-
Na listkih imamo napisane črke P, O, K, E, R. Listke premešamo
in jih po naključnem vrstnem redu postavimo v vrsto, tako da dobimo besedo. Izračunaj verjetnosti dogodkov:
A: da dobimo besedo KOPER,
B: da dobimo besedo, ki se začne na soglasnik.
Rešitev:
\(P(A)=\frac{1}{120}\doteq0,\!83\%,~~ P(B)=\frac{3}{5}=60\%\)
-
Obalno mesto ima točno 5000 prebivalcev. Med njimi je 2400 oseb, ki berejo revijo
Dopoldanski dogodki. Revijo Popoldanska poročila bere 2800 oseb. Takih, ki berejo obe reviji, je 800.
Izmed prebivalcev tega mesta na slepo izberemo enega. Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov:
A: ta prebivalec bere obe reviji,
B: ta prebivalec bere točno eno od navedenih revij,
C: ta prebivalec ne bere nobene od navedenih revij.
Rešitev:
\(P(A)=\frac{4}{25}=16\%,~ P(B)=\frac{18}{25}=72\%,~ P(C)=\frac{3}{25}=12\%\)
-
Na šoli je 144 učencev. Učenci lahko obiskujejo fizikalni, biološki in kemijski krožek. Fizikalni
krožek obiskuje 41 učencev, biološki krožek obiskuje 37 učencev, kemijski krožek pa 42 učencev.
Fizikalni in biološki krožek obiskuje 14 učencev. Biološki in kemijski krožek obiskuje 16
učencev. Kemijski in fizikalni krožek obiskuje 18 učencev. Vse tri krožke obiskuje 10 učencev.
Na slepo izberemo enega od učencev s te šole. Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov:
A: izbrani učenec obiskuje točno en krožek,
B: izbrani učenec obiskuje točno dva krožka.
Rešitev:
\(P(A)=\frac{3}{8}=37,\!5\%,~~ P(B)=\frac{1}{8}=12,\!5\%\)
-
Na slepo si izberemo celo število med 1 in 60 (vključno).
Izračunaj verjetnost, da je izbrano število deljivo s štiri ali s šest.
Rešitev:
\(P(A)=\frac{1}{3}\doteq 33,\!33\%\)
-
V bobnu za žrebanje so žogice označene s celimi števili od 1 do 20 (vključno). Iz bobna izžrebamo dve števili hkrati.
Izračunaj verjetnost, da je vsota obeh števil enaka 16.
Rešitev:
\(P(A)=\frac{7}{190}\doteq 3,\!68\%\)
-
Kolo sreče ima na obodu cela števila od 1 do 20 (vključno). Kolo sreče zavrtimo dvakrat in tako dobimo dve števili.
Izračunaj verjetnost, da je vsota obeh števil enaka 16.
Rešitev:
\(P(A)=\frac{3}{80}\doteq 3,\!75\%\)
-
Kolo sreče je označeno s celimi števili od vključno 1 do vključno 20. Kolo sreče zavrtimo dvakrat
in tako dobimo dve števili. Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov:
A: prvo število je praštevilo, drugo pa ne,
B: števili sta enaki,
C: prvo število je večje od drugega.
Rešitev:
\(P(A)=\frac{6}{25}=24\%,~ P(B)=\frac{1}{20}=5\%,~
P(C)=\frac{19}{40}=47.5\%\)
-
V posodi je pet belih žogic, tri črne in dve zeleni. Iz posode na slepo vzamemo tri žogice hkrati.
Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov in jih zaokroži na stotinko procenta:
A: točno ena od izvlečenih žogic je bela,
B: vsaj dve od izvlečenih žogic sta črni,
C: vse tri izvlečene žogice so enake barve.
Rešitev:
\(P(A)\doteq41,\!67\%,~~ P(B)\doteq18,\!33\%,~~ P(C)\doteq9,\!17\%\)
-
V posodi je 8 belih in 4 črne kroglice. Iz posode na slepo eno za drugo izvlečemo tri
kroglice (brez vračanja). Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov:
A: Prva kroglica je bela, ostali dve pa sta črni.
B: Vsaj ena kroglica je črna.
