Funkcije

1. Zapiši enačbo linearne funkcije, katere graf poteka skozi točki \(A(2,4)\) in \(B(7,19)\).
   Rešitev:    \(f(x)=3x-2\)
2. Linearna funkcija ima enačbo: \(f(x)=\frac{\textstyle 5}{\textstyle 4}x-\frac{\textstyle 3}{\textstyle 4}\). Ugotovi, katera od naslednjih točk leži na grafu te linearne funkcije:
   

   (a)   \(K(7,8)\)

   (b)   \(L(38,47)\)

   (c)   \(M(-\frac{3}{5},-\frac{3}{2})\)

   Rešitev:    (a)  \(K\) leži na grafu.     (b)  \(L\) ne leži na grafu.     (c)  \(M\) leži na grafu.
3. Premica poteka skozi točki \(A(3,2)\) in \(B(12,5)\). Zapiši enačbo te premice v eksplicitni obliki. Premico tudi nariši.
   Rešitev:    \(y=\frac{1}{3}x+1\)
4. Premica \(p\) poteka skozi točki \(U(3,2)\) in \(V(\frac{3}{4},\frac{7}{2})\). Zapiši enačbo te premice v vseh treh značilnih oblikah (če se da). Premico tudi nariši.
   Rešitev:    Eksplicitna: \(y=-\frac{2}{3}x+4\), implicitna: \(2x+3y-12=0\), segmentna/odsekovna: \(\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1\)
5. Podana je premica \(p\!:~ 3x-2y=18\). Izračunaj ploščino trikotnika, ki ga omejuje ta premica skupaj z obema koordinatnima osema.
   Rešitev:    Ploščina: \(S=27\)
6. Dana je premica \(p\!:~ x-3y+20=0\). Izračunaj, v kateri točki ta premica seka simetralo lihih kvadrantov in v kateri točki seka simetralo sodih kvadrantov.
   Rešitev:    Simetralo lihih kvadrantov seka v točki \(A(10,10)\), simetralo sodih kvadrantov pa v točki \(B(-5,5)\).
7. Dani sta premici \(p\!:~ y=4x-3\) in \(q\!:~ y=2x+5\). Izračunaj koordinati presečišča teh dveh premic.
   Rešitev:    Presečišče: \(P(4,13)\)
8. Izračunaj naklonski kot premice (rezultat zapiši v stopinjah in minutah):
   

   (a)   \(y=5x-3\)

   (b)   \(y=\frac{\textstyle 3+2x}{\textstyle 7}\)

   (c)   \(4x-5y=0\)

   Rešitev:    (a)  \(\alpha\doteq78^\circ41'\),     (b)  \(\alpha\doteq15^\circ57'\),     (c)  \(\alpha\doteq38^\circ40'\)
9. Dani sta premici \(p\!:~ 2x-y=8\) in \(q\!:~ 5x+2y=11\). Izračunaj, v kateri točki se sekata in kolikšen kot oklepata. Kot zapiši v stopinjah in minutah.
   Rešitev:    Presečišče: \(P(3,-2)\), kot: \(\varphi\doteq48^\circ22'\)
10. Premica \(p\) ima enačbo \(y=-3x+5\). Premica \(q\) je na to premico pravokotna in poteka skozi točko \(T(6,4)\). Zapiši enačbo premice \(q\).
    Rešitev:    \(q\!:~ y=\frac{1}{3}x+2\)
11. Kvadratna funkcija ima enačbo \(f(x)=x^2-4x+3\). Izračunaj teme in ničli ter nariši graf te funkcije.
    Rešitev:    Teme: \(T(2,-1)\), ničli: \(x_1=1,~ x_2=3\)
12. Dana je funkcija \(f(x)=-2x^2+2x+\frac{\textstyle3}{\textstyle2}\). Izračunaj teme in ničli ter nariši graf te funkcije.
    Rešitev:    Teme: \(T(\frac{1}{2},2)\), ničli: \(x_1=-\frac{1}{2},~ x_2=\frac{3}{2}\)
13. Dani sta funkciji \(f(x)=x^2-2x+2\) in \(g(x)=2x-1\). Nariši grafa obeh funkcij (v istem koordinatnem sistemu) in izračunaj, v katerih točkah se se grafa sekata.
    Rešitev:    Presečišči: \(P_1(1,1)\) in \(P_2(3,5)\)
14. Kvadratna funkcija ima teme v točki \(T(3,-2)\). Graf te funkcije poteka tudi skozi točko \(A(5,-6)\). Zapiši enačbo te funkcije v splošni obliki.
    Rešitev:    \(f(x)=-x^2+6x-11\)
15. Graf eksponentne funkcije \(f(x)=a^x\) poteka skozi točko \(T(-3,8)\).
    

    (a)   Izračunaj \(a\) in nariši graf funkcije \(f\).

    (b)   Nariši še graf funkcije \(g(x)=\left(\frac{1}{a}\right)^x\).

    Rešitev:    (a)  \(a=\frac{1}{2}\)
16. Izračunaj količnik in ostanek pri deljenju polinomov:
    

    \((x^3+7x^2+8x-19):(x^2+2x-3)=\)

    Rešitev:    Količnik: \(k(x)=x+5\); ostanek: \(o(x)=x-4\)
17. Poišči vse ničle polinoma \(p(x)=2x^3-4x^2-4x+8\).
    Rešitev:    Ničle: \(x_1=2,~ x_2=\sqrt{2},~ x_3=-\sqrt{2}\)
18. Polinom \(p(x)=3x^3+x^2-8x+4\) ima tri ničle. Ena od ničel je \(x_1=\frac{2}{3}\). Poišči ostali dve ničli tega polinoma.
    Rešitev:    \(x_2=1,~ x_3=-2\)
19. Dana je funkcija \({\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x-2}}\).
    

    (a)   Nariši graf funkcije \(f\).

    (b)   Ugotovi, za katere vrednosti \(x\) velja:  \(f(x)\leqslant 0\).

    Rešitev:    (b)  Velja za \(-1\leqslant x\lt 2\)