5}$
41. Za topi kot $\alpha$ velja $\sin \alpha =\frac{1}{7}$. Dokaži, da je vrednost izraza $\cos (\alpha -{150}^{\circ })$ enaka točno $\frac{13}{14}$.
42. Izračunaj $\cot (\alpha +\beta )$, če veš, da sta kota $\alpha$ in $\beta$ ostra in velja $\sin \alpha =\frac{8}{17}$,  $\sin \beta =\frac{24}{25}$. Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    $\cdots =-\frac{87}{416}$
43. Za kot $\alpha$ velja $\cos \alpha =\frac{4}{5}$ in $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$. Izračunaj vrednost izraza:   ${\displaystyle \frac{1+\sin \alpha +\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}$
    Rešitev:    $\cdots =6$
44. Dokaži, da naslednja enakost velja za vsak $x\in \mathbb{R}$, za katerega sta obe strani enakosti definirani:   ${\displaystyle \frac{\cot x-\tan x}{\cot {45}^{\circ }+\tan {45}^{\circ }}=\cot 2x}$
45. Faktoriziraj (preoblikuj v produkt faktorjev):
    

    (a)   ${\displaystyle \frac{\cos x-\cos (x-{30}^{\circ })}{\sin (x-{30}^{\circ })-\sin x}}$

    (b)   ${\displaystyle \frac{\sin x+\sin (x-{36}^{\circ })}{\cos x+\sin (x+{54}^{\circ })}}$

    (c)   ${\displaystyle \frac{\cos (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )}{1+\tan \beta }}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\tan (x-{15}^{\circ })$;     (b)  $\cdots =\tan (x-{18}^{\circ })$;     (c)  $\cdots =\sqrt{2}\sin ({45}^{\circ }-\alpha )\cos \beta$
46. Preoblikuj v produkt faktorjev (najprej razčleni in nato faktoriziraj):   $\cos 8x\cos 3x-\cos 2x\cos 9x$
    Rešitev:    $\cdots =\sin 6x\sin x$
47. Dokaži, da naslednja enakost velja za vsak $x\in \mathbb{R}$, za katerega sta obe strani enakosti definirani:   ${\displaystyle \tan \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}}$
48. Nariši grafe funkcij:
    

    (a)   $f(x)=\frac{3}{2}\sin 2x+2$

    (b)   $f(x)=3-\cos x$

    (c)   $f(x)=|\sin \frac{x}{2}|$

49. Dana je funkcija: $f(x)=3-\cos 2x$. Nariši graf in zapiši koordinate minimumov in maksimumov te funkcije.
    Rešitev:    Minimumi: $(k\pi ,2)$,  maksimumi: $(\frac{\pi }{2}+k\pi ,4)$,  za $k\in \mathbb{Z}$
50. Izračunaj pole funkcije:   $f(x)=\cot (\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{3})$
    Rešitev:    Poli so pri $x=\frac{2\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$

 Domov