Zaporedja

1. Opiši lastnosti naslednjih zaporedij (naraščanje, padanje, omejenost). Ne pozabi na dokaze.
   

   (a)   ${\displaystyle a_n=\frac{2n-1}{n+4}}$

   (b)   ${\displaystyle a_n=1+\frac{1}{n^2}}$

   (c)   ${\displaystyle a_n=\frac{3^n-1}{3^n}}$

   Rešitev:    (a)  narašča, $m=\frac{1}{5},M=2$;     (b)  pada, $m=1,M=2$;     (c)  narašča, $m=\frac{2}{3},M=1$
2. Dano je zaporedje $a_n={\log }_2(n^2+1)$. Dokaži, da to zaporedje narašča, in ugotovi, kateri členi tega zaporedja so večji od 10.
   Rešitev:    Večji od 10 so vsi členi od vključno $a_{32}$ naprej.
3. Dano je zaporedje $a_n=\frac{1}{12}{n}^2-2n+1$. Ugotovi, kateri členi tega zaporedja so pozitivni.
   Rešitev:    Pozitivni so vsi členi od vključno $a_{24}$ naprej.
4. Prvi člen v aritmetičnem zaporedju je enak 5, petnajsti člen pa je enak 243. Zapiši formulo za splošni člen in ugotovi, koliko členov tega zaporedja je manjših od 1000.
   Rešitev:    Splošni člen: $a_n=-12+17n$. Prvih 59 členov je manjših od 1000.
5. Med števili 25 in 60 vrini štiri števila, tako da dobiš končno aritmetično zaporedje.
   Rešitev:    Zaporedje: 25, 32, 39, 46, 53, 60
6. Določi parameter $x$ tako, da bodo naslednja števila prvi trije členi neskončnega aritmetičnega zaporedja: $a_1=2x+1,a_2=4x-5,a_3=5x$
   Zapiši tudi splošni člen tega zaporedja.
   Rešitev:    $x=11$;   AZ: 23, 39, 55;   $a_n=7+16n$
7. Določi realni parameter $x$ tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno aritmetično zaporedje: $2x,x^2+5,x^3-3x^2$
   Rešitev:    $x=5$;   AZ: 10, 30, 50
8. Določi realni parameter $x$ tako, da bodo naslednja števila prvi trije členi aritmetičnega zaporedja:  ${\log }_2(x-1),{\log }_2(x+3),4$.
   Rešitev:    $x=5$,    AZ: 2, 3, 4
9. Določi število $m\in \mathbb{R}$ tako, da bodo števila $\sqrt{m},m-2,m+2$ tvorila končno aritmetično zaporedje.
   Rešitev:    $m=9$,    AZ: 3, 7, 11
10. Tri števila sestavljajo končno aritmetično zaporedje. Vsota teh treh števil je 24, vsota kvadratov teh treh števil pa je 210. Poišči ta števila.
    Rešitev:    To so števila 5, 8, 11 (oziroma tudi 11, 8, 5).
11. Tri števila tvorijo končno aritmetično zaporedje. Njihova vsota je enaka $\frac{9}{4}$, vsota njihovih obratnih vrednosti pa je $\frac{13}{3}$. Določi ta števila.
    Rešitev:    To so števila $\frac{1}{2},\frac{3}{4},1$ (oziroma $1,\frac{3}{4},\frac{1}{2}$.
12. Rastoče geometrijsko zaporedje ima prvi člen enak 2 in deveti člen enak 8. Izračunaj petnajsti člen. Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    $a_{15}=16\sqrt{2}$
13. Med števili 224 in 1701 vrini štiri števila, tako da dobiš končno geometrijsko zaporedje.
    Rešitev:    Zaporedje: 224, 336, 504, 756, 1134, 1701
14. Med števili 81 in 24 vrini pet pozitivnih števil, tako da dobiš končno geometrijsko zaporedje. Zapiši točne vrednosti vrinjenih števil.
    Rešitev:    Zaporedje: $81,27\sqrt{6},54,18\sqrt{6},36,12\sqrt{6},24$
15. Določi parameter $m\in \mathbb{R}$ tako, da bodo števila $m-5,m+11,5m+7$ sestavljala končno geometrijsko zaporedje.
    Rešitev:    (1) $m_1=13$,   GZ: 8, 24, 72;      (2) $m_2=-3$,   GZ: $-8,8,-8$
16. Določi realni parameter $m$ tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje: $2,1+\sqrt{m},m-31$
    Rešitev:    $m=81$;   GZ: 2, 10, 50
17. Če vzamemo prvi, drugi in četrti člen aritmetičnega zaporedja, dobimo geometrijsko zaporedje. Vsota teh treh členov je 42. Določi ustrezno aritmetično (in geometrijsko) zaporedje.
    Rešitev:    (1)  AZ: 6, 12, 18, 24  (GZ: 6, 12, 24);      (2)  AZ: 14, 14, 14, 14  (GZ: 14, 14, 14)
18. Izračunaj vsoto vseh pozitivnih členov zaporedja $a_n=400-7n$.
    Rešitev:    $s_{57}=11229$
19. Izračunaj vsoto vseh večkratnikov števila 19, ki ležijo na intervalu $[0,1000]$.
    Rešitev:    Vsota je enaka 26 182.
20. Vsota prvih 17 členov aritmetičnega zaporedja je enaka 1972. Diferenca tega zaporedja je 12. Izračunaj prvi člen zaporedja.
    Rešitev:    $a_1=20$
21. Končno aritmetično zaporedje ima prvi člen $a_1=30$ in diferenco $d=7$. Vsota vseh členov tega končnega zaporedja je enaka 4185. Izračunaj število členov tega zaporedja.
    Rešitev:    To zaporedje ima 31 členov.
22. Reši enačbo:   $60+65+70+75+\cdots +x=3000$
    Opomba:    Na levi strani enačbe je končna aritmetična vrsta.
    Rešitev:    $x=180$
23. Dano je zaporedje $a_n=2\cdot 3^n$. Izračunaj vsoto vseh členov, ki so manjši od $100000$.
    Rešitev:    $s_9=59046$
24. Dano je geometrijsko zaporedje $a_n=3\cdot {\sqrt{2}}^{n-1}$. Izračunaj, koliko (najmanj) členov tega zaporedja moramo sešteti, da bo vsota $s_n$ presegla en milijon.
    Rešitev:    Sešteti moramo vsaj 35 členov.
25. Izračunaj:
    

