Zaporedja

1. Opiši lastnosti naslednjih zaporedij (naraščanje, padanje, omejenost). Ne pozabi na dokaze.
   

   (a)   \({\displaystyle a_n=\frac{2n-1}{n+4}}\)

   (b)   \({\displaystyle a_n=1+\frac{1}{n^2}}\)

   (c)   \({\displaystyle a_n=\frac{3^n-1}{3^n}}\)

   Rešitev:    (a)  narašča, \(m=\frac{1}{5},~ M=2\);     (b)  pada, \(m=1,~ M=2\);     (c)  narašča, \(m=\frac{2}{3},~ M=1\)
2. Dano je zaporedje \(a_n=\log_2 (n^2+1)\). Dokaži, da to zaporedje narašča, in ugotovi, kateri členi tega zaporedja so večji od 10.
   Rešitev:    Večji od 10 so vsi členi od vključno \(a_{32}\) naprej.
3. Dano je zaporedje \(a_n=\frac{1}{12}n^2-2n+1\). Ugotovi, kateri členi tega zaporedja so pozitivni.
   Rešitev:    Pozitivni so vsi členi od vključno \(a_{24}\) naprej.
4. Prvi člen v aritmetičnem zaporedju je enak 5, petnajsti člen pa je enak 243. Zapiši formulo za splošni člen in ugotovi, koliko členov tega zaporedja je manjših od 1000.
   Rešitev:    Splošni člen: \(a_n=-12+17n\). Prvih 59 členov je manjših od 1000.
5. Med števili 25 in 60 vrini štiri števila, tako da dobiš končno aritmetično zaporedje.
   Rešitev:    Zaporedje: 25, 32, 39, 46, 53, 60
6. Določi parameter \(x\) tako, da bodo naslednja števila prvi trije členi neskončnega aritmetičnega zaporedja: \(a_1=2x+1,~~ a_2=4x-5,~~a_3=5x\)
   Zapiši tudi splošni člen tega zaporedja.
   Rešitev:    \(x=11\);   AZ: 23, 39, 55;   \(a_n=7+16n\)
7. Določi realni parameter \(x\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno aritmetično zaporedje: \(2x,~~ x^2+5,~~ x^3-3x^2\)
   Rešitev:    \(x=5\);   AZ: 10, 30, 50
8. Določi realni parameter \(x\) tako, da bodo naslednja števila prvi trije členi aritmetičnega zaporedja:  \(\log_2 (x-1),~ \log_2 (x+3),~ 4\).
   Rešitev:    \(x=5\),    AZ: 2, 3, 4
9. Določi število \(m\in\mathbb{R}\) tako, da bodo števila \(\sqrt{m},~ m-2,~ m+2\) tvorila končno aritmetično zaporedje.
   Rešitev:    \(m=9\),    AZ: 3, 7, 11
10. Tri števila sestavljajo končno aritmetično zaporedje. Vsota teh treh števil je 24, vsota kvadratov teh treh števil pa je 210. Poišči ta števila.
    Rešitev:    To so števila 5, 8, 11 (oziroma tudi 11, 8, 5).
11. Tri števila tvorijo končno aritmetično zaporedje. Njihova vsota je enaka \(\frac{9}{4}\), vsota njihovih obratnih vrednosti pa je \(\frac{13}{3}\). Določi ta števila.
    Rešitev:    To so števila \(\frac{1}{2},~\frac{3}{4},~1\) (oziroma \(1,~ \frac{3}{4},~ \frac{1}{2}\).
12. Rastoče geometrijsko zaporedje ima prvi člen enak 2 in deveti člen enak 8. Izračunaj petnajsti člen. Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    \(a_{15}=16\sqrt{2}\)
13. Med števili 224 in 1701 vrini štiri števila, tako da dobiš končno geometrijsko zaporedje.
    Rešitev:    Zaporedje: 224, 336, 504, 756, 1134, 1701
14. Med števili 81 in 24 vrini pet pozitivnih števil, tako da dobiš končno geometrijsko zaporedje. Zapiši točne vrednosti vrinjenih števil.
    Rešitev:    Zaporedje: \(81,~ 27\sqrt{6},~ 54,~ 18\sqrt{6},~ 36,~ 12\sqrt{6},~ 24\)
15. Določi parameter \(m\in\mathbb{R}\) tako, da bodo števila \(m-5,~ m+11,~ 5m+7\) sestavljala končno geometrijsko zaporedje.
    Rešitev:    (1) \(m_1=13\),   GZ: 8, 24, 72;      (2) \(m_2=-3\),   GZ: \(-8,~8,~-8\)
16. Določi realni parameter \(m\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje: \(2,~~ 1+\sqrt{m},~~ m-31\)
    Rešitev:    \(m=81\);   GZ: 2, 10, 50
17. Če vzamemo prvi, drugi in četrti člen aritmetičnega zaporedja, dobimo geometrijsko zaporedje. Vsota teh treh členov je 42. Določi ustrezno aritmetično (in geometrijsko) zaporedje.
    Rešitev:    (1)  AZ: 6, 12, 18, 24  (GZ: 6, 12, 24);      (2)  AZ: 14, 14, 14, 14  (GZ: 14, 14, 14)
18. Izračunaj vsoto vseh pozitivnih členov zaporedja \(a_n=400-7n\).
    Rešitev:    \(s_{57}=11\,229\)
19. Izračunaj vsoto vseh večkratnikov števila 19, ki ležijo na intervalu \([0,\,1000]\).
    Rešitev:    Vsota je enaka 26 182.
20. Vsota prvih 17 členov aritmetičnega zaporedja je enaka 1972. Diferenca tega zaporedja je 12. Izračunaj prvi člen zaporedja.
    Rešitev:    \(a_1=20\)
21. Končno aritmetično zaporedje ima prvi člen \(a_1=30\) in diferenco \(d=7\). Vsota vseh členov tega končnega zaporedja je enaka 4185. Izračunaj število členov tega zaporedja.
    Rešitev:    To zaporedje ima 31 členov.
22. Reši enačbo:   \(60+65+70+75+\cdots+x=3000\)
    Opomba:    Na levi strani enačbe je končna aritmetična vrsta.
    Rešitev:    \(x=180\)
23. Dano je zaporedje \(a_n=2\cdot 3^n\). Izračunaj vsoto vseh členov, ki so manjši od \(100\,000\).
    Rešitev:    \(s_9=59\,046\)
24. Dano je geometrijsko zaporedje \(a_n=3\cdot\sqrt{2}^{\,n-1}\). Izračunaj, koliko (najmanj) členov tega zaporedja moramo sešteti, da bo vsota \(s_n\) presegla en milijon.
    Rešitev:    Sešteti moramo vsaj 35 členov.
25. Izračunaj:
    