C: Točno dve kroglici sta med sabo enake barve.
Rešitev:
\(P(A)=\frac{4}{55}\doteq7.27\%,~~ P(B)=\frac{41}{55}\doteq74.55\%,~~ P(C)=\frac{8}{11}\doteq72.73\%\)
-
V razredu je 11 fantov (eden od njih je Andraž) in 16 deklet (ena od njih je Bojana). Izmed njih
izžrebamo štiričlansko delegacijo. Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov (rezultate zaokroži na
stotinko procenta):
A: v delegaciji sta tudi Andraž in Bojana,
B: v delegaciji je točno eden od njiju,
C: Bojana je edina ženska v delegaciji.
Rešitev:
\(P(A)\doteq1,\!71\%,~ P(B)\doteq26,\!21\%,~ P(C)\doteq0,\!94\%\)
-
V resničnostnem šovu sodelujejo 4 dekleta in 4 fantje. Ena od deklet je Anja in eden od fantov je Brane.
V začetku oddaje se vseh 8 postavi v vrsto – vrstni red organizatorji izžrebajo.
Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov
(rezultate zaokroži na stotinko procenta):
A: Anja in Brane stojita skupaj,
B: vsa dekleta stojijo skupaj,
C: vsa dekleta stojijo skupaj in vsi fantje stojijo skupaj.
Rešitev:
\(P(A)=\frac{1}{4}=25\%,~~ P(B)=\frac{1}{14}\doteq7.14\%,~~ P(C)=\frac{1}{35}\doteq2.86\%\)
-
Doma imamo tri matematične, dva kemijska in tri fizikalne priročnike.
Ne da bi pazili na vrstni red, jih zložimo na polico. Izračunaj, kolikšna je verjetnost, da bodo
matematični priročniki skupaj, kemijski skupaj in fizikalni skupaj.
Rezultat zaokroži na tri mesta.
Rešitev:
\(P(A)\doteq1,\!07\%\)
-
Marjetica ima 5 slovenskih in 4 angleške romane. Po naključnem vrstnem redu jih zloži na
knjižno polico. Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov
(rezultate zaokroži na stotinko odstotka):
\(A\): slovenske knjige stojijo skupaj
\(B\): angleške knjige stojijo skupaj
\(C = A\cap B\)
Rešitev:
\(P(A)=\frac{5}{126}\doteq3.97\%,~~ P(B)=\frac{1}{21}\doteq4.76\%,~~
P(C)=\frac{1}{63}\doteq1.59\%\)
-
Na svetovnem prvenstvu v balinanju sodeluje 10 držav, med njimi tudi
Slovenija in Madžarska. Organizatorji bodo razdelili sodelujoče države z žrebom v dve skupini po 5
držav. Izračunaj verjetnost, da bosta Slovenija in Madžarska v isti skupini.
Rezultat zaokroži na štiri mesta.
Rešitev:
\(P(A)=\frac{4}{9}\doteq44,\!44\%\)
-
Na svetovnem prvenstvu v curlingu sodeluje 5 ekip iz Evrope, 3 ekipe iz Azije in 4 ekipe iz Amerike.
Ekipe z žrebom razdelijo v tri tekmovalne skupine: prvo, drugo in tretjo. V vsaki skupini so štiri ekipe.
Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov (zaokroži jih na stotinko odstotka):
A: v prvi skupini so samo ekipe iz Evrope,
B: v prvi tekmovalni skupini so ekipe z vseh treh sodelujočih celin,
C: v prvi tekmovalni skupini je vsaj ena ekipa iz Azije.
Rešitev:
\(P(A)=\frac{5}{495}=\frac{1}{99}\doteq1.01\%,~~
P(B)=\frac{270}{495}=\frac{6}{11}\doteq54.55\%,~~
P(C)=\frac{369}{495}=\frac{41}{55}\doteq74.55\%\)
-
Janezek se je pripravljal na maturo iz matematike. Izmed 250 ustnih vprašanj, ki so v
Katalogu za maturo, jih obvlada 150. Pri ustnem izpitu bo moral odgovoriti na tri naključno izbrana
vprašanja iz Kataloga za maturo. Izračunaj verjetnost, da bo obvladal vsaj dve.
