Števila in izrazi

Izračunaj: \((-2^4+(-2)^2)\cdot(-2)^3-2\)
Rešitev: \(\cdots=94\)

Ugotovi, ali je število 777 444 deljivo:

(a) z 2,

(b) s 3,

(c) s 4,

(d) s 5,

(e) s 6,

(f) z 9.

Rešitev: (a) Je deljivo z 2. (b) Je deljivo s 3. (c) Je deljivo s 4. (d) Ni deljivo s 5. (e) Je deljivo s 6. (f) Ni deljivo z 9.

Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 644 in 552.
Rešitev: \(D=92,~ v=3864\)

Izračunaj največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 594, 693 in 792.
Rešitev: \(D=99,~ v=16\,632\)

Zapiši naslednje število kot okrajšan ulomek:

(a) \(0,\!35\)

(b) \(0,\!\overline{36}\)

(c) \(0,\!3\overline{7}\)

Rešitev: (a) \(\cdots=\frac{7}{20}\), (b) \(\cdots=\frac{4}{11}\), (c) \(\cdots=\frac{17}{45}\)

Izračunaj vrednost naslednjega izraza in rezultat zapiši kot okrajšan ulomek: \({\displaystyle\frac{\frac{1}{3}+2}{1-\frac{2}{9}}}-3\!\frac{2}{5}\cdot\frac{14}{17}\)
Rešitev: \(\cdots=\frac{1}{5}\)

Izračunaj vrednost naslednjega izraza in rezultat zapiši kot okrajšan ulomek: \(1-(1-3^{-2})^{-1} \cdot 0,\!\overline{84}\)
Rešitev: \(\cdots=\frac{1}{22}\)

Izračunaj točno vrednost izraza (pomagaj si z delnim korenjenjem in racionalizacijo: \({\displaystyle\frac{\sqrt{81}+\sqrt{12}-\sqrt{27}}{3-\sqrt{3}}}\)
Rešitev: \(\cdots=4+\sqrt{3}\)

Za \(a=-3\) izračunaj vrednost naslednjega izraza: \((1-a^4):(a^2-1)-a^3-a\)
Rešitev: \(\cdots=20\)

Izračunaj vrednost izraza: \({\displaystyle x- \frac{x+2}{x-1}}\)

(a) za \(x=3\)

(b) za \(x=-\frac{4}{5}\)

(c) za \(x=1-\sqrt{2}\)

Rešitev: (a) \(\cdots=\frac{1}{2}\), (b) \(\cdots=-\frac{2}{15}\), (c) \(\cdots=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Razčleni in poenostavi izraz: \((x+5)^2-x(x+7)\)
Rešitev: \(\cdots=3x+25\)

Poenostavi in razčleni (preoblikuj v obliko vsote členov): \((a+3)^3-(3a+4)^2-(4a+11)\)
Rešitev: \(\cdots=a^3-a\)

Poenostavi in razcepi (preoblikuj v obliko produkta faktorjev): \((a+3)^3-(3a+4)^2-(4a+11)\)
Rešitev: \(\cdots=a(a-1)(a+1)\)

Razstavi (preoblikuj v obliko produkta faktorjev): \(m^3-5m^2-4m+20\)
Rešitev: \(\cdots=(m-5)(m-2)(m+2)\)

Razstavi: \(u^5-3u^4-5u^3+15u^2+4u-12\)
Rešitev: \(\cdots=(u-3)(u-1)(u+1)(u-2)(u+2)\)

Razstavi: \(x^4-4x^3+3x^2+4x-4\)
Namig: Spomni se, kako smo to počeli pri poglavju Polinomi.
Rešitev: \(\cdots=(x-1)(x+1)(x-2)^2\)

Razstavi (v množici \(\mathbb{R}\)):

(a) \(x^4-4x^3+3x^2\)

(b) \(x^4-4x^2+3\)

(c) \(x^4-4x+3\)