    (a)   \({\displaystyle \sum_{n=1}^{75} (3n+2)}\)

    (b)   \({\displaystyle \sum_{n=1}^7 \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=8700\);     (b)  \(\cdots=\frac{2059}{729}\)
26. Dokaži, da je število \(11^n-6\) za vsak \(n\in\mathbb{N}\) deljivo s 5.
    Namig:    Pomagaj si s principom popolne indukcije.
27. Dokaži, da za \(\forall n\in\mathbb{N}\) velja:
    

    (a)   \(6~\Big|~(10^n-4)\)

    (b)   \(57~\Big|~(7^{n+2}+8^{2n+1})\)

    (c)   \(64~\Big|~(3^{2n+2}-8n-9)\)

    Namig:    Pomagaj si s principom popolne indukcije.
28. Izračunaj vsoto končne vrste:  \({\displaystyle s_n=\frac{1}{1\cdot5}+\frac{1}{5\cdot9}+\frac{1}{9\cdot13}+\cdots+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}}\)
    Rešitev:    \(s_n=\frac{n}{4n+1}\); pravilnost formule dokaži s popolno indukcijo.
29. Zaporedje ima splošni člen \({\displaystyle a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}\). Izračunaj vsoto prvih \(n\) členov tega zaporedja.
    Rešitev:    \(s_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\); pravilnost formule lahko dokažeš s popolno indukcijo, lahko (še bolj preprosto) pa tudi drugače.
30. Dokaži, da za \(\forall n\in\mathbb{N}\) velja:
    

    (a)   \({\displaystyle 1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}}\)

    (b)   \(1\cdot2+2\cdot5+3\cdot8+4\cdot11+\cdots+n(3n-1)=n^2(n+1)\)

    (c)   \(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=(1+2+3+\cdots+n)^2\)

    Namig:    Pomagaj si s principom popolne indukcije.
31. Izračunaj naslednje limite:
    

    (a)   \({\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^2+3n-1}{n^2+5n}}\)

    (b)   \({\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2-2n}-7}{2n+\sqrt{n^2+1}}}\)

    (c)   \({\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^3+n^2}+\sqrt{n^3-n^2}}{\sqrt{n^3+n+1}}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=1\);     (b)  \(\cdots=\frac{1}{3}\);     (c)  \(\cdots=2\)
32. Izračunaj naslednje limite:
    