Rezultat zaokroži na stotinko procenta.
Rešitev:
\(P(A)\doteq64,\!86\%\)
-
Osnovno šolo Jurij Vega obiskuje 200 učencev. Matematični krožek
obiskuje 96, fizikalni krožek pa obiskuje 66 učencev te šole. Oba krožka obiskuje
42 učencev.
(a) Izračunaj verjetnost, da naključno izbrani učenec obiskuje matematični krožek.
(b) Izračunaj verjetnost, da naključno izbrani učenec obiskuje točno en krožek.
(c) Izračunaj verjetnost, da naključno izbrani učenec obiskuje vsaj en krožek.
(d) Izračunaj verjetnost, da naključno izbrani učenec obiskuje matematični krožek, pri pogoju,
da veš, da obiskuje vsaj en krožek.
Rešitev:
(a) \(P(A)=48\%\),
(b) \(P(B)=39\%\),
(c) \(P(C)=60\%\),
(d) \(P(A/C)=80\%\)
-
V razredu je 30 učencev: 12 učencev ima odlično oceno pri matematiki,
10 učencev ima odlično oceno pri angleščini,
3 učenci so odlični pri matematiki in pri angleščini.
(a) Izračunaj verjetnost, da je naključno izbrani učenec odličen pri matematiki, če veš, da je odličen pri angleščini.
(b) Izračunaj verjetnost, da je naključno izbrani učenec odličen pri angleščini, če veš, da je odličen pri matematiki.
Rešitev:
(a) \(P(M/A)=\frac{3}{10}=30\%\),
(b) \(P(A/M)=\frac{1}{4}=25\%\)
-
Dana je množica \(\mathcal{M}=\{n\in\mathrm{I\!N};~ n\leqslant60\}\). Iz te množice na slepo izberemo eno število in
opazujemo naslednja dogodka:
A: izbrano število je deljivo s 3,
B: izbrano število je deljivo s 4.
Izračunaj \(P(A)\) in \(P(B)\) ter računsko preveri, če sta dogodka \(A\) in \(B\) odvisna ali ne.
Rešitev:
\(P(A)=\frac{20}{60}=\frac{1}{3},~ P(B)=\frac{15}{60}=\frac{1}{4},~ P(AB)=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}\)
Dogodka sta neodvisna, saj je \(P(AB)= P(A)\cdot P(B)\).
-
Dana je množica \(\mathcal{M}=\{n\in\mathrm{I\!N};~ n\leqslant50\}\). Iz te množice na slepo izberemo eno število in
opazujemo naslednja dogodka:
A: izbrano število je deljivo s 6,
B: izbrano število je deljivo z 8.
Izračunaj \(P(A)\) in \(P(B)\) ter računsko preveri, če sta dogodka \(A\) in \(B\) odvisna ali ne.
Rešitev:
\(P(A)=\frac{8}{50}=16\%,~ P(B)=\frac{6}{50}=12\%,~ P(AB)=\frac{2}{50}=4\%\)
Dogodka sta odvisna, saj je \(P(AB)\ne P(A)\cdot P(B)\).
-
Na šoli poučuje 40 profesorjev, med njimi sta tudi profesor Dobrič in profesor Zlobec.
Izmed njih z žrebom izberemo tričlansko komisijo za popravni izpit.
Izračunaj verjetnosti naslednjih dveh dogodkov:
A: profesor Dobrič je član te komisije,
B: profesor Zlobec ni član te komisije.
Nato izračunaj še verjetnost dogodka AB in ugotovi, ali sta dogodka A in B odvisna ali neodvisna.
Rešitev:
\(P(A)=\frac{3}{40}=7,\!5\%,~ P(B)=\frac{37}{40}=92,\!5\%,~ P(AB)=\frac{37}{520}\doteq7,\!12\%.\)
Dogodka sta odvisna. Če bi bila neodvisna, bi moralo veljati \(P(AB)=P(A)\cdot P(B)\).
-
Dana je enačba: \(x^2 (x^2-4x+3)=2x (x^2-4x+3)\)
(a) Reši to enačbo.
