Števila in izrazi  –  višja raven

1. Okrajšaj ulomek  ${\displaystyle \frac{36181}{29467}}$.
   Namig:    Poišči največji skupni delitelj števca in imenovalca. Lahko si pomagaš z Evklidovim algoritmom.
   Rešitev:    $\cdots =\frac{97}{79}$
2. Izračunaj najmanjši skupni večkratnik števil 4526, 3358 in 2993.
   Rešitev:    $v=4268018$
3. Poišči naravni števili $m$ in $n$, za kateri velja:   $m>n$,   $mn=240$,   $D(m,n)=4$
   Rešitev:    (1)  $m=60,n=4$,     (2)  $m=20,n=12$
4. Dokaži, da je število $A=(5n-1{)}^2-(3n+2{)}^2$ za vsak $n\in \mathbb{Z}$ večkratnik števila $B=(2n-3)$.
   Rešitev:    $A=(2n-3)(8n+1)=B\cdot (8n+1)$
5. Dokaži, da za vsak $n\in \mathbb{Z}$ velja:   $(n^2-n+1)|(2n+1{)}^3-(n-3{)}^3$
   Rešitev:    $(2n+1{)}^3-(n-3{)}^3=7(n+4)(n^2-n+1)$
6. Dani sta pozitivni števili $a$ in $b$, za kateri velja $a<b$. Ugotovi, katero od naslednjih dveh števil je večje:   ${\log }_{\frac{1}{2}}(2-\sqrt{a})$,    ${\log }_{\frac{1}{2}}(2-\sqrt{b})$
   Rešitev:    Večje je drugo število.
7. Poenostavi izraz:   ${\displaystyle \frac{n+1}{2}\cdot \frac{1+3+5+\cdots +(2n-1)}{5+10+15+\cdots +5n}}$
   Rešitev:    $\cdots =\frac{n}{5}$
8. Nariši v kompleksni ravnini množico vseh točk $z$, ki ustrezajo pogoju:
   

   (a)   $|z-2|⩽1$

   (b)   $|z-i|⩽2$

   (c)   $|z+1+i|<1$

   Namig:    Upoštevaj, da je $|z-w|=$ razdalja med $z$ in $w$
9. Izračunaj ploščino množice v kompleksni ravnini:   $C=\{z\in \mathbb{C};|z-1|⩽\sqrt{2},|z+1|⩽\sqrt{2}\}$
   Rešitev:    Ta množica je presek dveh krogov. Ploščina je $S=\pi -2$.
10. Dano je kompleksno število $z=1-i$.
    

    (a)   Zapiši kvadratno enačbo z realnimi koeficienti in z vodilnim koeficientom 1, ki ima eno od rešitev enako $z$.

    (b)   Dokaži, da je $\frac{2}{z}=\bar{z}$.

    (c)   Izračunaj $z^{2000}$ (rezultat zapiši v obliki $n^m;n,m\in \mathbb{N}$).

    (d)   Zapiši petčleno aritmetično zaporedje, ki ima prvi člen enak $\mathrm{I}\mathrm{m}z$, peti člen pa enak $\mathrm{I}\mathrm{m}\bar{z}$.

    (e)   Kolikšna je verjetnost, da je produkt dveh slučajno izbranih različnih števil iz prej zapisanega zaporedja petih števil negativen?

    Rešitev:    (a)  $x^2-2x+2=0$;     (b)  $\frac{2}{z}=1+i$;     (c)  $z^{2000}=2^{1000}$;     (d)  $-1,-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1$;    (e)  $P(A)=40\mathrm{\%}$

 Domov