    (a)   ${\displaystyle \sum _{n=1}^{75}(3n+2)}$

    (b)   ${\displaystyle \sum _{n=1}^7{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =8700$;     (b)  $\cdots =\frac{2059}{729}$
26. Dokaži, da je število ${11}^n-6$ za vsak $n\in \mathbb{N}$ deljivo s 5.
    Namig:    Pomagaj si s principom popolne indukcije.
27. Dokaži, da za $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ velja:
    

    (a)   $6|({10}^n-4)$

    (b)   $57|(7^{n+2}+8^{2n+1})$

    (c)   $64|(3^{2n+2}-8n-9)$

    Namig:    Pomagaj si s principom popolne indukcije.
28. Izračunaj vsoto končne vrste:  ${\displaystyle s_n=\frac{1}{1\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 9}+\frac{1}{9\cdot 13}+\cdots +\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}}$
    Rešitev:    $s_n=\frac{n}{4n+1}$; pravilnost formule dokaži s popolno indukcijo.
29. Zaporedje ima splošni člen ${\displaystyle a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$. Izračunaj vsoto prvih $n$ členov tega zaporedja.
    Rešitev:    $s_n=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$; pravilnost formule lahko dokažeš s popolno indukcijo, lahko (še bolj preprosto) pa tudi drugače.
30. Dokaži, da za $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ velja:
    

    (a)   ${\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}}$

    (b)   $1\cdot 2+2\cdot 5+3\cdot 8+4\cdot 11+\cdots +n(3n-1)=n^2(n+1)$

    (c)   $1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=(1+2+3+\cdots +n{)}^2$

    Namig:    Pomagaj si s principom popolne indukcije.
31. Izračunaj naslednje limite:
    

    (a)   ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2+3n-1}{n^2+5n}}$

    (b)   ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{n^2-2n}-7}{2n+\sqrt{n^2+1}}}$

    (c)   ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{n^3+n^2}+\sqrt{n^3-n^2}}{\sqrt{n^3+n+1}}}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =1$;     (b)  $\cdots =\frac{1}{3}$;     (c)  $\cdots =2$
32. Izračunaj naslednje limite:
    