(b) Vse rešitve te enačbe zapišemo na kartončke (na vsak kartonček po eno rešitev). Kartončke nato
premešamo in jih na slepo zložimo v vrsto – enega za drugim. Izračunaj verjetnosti dogodkov:
A: najmanjša rešitev je na začetku vrste,
B: rešitve so urejene po velikosti od najmanjše do največje.
Rešitev:
(a) \(x_1=0,~ x_2=1,~ x_3=2,~ x_4=3\) (Namig: Izpostavi.)
(b) \(P(A)=\frac{1}{4},~ P(B)=\frac{1}{24}\)
-
Dana je množica \(A=\{1, 2, 3, 4, 5\}\). Na listke zapišemo vse podmnožice množice \(A\)
(na vsak listek zapišemo točno eno podmnožico). Potem na slepo izberemo en listek in
pogledamo zapisano podmnožico.
Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov:
A: izbrana podmnožica vsebuje element 1,
B: izbrana podmnožica ima moč enako 3,
C: izbrana podmnožica ima moč kvečjemu 3.
Rešitev:
\(P(A)=\frac{1}{2}=50\%,~ P(B)=\frac{5}{16}=31.25\%,~ P(C)=\frac{13}{16}=81.25\%\)
-
Mojca se pripravlja na test iz matematike. Test bo sestavljen iz petih nalog: tri naloge bodo iz aritmetike,
dve pa iz geometrije (naloge so med sabo nepovezane oziroma neodvisne). Mojca zna rešiti
90% nalog iz aritmetike in 80% nalog iz geometrije. Izračunaj verjetnosti naslednjih dogodkov in jih
zaokroži na desetinko odstotka:
A: Mojca bo rešila vseh pet nalog,
B: Mojca bo rešila točno štiri naloge,
C: Mojca bo rešila točno dve nalogi iz aritmetike in točno eno iz geometrije.
Rešitev:
\(P(A)\doteq46.7\%,~ P(B)\doteq38.9\%,~ P(C)\doteq7.8\%\)
-
Janja je začela trenirati košarko. Koš zadane povprečno v 15% poskusov. Danes je desetkrat poskusila zadeti koš.
(a) Izračunaj verjetnost, da je zadela vsaj enkrat.
(b) Izračunaj verjetnost, da je zadela vsaj dvakrat.
Rezultata zaokroži na štiri mesta.
Rešitev:
(a) \(P\doteq80.31\%\)
(b) \(P\doteq45.57\%\)
-
V kabinetu so 4 prijazni in 8 neprijaznih učiteljev. Med glavnim odmorom sedemkrat trkaš na vrata kabineta.
Izračunaj verjetnost, da ti vsaj dvakrat odpre prijazen učitelj. (Opomba: Učitelji hodijo odpret vrata naključno
– brez dogovora o vrstnem redu.)
Rešitev:
\(P(A)=\frac{179}{243}\doteq73,\!66\%\)
-
Pri rojstvu otroka je verjetnost, da je ta otrok fantek, enaka 52%, verjetnost, da je punčka, pa je 48%.
Naključno izberemo družino, ki ima štiri otroke. Izračunaj verjetnost naslednjih
dogodkov (rezultata zaokroži na štiri mesta natančno):
A: med otroki v tej družini sta dva fantka in dve punčki,
B: med otroki v tej družini so točno trije istega spola.
Rešitev:
\(P(A)\doteq37.38\%,~ P(B)\doteq50.00\%\)
-
V treh posodah imamo po 5 belih in 2 črni kroglici. Iz vsake posode
na slepo izvlečemo po eno kroglico. Zanima nas število črnih kroglic, ki jih pri tem dobimo.
Zapiši v obliki tabele verjetnosti, da smo izvlekli 0, 1, 2 oziroma 3 črne kroglice.
Rešitev:
\(\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline
\mathrm{število~črnih} & 0 & 1 & 2 & 3 \cr\hline
\mathrm{verjetnost} & 36,\!44\% & 43,\!73\% & 17,\!49\% & 2,\!33\% \cr\hline
\end{array}\)
-
Pri testu je treba rešiti tri naloge: eno iz kombinatorike, eno iz verjetnostnega računa in eno iz statistike.
