Enačbe in neenačbe – osnovna raven

1. Reši neenačbo in množico rešitev zapiši kot interval:   ${\displaystyle (x-2{)}^2-\frac{x+8}{4}⩾x(x-\frac{1}{4})}$
   Rešitev:    $x\in (-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]$
2. Reši neenačbo:   ${\displaystyle \frac{\frac{1}{2}x-1}{3}⩾\frac{x-2}{6}}$
   Rešitev:    Rešitev neenačbe je $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$
3. Reši enačbo:   ${\displaystyle x+\frac{x-20}{x-5}=\frac{4x-5}{5-x}}$
   Rešitev:    $x=-5$
4. Reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{x^2+x+7}{x^3-8}=\frac{1}{x-2}}$
   Rešitev:    $x=3$
5. Reši enačbo:   $x^2(x^2-1)=36(x^2-1)$
   Rešitev:    $x_1=1,x_2=-1,x_3=6,x_4=-6$
6. Reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{1}{|x+1|+1}=\frac{2x+7}{x^2+2x}}$
   Rešitev:    $x=-3$
7. Reši enačbo:   $|x^{-1}-x^{-2}|=1-x^{-2}$
   Rešitev:    $x_1=1,x_2=-2$
8. Reši enačbo:   $12x^3-10x^2+2x=0$
   Rešitev:    $x_1=0,x_2=\frac{1}{2},x_3=\frac{1}{3}$
9. Reši enačbo:   $(x+1{)}^3=(x-1)(x+2)(x-2)-(x-57)$
   Rešitev:    $x_1=-5,x_2=3$
10. Reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{x+\sqrt{x+8}+6}{4}=x-10}$
    Rešitev:    $x=17$
11. Reši enačbo (zapiši vse realne rešitve):   ${\displaystyle \frac{1+\sqrt[3]{(x+1{)}^2-10}}{2}=0}$
    Rešitev:    $x_1=2,x_2=-4$
12. Reši enačbo:   ${\displaystyle {\left(\frac{9}{4}\right)}^{1-x}=\frac{8}{27}}$
    Rešitev:    $x=\frac{5}{2}$
13. Reši enačbo:   $2\cdot 3^x+7\cdot 3^{x-1}=324+3^{x+1}$
    Rešitev:    $x=5$
14. Reši enačbo:   ${\displaystyle {\sqrt{2}}^{6x+2}\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^x+2^{4x}\cdot {\left(\frac{1}{8}\right)}^{x+1}=136}$
    Rešitev:    $x=6$
15. Reši enačbo (rešitev zaokroži na štiri mesta):   $2\cdot 3^x-3\cdot 2^x=2^{x+3}$
    Rešitev:    $x\doteq 4,204$
16. Reši enačbo:   ${\log }_x(x+6)=2$
    Rešitev:    $x=3$
17. Reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{\log (x+7)}{\log (x-2)+2}=\frac{1}{2}}$
    Rešitev:    $x_1=3,x_2=83$
18. Reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{1}{2}\log \sqrt{x-3}=\frac{\log (2x-4)}{4}}$
    Rešitev:    Enačba ni rešljiva, rešitev ne obstaja.
19. Reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{\log x+1}{\log x+5}=\frac{\log x}{\log x+3}}$
    Namig:    Pomagaj si z uvedbo nove neznanke.
    Rešitev:    $x=1000$
20. Reši neenačbo:   $x(3-x)+12<2$
    Rešitev:    $x\in (-\mathrm{\infty },-2)\cup (5,\mathrm{\infty })$
21. Reši neenačbo:   $\frac{1}{2}{x}^2+2x+2>0$
    Rešitev:    $x\in \mathbb{R}\setminus \{-2\}$
22. Reši neenačbo:   $x^3-x<3x$
    Rešitev:    $x\in (-\mathrm{\infty },-2)\cup (0,2)$
23. Reši neenačbo:   ${\displaystyle \frac{3}{x+3}⩾1}$
    Rešitev:    $x\in (-3,0]$
24. Reši neenačbo:   ${\displaystyle \frac{x^2+4x+4}{x^2-1}⩽0}$
    Rešitev:    $x\in (-1,1)\cup \{-2\}$
25. Reši enačbo:   ${\displaystyle 3+\sqrt[3]{{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^2-1}=5}$
    Rešitev:    $x_1=5,x_2=-7$
26. Reši enačbo:   $2x^4+11x^3+19x^2+13x+3=0$
    Rešitev:    $x_1=-1,x_2=-3,x_3=-\frac{1}{2}$
27. Reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{x^2-3x}{x+2}=1-\frac{3}{x}}$
    Rešitev:    $x_1=-1,x_2=2,x_3=3$
28. Reši enačbo:   $\sqrt{2}+2\cos 3x=0$
    Rešitev:    $x=\pm \frac{\pi }{4}+\frac{2k\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$
29. Reši enačbo:   $\sin 2x+2\sin x=4\tan x$
    Rešitev:    $x_1=k\pi (k\in \mathbb{Z})$
    Dodatek:    Rešitev $x_2=2k\pi$ je že vključena v zgoraj navedeno množico rešitev $x_1$.
30. Reši enačbo:   $3{\sin }^{2}x-\sin 2x-{\cos }^{2}x=2$
    Rešitev:    $x_1=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,x_2=\arctan 3+k\pi (k\in \mathbb{Z})$
31. Reši enačbo:   $\cos (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
    Rešitev:    $x_1=2\pi +4k\pi ,x_2=-\pi +4k\pi (k\in \mathbb{Z})$
32. Reši enačbo:   $\sin 2x=2{\cos }^{2}x$
    Rešitev:    $x_1=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x_2=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$
33. Reši enačbo:   $\sin (x+\frac{\pi }{6})+\sin (x-\frac{\pi }{3})=\sqrt{2}$
    Rešitev:    $x=\frac{7\pi }{12}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$
34. Reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{{\tan }^{2}x}{{\sin }^{2}x}\cdot \frac{1-{\sin }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x}=1}$
    Rešitev:    Enačba ni rešljiva.
    Dodatek:    Rezultat $x=k\pi$ ni rešitev, saj odpade pri preizkusu.
35. Reši sistem enačb:
    

       $x-y+z=-1$

       $x+y-z=-3$

       $x+y+z=5$

    Rešitev:    $x=-2,y=3,z=4$
36. Reši sistem enačb:
    

       $x^2+y^2=289$

       $x-y=-7$

    Rešitev:    (1) $x_1=8,y_1=15$,    (2) $x_2=-15,y_2=-8$
37. Dana je enačba $x^2+(1+m)x-6m=0$. Določi realni parameter $m$ tako, da bo ena od rešitev enačbe tudi $x=3$. Kakšna je tedaj druga rešitev?
    Rešitev:    $m=4,x_2=-8$
38. Reši kvadratno enačbo:   $x^2-(1-\sin \alpha )x-\sin \alpha =0$
    Rešitev:    $x_1=1,x_2=-\sin \alpha$
39. V množici $\mathbb{C}$ reši enačbo:   ${\displaystyle \frac{1+z}{1-\bar{z}}=(1+i{)}^{-1}}$
    Rešitev:    $z=-1-2i$
40. S poljubno numerično metodo izračunaj edino realno rešitev enačbe $x^3-2x-8=0$. Rezultat zaokroži na pet decimalk.
    Rešitev:    $x\doteq 2,33075$

 Domov