    (a)   \({\displaystyle \lim_{n\to\infty} ~n-\sqrt{n^2-3n}}\)

    (b)   \({\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^2-\sqrt{n^4-n^3}}{n}}\)

    (c)   \({\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{6n}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{3}{2}\);     (b)  \(\cdots=\frac{1}{2}\);     (c)  \(\cdots=e^3\)
33. Dano je zaporedje \({\displaystyle a_n=\frac{2n-1}{n+1}}\) in število \(\varepsilon=10^{-3}\). Izračunaj limito zaporedja in ugotovi, od (vključno) katerega člena naprej ležijo vsi nadaljnji členi zaporedja v \(\varepsilon\)-okolici limite.
    Rešitev:    Limita je 2.   V \(\varepsilon\)-okolici ležijo vsi členi od vključno \(a_{3000}\) naprej.
34. Izračunaj vsoto neskončne geometrijske vrste (če obstaja):
    

    (a)   \(72+48+32+\cdots\)

    (b)   \(-50+10-2+\cdots\)

    (c)   \(25+50+100+\cdots\)

    Rešitev:    (a)  \(s=216\);     (b)  \(s=-41\frac{2}{3}\);     (c)  Vsota ne obstaja (oziroma je neskončna).
35. Vsota neskončne geometrijske vrste s količnikom \(\frac{1}{3}\) je enaka 21. Če seštejemo le prvih \(n\) členov te vrste, dobimo vsoto \(\frac{560}{27}\). Izračunaj \(n\) in zapiši vrsto.
    Rešitev:    \(n=4\);   vrsta: \(14+\frac{14}{3}+\frac{14}{9}+\cdots\)
36. Dana je geometrijska vrsta:   \({\displaystyle 1+\frac{x}{x+3}+\left(\frac{x}{x+3}\right)^2+\left(\frac{x}{x+3}\right)^3+\cdots}\)
    Določi realni parameter \(x\) tako, da bo vsota te neskončne vrste:
    

    (a)   enaka 3,

    (b)   enaka \(\frac{1}{3}\).

    Rešitev:    (a)  \(x=6\);     (b)  To ni možno, noben \(x\) ne ustreza.
37. V začetku leta 2007 je imela država 2 180 000 prebivalcev. V začetku leta 2014 pa je imela ta država že 2 487 000 prebivalcev. Izračunaj naravni prirastek in ugotovi, koliko prebivalcev bo imela ta država v začetku leta 2015.
    Opomba:    Upoštevaj, da število prebivalcev narašča po geometrijskem zaporedju (zakon naravne rasti).
    Rešitev:    Naravni prirastek je 19‰. V začetku leta 2015 bo imela ta država 2 534 253 prebivalcev.
38. Število prebivalcev neke države se v 41 letih podvoji. Izračunaj naravni prirastek in ugotovi, v koliko letih se število prebivalcev te države potroji.
    Opomba:    Upoštevaj, da število prebivalcev narašča po geometrijskem zaporedju (zakon naravne rasti).
    Rešitev:    Naravni prirastek je 17‰. Število prebivalcev se potroji v (približno) 65 letih.
39. Biolog goji bakterijsko kulturo, ki se hitro razmnožuje. Ob 8.00 zjutraj je bilo na gojišču 3 500 bakterij. Istega dne ob 10.00 je bilo na gojišču že 28 000 bakterij. Izračunaj:
    

    (a)   Koliko bakterij bo na gojišču tega dne ob 16.00?

    (b)   Koliko časa traja, da se število bakterij podvoji?

    (c)   Kdaj bo število bakterij preseglo 1 000 000 000?

    Opomba:    Upoštevaj, da število celic narašča po geometrijskem zaporedju (zakon naravne rasti).
    Rešitev:    (a)  Ob 16.00 bo na gojišču 14 336 000 bakterij.     (b)  Število bakterij se podvoji v 40 minutah.     (c)  To se bo zgodilo istega dne zvečer ob 20.05.
40. Gospod Janez Kransky vloži v banko 11 250 €. Banka mu ta znesek obrestuje z 2,5% obrestno mero z letnim pripisom obresti. Izračunaj:
    

    (a)   Koliko bo imel v banki po 12 letih?

    (b)   Čez koliko let bo imel v banki 16 700 €?

    Rešitev:    (a)  Po 12 letih bo imel 15 130 €.     (b)  16 700 € bo imel čez 16 let.

 Domov