Verjetnost, da pravilno rešiš nalogo iz kombinatorike je 65%. Verjetnost, da pravilno rešiš nalogo iz
verjetnostnega računa je 70%. Verjetnost, da pravilno rešiš nalogo iz statistike pa je 80%. Podaj v obliki tabele
verjetnost, da rešiš 0, 1, 2 oziroma 3 naloge.
Rešitev:
\(\begin{array}{|l|c|c|c|c|}\hline
\mathrm{število~rešenih~nalog} & 0 & 1 & 2 & 3 \cr\hline
\mathrm{verjetnost} & 2,\!1\% & 17,\!2\% & 44,\!3\% & 36,\!4\% \cr\hline
\end{array}\)
-
Ob koncu šolskega leta je bilo na šoli 40 negativnih učencev: 13 jih je
imelo po eno negativno oceno, 10 po dve, 7 po tri, 5 po štiri, 4 po pet in 1 učenec je imel šest
negativnih ocen. Predstavi porazdelitev negativnih ocen:
(a) s stolpčnim diagramom,
(b) s frekvenčnim poligonom,
(c) s frekvenčnim kolačem.
-
Znano je, da ima himalajski bor zelo velike storže. Skupina biologov je danes nabrala nekaj teh storžev.
Izmerili so jih in njihove dolžine (v cm) so navedene spodaj:
15, 16, 17, 17, 19, 20, 22, 26, 26, 30, 31, 32
(a) Določi mediano in kvartile.
(b) Nariši kvartilni diagram.
Rešitev:
(a) Mediana: \(Me=21\), kvartili: \(Q_1=17,~ Q_2=21,~ Q_3=28\)
-
Učenci iz razreda 4.ž so pisali test iz matematike. Oceno odlično je dobilo 8% učencev, oceno
prav dobro je dobilo 24% učencev, oceno dobro je dobilo 32% učencev, oceno zadostno pa 16%.
Ostalih 5 učencev je dobilo oceno nezadostno. Izračunaj povprečno oceno.
Rešitev:
\(\overline{\,x\,}=2,\!84\)
-
V razredu je 30 učencev. Učenci se lahko naročijo na tri revije: Astronomija, Botanika in
Cvetličarstvo. Vsaka od revij ima (v tem razredu) 12 naročnikov. Štirje učenci so naročeni
na vse tri revije. Učencev, ki so naročeni na Astronomijo in Botaniko, je 6. Učencev,
ki so naročeni na Astronomijo in Cvetličarstvo, je 7. Učencev, ki so naročeni na
Botaniko in Cvetličarstvo, je 8.
(a) S stolpčnim diagramom prikaži, koliko učencev je naročenih na 0, 1, 2 oziroma 3 revije.
(b) Izračunaj povprečno število revij, na katere je naročen učenec tega razred.
Rešitev:
(b) \(\overline{\,x\,}=1,\!2\)
-
Pri testu je šest učencev dobilo oceno 5, osem jih je dobilo oceno 4,
pet oceno 3 in dva sta dobila oceno 2. Povprečna ocena pri tem testu je bila \(3,\!4\).
(a) Izračunaj, koliko jih je dobilo oceno 1.
(b) Izračunaj standardni odklon. Zaokroži ga na tri decimalke.
Rešitev:
(a) Štirje so dobili oceno 1.
(b) \(\sigma\doteq1,\!356\)
-
Tržna inšpekcija je opravila kontrolo izdelkov v trgovini. Na slepo so izbrali 25 zavitkov moke
(ki naj bi vsebovali po 1 kg) in jih stehtali. Rezultate prikazuje spodnja tabela. Izračunaj
povprečno maso zavitka in standardni odklon.
\(\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline
\mathrm{masa~posameznega~zavitka}
& 0.98~\mathrm{kg} & 0.99~\mathrm{kg} & 1.00~\mathrm{kg} & 1.01~\mathrm{kg} & 1.02~\mathrm{kg} \cr\hline
\mathrm{število~takih~zavitkov}
& 1 & 2 & 1 & 13 & 8 \cr\hline
\end{array}\)
Rešitev:
\(\overline{\,x\,}=1.01~\mathrm{kg},~ \sigma\doteq0.0102~\mathrm{kg}\)