Rešitev: (a) \(\cdots=x^2(x-3)(x-1)\), (b) \(\cdots=(x-1)(x+1)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\), (c) \(\cdots=(x-1)^2(x^2+2x+3)\)

Poenostavi izraz: \({\displaystyle\frac{(7x^3y)^2\cdot y^{11}}{x^2~(xy^4)^3}}\)
Rešitev: \(\cdots=49xy\)

Poenostavi izraz (za pozitiven \(a\) in \(b\)): \({\displaystyle\sqrt[\scriptstyle3]{\frac{72a}{b^3}\cdot\sqrt{\frac{9a^4}{b^6}}}}\)
Rešitev: \(\cdots=\frac{6a}{b^2}\)

Poenostavi in izračunaj vrednost naslednjega izraza za \(a=\sqrt{2}\) in \(b=\sqrt{3}\): \({\displaystyle\sqrt{\frac{75a^4~\sqrt{b^8}}{\sqrt[\scriptstyle3]{27a^6}}}}\)
Rešitev: \(\cdots=15\sqrt{2}\)

Poenostavi izraz: \({\displaystyle 3^{x+2}+3^{x+1}-5\cdot3^x}\)
Rešitev: \(\cdots=7\cdot3^x\)

Poenostavi izraz: \({\displaystyle\frac{10^{x+1}-10^x}{2^{x+3}+2^x}}\)
Rešitev: \(\cdots=5^x\)

Dokaži, da je vrednost naslednjega izraza konstantna (enaka za vsak \(x\)): \({\displaystyle\frac{2\cdot4^x-4^{x-1}}{2^{2x+1}+3\cdot2^{2x-1}}}\)
Rešitev: Vrednost izraza je vedno enaka \(\frac{1}{2}\).

Razčleni izraz (za pozitiven \(a,~ b\) in \(c\)): \({\displaystyle\log\frac{ab^3}{c^2}}\)
Rešitev: \(\cdots=\log a+3\log b-2\log c\)

Za pozitiven \(x\) in \(y\) razčleni izraz: \({\displaystyle\log_3 \frac{81\sqrt{x}}{\sqrt[\scriptstyle3]{y^2}}}\)
Rešitev: \(\cdots=4+\frac{1}{2}\log_3 x-\frac{2}{3}\log_3 y\)

Izračunaj vrednost naslednjega izraza, če veš, da je \(\log a=2\) in \(\log b=\frac{1}{3}\) (rezultat naj bo točen): \({\displaystyle\log\frac{a\sqrt{10}}{b^5}}\)
Rešitev: \(\cdots=\frac{5}{6}\)

Preoblikuj izraz v logaritem enočlenika (za \(a\gt0\) in \(b\gt0\)): \(3\log a+\frac{1}{5}\log b-2\log c\)
Rešitev: \(\cdots=\log\frac{a^3~\sqrt[5]{b}}{c^2}\)

Izračunaj \(x\), če veš, da velja zveza: \({\displaystyle\log x=2+\log a-3\log b+\frac{\log c}{2}}\)
Rešitev: \(x=\frac{100a\sqrt{c}}{b^3}\)

Za \(x=\sqrt{1000}\) izračunaj vrednost naslednjega izraza: \(\log(x^2)-\log x-\log\sqrt[\scriptstyle3]{x^2}\)
Rešitev: \(\cdots=\frac{1}{2}\)

Izračunaj točno vrednost naslednjega izraza: \({\displaystyle\frac{\tan240^\circ+\cos450^\circ}{\sin135^\circ}}\)
Rešitev: \(\cdots=\sqrt{6}\)

Poenostavi izraz: \({\displaystyle \tan^2 x~\Big(\frac{1}{\sin x}-\sin x\Big)}\)
Rešitev: \(\cdots=\sin x\)

Poenostavi izraz: \({\displaystyle\frac{\cos^2 x-\cos 2x}{\tan x \sin 2x}}\)
Rešitev: \(\cdots=\frac{1}{2}\)