    (a)   ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n-\sqrt{n^2-3n}}$

    (b)   ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2-\sqrt{n^4-n^3}}{n}}$

    (c)   ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{2n})}^{6n}}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{3}{2}$;     (b)  $\cdots =\frac{1}{2}$;     (c)  $\cdots =e^3$
33. Dano je zaporedje ${\displaystyle a_n=\frac{2n-1}{n+1}}$ in število $\epsilon ={10}^{-3}$. Izračunaj limito zaporedja in ugotovi, od (vključno) katerega člena naprej ležijo vsi nadaljnji členi zaporedja v $\epsilon$-okolici limite.
    Rešitev:    Limita je 2.   V $\epsilon$-okolici ležijo vsi členi od vključno $a_{3000}$ naprej.
34. Izračunaj vsoto neskončne geometrijske vrste (če obstaja):
    

    (a)   $72+48+32+\cdots$

    (b)   $-50+10-2+\cdots$

    (c)   $25+50+100+\cdots$

    Rešitev:    (a)  $s=216$;     (b)  $s=-41\frac{2}{3}$;     (c)  Vsota ne obstaja (oziroma je neskončna).
35. Vsota neskončne geometrijske vrste s količnikom $\frac{1}{3}$ je enaka 21. Če seštejemo le prvih $n$ členov te vrste, dobimo vsoto $\frac{560}{27}$. Izračunaj $n$ in zapiši vrsto.
    Rešitev:    $n=4$;   vrsta: $14+\frac{14}{3}+\frac{14}{9}+\cdots$
36. Dana je geometrijska vrsta:   ${\displaystyle 1+\frac{x}{x+3}+{\left(\frac{x}{x+3}\right)}^2+{\left(\frac{x}{x+3}\right)}^3+\cdots }$
    Določi realni parameter $x$ tako, da bo vsota te neskončne vrste:
    

    (a)   enaka 3,

    (b)   enaka $\frac{1}{3}$.

    Rešitev:    (a)  $x=6$;     (b)  To ni možno, noben $x$ ne ustreza.
37. V začetku leta 2007 je imela država 2 180 000 prebivalcev. V začetku leta 2014 pa je imela ta država že 2 487 000 prebivalcev. Izračunaj naravni prirastek in ugotovi, koliko prebivalcev bo imela ta država v začetku leta 2015.
    Opomba:    Upoštevaj, da število prebivalcev narašča po geometrijskem zaporedju (zakon naravne rasti).
    Rešitev:    Naravni prirastek je 19‰. V začetku leta 2015 bo imela ta država 2 534 253 prebivalcev.
38. Število prebivalcev neke države se v 41 letih podvoji. Izračunaj naravni prirastek in ugotovi, v koliko letih se število prebivalcev te države potroji.
    Opomba:    Upoštevaj, da število prebivalcev narašča po geometrijskem zaporedju (zakon naravne rasti).
    Rešitev:    Naravni prirastek je 17‰. Število prebivalcev se potroji v (približno) 65 letih.
39. Biolog goji bakterijsko kulturo, ki se hitro razmnožuje. Ob 8.00 zjutraj je bilo na gojišču 3 500 bakterij. Istega dne ob 10.00 je bilo na gojišču že 28 000 bakterij. Izračunaj:
    

    (a)   Koliko bakterij bo na gojišču tega dne ob 16.00?

    (b)   Koliko časa traja, da se število bakterij podvoji?

    (c)   Kdaj bo število bakterij preseglo 1 000 000 000?

    Opomba:    Upoštevaj, da število celic narašča po geometrijskem zaporedju (zakon naravne rasti).
    Rešitev:    (a)  Ob 16.00 bo na gojišču 14 336 000 bakterij.     (b)  Število bakterij se podvoji v 40 minutah.     (c)  To se bo zgodilo istega dne zvečer ob 20.05.
40. Gospod Janez Kransky vloži v banko 11 250 €. Banka mu ta znesek obrestuje z 2,5% obrestno mero z letnim pripisom obresti. Izračunaj:
    

    (a)   Koliko bo imel v banki po 12 letih?

    (b)   Čez koliko let bo imel v banki 16 700 €?

    Rešitev:    (a)  Po 12 letih bo imel 15 130 €.     (b)  16 700 € bo imel čez 16 let.

 Domov