Enačbe in neenačbe – višja raven

1. Obravnavaj enačbo:   $a(x-1)+3=3x$
   Rešitev:    Za $a=3$ je rešitev $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$;    sicer pa samo $x=1$.
2. Obravnavaj sistem enačb:
   

      $2x+y=8a$

      $ax+(a+1)y=6a^2+4a$

   Rešitev:    Če je $a\ne -2$, je rešitev $x=2a,y=4a$;    za $a=-2$ pa je rešitev vsak $(x,y)$ s premice $2x+y=-16$
3. Ugotovi, za katero vrednost parametra $m$ je sistem (a) nerešljiv , (b) enolično rešljiv, (c) ima neskončno mnogo rešitev:
   

      $3x+my=2m-3$

      $2mx+6y=6$

   Rešitev:    Za $m=-3$ je sistem nerešljiv;    za $m=3$ je rešitev vsak $(x,y)$ s premice $x+y=1$;    sicer pa je sistem enolično rešljiv.
4. Obravnavaj enačbo:   $a{x}^2-a+1=x$
   Rešitev:    Če je $a=0$, je enačba linearna in $x=1$;    če je $a=\frac{1}{2}$, je $D=0$ in $x=1$;    sicer pa je $D>0$ in enačba ima dve realni rešitvi.
5. Reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{4^x+1}{2^{2x+1}-1}=4^{x+1}-2}$
   Rešitev:    $x_1=0,x_2=-\frac{3}{2}$    (uvedi $t=4^x$)
6. Reši enačbo:   $\sqrt{x-1}+\sqrt{5x}=\sqrt{10x-1}$
   

   (a)   v množici $\mathbb{R}$

   (b)   v množici $\mathbb{C}$

   Rešitev:    (a) $x=5$;     (b) $x_1=5,x_2=0$
7. Reši enačbo:   $8^{3x-5}=0,125\cdot {\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}^{6-5x}$
   Rešitev:    $x=2$
8. Reši enačbo:   ${\displaystyle {\log }_{\frac{1}{8}}\left(\frac{1}{x}\right)+{\log }_8(x-3)=\frac{2}{3}}$
   Rešitev:    $x=4$
9. Reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{\log x^2}{\log \frac{x}{100}}-\frac{\log \frac{x}{1000}}{\log 10x}=1}$
   Rešitev:    $x=\sqrt{10}$    (uvedi $t=\log x$)
10. Reši enačbo:   ${\displaystyle x^{\log x}=\frac{x^3}{100}}$
    Rešitev:    $x_1=100,x_2=10$    (logaritmiraj obe strani enačbe in nato uvedi $t=\log x$)
11. Reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{x^{\log x}+5}{x^{\log x}+35}=\frac{x^{\log x}}{x^{\log x}+5}}$
    Rešitev:    $x=1$    (uvedi $t=x^{\log x}$)
12. Reši enačbo:   ${\displaystyle 3^{\log 100x}-3^{\log 10x}+3^{\log x}=63}$
    Rešitev:    $x=100$    (uvedi $t=\log x$)
13. Reši enačbo:   $2{\log }_{x}3-{\log }_{3x}9-{\log }_{x}9x+2=0$
    Rešitev:    $x=3$    (uvedi $t={\log }_{x}3$)
14. Reši sistem enačb:
    

       ${\log }_{2}x+{\log }_{2}y=6$

       $x+y=20$

    Rešitev:    $x=4,y=16$   (ali obratno)
15. Reši enačbo:   ${\displaystyle ||x+1|-2|=2-\frac{x}{2}}$
    Rešitev:    $x_1=2,x_2=-10$
16. Reši enačbo:   $2\sin 2x=3\tan x$
    Rešitev:    $x_1=k\pi$, $x_2=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$, $x_3=\pm \frac{5\pi }{6}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$
17. Reši enačbo:   $\tan 4x=\sin 8x$
    Rešitev:    $x_1=\frac{k\pi }{4}$, $x_2=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{8}(k\in \mathbb{Z})$
18. Obravnavaj neenačbo:   $x(2a-2)<(3a+2)(x-1)-10$
    Rešitev:   
    Če je $a>-4$, je rešitev vsak $x>3$;
    če je $a<-4$, je rešitev vsak $x<3$;
    če je $a=-4$, neenačba nima rešitve.
19. Obravnavaj neenačbo:   $(a+1)(x-1)<4x+2$
    Rešitev:   
    Za $a>3$ je rešitev $x<\frac{a+3}{a-3}$;
    za $a<3$ je rešitev $x>\frac{a+3}{a-3}$;
    za $a=3$ je rešitev $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.
20. Obravnavaj neenačbo:   $a^2(x-1)+2ax⩽3(x-3)$
    Rešitev:   
    Za $a>1$ je rešitev $x⩽\frac{a-3}{a-1}$;
    za $a=1$ ni rešitve;
    za $a\in (-3,1)$ je rešitev $x⩾\frac{a-3}{a-1}$;
    za $a=-3$ je rešitev vsak $x\in \mathbb{R}$;
    za $a<-3$ je rešitev $x⩽\frac{a-3}{a-1}$.

 Domov