Enačbe in neenačbe – višja raven

1. Obravnavaj enačbo:   \(a(x-1)+3=3x\)
   Rešitev:    Za \(a=3\) je rešitev \(\forall x\in\mathbb{R}\);    sicer pa samo \(x=1\).
2. Obravnavaj sistem enačb:
   

      \(2x+y=8a\)

      \(ax+(a+1)y=6a^2+4a\)

   Rešitev:    Če je \(a\ne-2\), je rešitev \(x=2a,~ y=4a\);    za \(a=-2\) pa je rešitev vsak \((x,y)\) s premice \(2x+y=-16\)
3. Ugotovi, za katero vrednost parametra \(m\) je sistem (a) nerešljiv , (b) enolično rešljiv, (c) ima neskončno mnogo rešitev:
   

      \(3x+my=2m-3\)

      \(2mx+6y=6\)

   Rešitev:    Za \(m=-3\) je sistem nerešljiv;    za \(m=3\) je rešitev vsak \((x,y)\) s premice \(x+y=1\);    sicer pa je sistem enolično rešljiv.
4. Obravnavaj enačbo:   \(ax^2-a+1=x\)
   Rešitev:    Če je \(a=0\), je enačba linearna in \(x=1\);    če je \(a=\frac{1}{2}\), je \(D=0\) in \(x=1\);    sicer pa je \(D>0\) in enačba ima dve realni rešitvi.
5. Reši enačbo:   \({\displaystyle\frac{4^x+1}{2^{2x+1}-1}=4^{x+1}-2}\)
   Rešitev:    \(x_1=0,~ x_2=-\frac{3}{2}\)    (uvedi \(t=4^x\))
6. Reši enačbo:   \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5x}=\sqrt{10x-1}\)
   

   (a)   v množici \(\mathbb{R}\)

   (b)   v množici \(\mathbb{C}\)

   Rešitev:    (a) \(x=5\);     (b) \(x_1=5,~ x_2=0\)
7. Reši enačbo:   \(8^{3x-5}=0,\!125\cdot\left(\frac{\textstyle\sqrt{2}}{\textstyle4}\right)^{6-5x}\)
   Rešitev:    \(x=2\)
8. Reši enačbo:   \({\displaystyle \log_\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle8} \left(\frac{1}{x}\right) + \log _8 (x-3)=\frac{2}{3}}\)
   Rešitev:    \(x=4\)
9. Reši enačbo:   \({\displaystyle\frac{\log x^2}{\log \frac{x}{100}}-\frac{\log\frac{x}{1000}}{\log 10x}=1}\)
   Rešitev:    \(x=\sqrt{10}\)    (uvedi \(t=\log x\))
10. Reši enačbo:   \({\displaystyle x^{\log x}=\frac{x^3}{100}}\)
    Rešitev:    \(x_1=100,~ x_2=10\)    (logaritmiraj obe strani enačbe in nato uvedi \(t=\log x\))
11. Reši enačbo:   \({\displaystyle\frac{x^{\log x}+5}{x^{\log x}+35}=\frac{x^{\log x}}{x^{\log x}+5}}\)
    Rešitev:    \(x=1\)    (uvedi \(t=x^{\log x}\))
12. Reši enačbo:   \({\displaystyle 3^{\log 100x}-3^{\log 10x}+3^{\log x}=63}\)
    Rešitev:    \(x=100\)    (uvedi \(t=\log x\))
13. Reši enačbo:   \(2\log_x 3-\log_{3x} 9-\log_x 9x+2=0\)
    Rešitev:    \(x=3\)    (uvedi \(t=\log_x 3\))
14. Reši sistem enačb:
    

       \(\log_2x+\log_2y=6\)

       \(x+y=20\)

    Rešitev:    \(x=4,~ y=16\)   (ali obratno)
15. Reši enačbo:   \({\displaystyle \Big| |x+1|-2\Big|=2-\frac{x}{2}}\)
    Rešitev:    \(x_1=2,~ x_2=-10\)
16. Reši enačbo:   \(2\sin2x=3\tan x\)
    Rešitev:    \(x_1=k\pi\), \(x_2=\pm\frac{\pi}{6}+2k\pi\), \(x_3=\pm\frac{5\pi}{6}+2k\pi~~ (k\in\mathbb{Z})\)
17. Reši enačbo:   \(\tan 4x=\sin 8x\)
    Rešitev:    \(x_1=\frac{k\pi}{4}\), \(x_2=\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{8}~~ (k\in\mathbb{Z})\)
18. Obravnavaj neenačbo:   \(x(2a-2)\lt(3a+2)(x-1)-10\)
    Rešitev:   
    Če je \(a\gt-4\), je rešitev vsak \(x\gt3\);
    če je \(a\lt-4\), je rešitev vsak \(x\lt3\);
    če je \(a=-4\), neenačba nima rešitve.
19. Obravnavaj neenačbo:   \((a+1)(x-1)\lt4x+2\)
    Rešitev:   
    Za \(a\gt3\) je rešitev \(x\lt\frac{a+3}{a-3}\);
    za \(a\lt3\) je rešitev \(x\gt\frac{a+3}{a-3}\);
    za \(a=3\) je rešitev \(\forall x\in\mathbb{R}\).
20. Obravnavaj neenačbo:   \(a^2(x-1)+2ax\leqslant 3(x-3)\)
    Rešitev:   
    Za \(a\gt1\) je rešitev \(x\leqslant\frac{a-3}{a-1}\);
    za \(a=1\) ni rešitve;
    za \(a\in(-3,1)\) je rešitev \(x\geqslant\frac{a-3}{a-1}\);
    za \(a=-3\) je rešitev vsak \(x\in\mathbb{R}\);
    za \(a\lt-3\) je rešitev \(x\leqslant\frac{a-3}{a-1}\).

 Domov