Odvod

1. Izračunaj limite funkcij:
   

   (a)   ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{2x^2-3x-2}{3x^2-4x-4}}$

   (b)   ${\displaystyle \underset{x\to 4}{lim}\frac{2-\sqrt{x}}{x-4}}$

   (c)   ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-\sqrt{x^4-5x^3}}{x}}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{5}{8}$,     (b)  $\cdots =-\frac{1}{4}$,     (c)  $\cdots =\frac{5}{2}$
2. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
   

   (a)   $f(x)=x^4-2x^3+5x^2-x+7$

   (b)   $f(x)=(x-3)(x-2)(x+2)$

   (c)   $f(x)=(x^2+5{)}^2$

   Rešitev:    (a)  $f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2+10x-1$,     (b)  $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-4$,     (c)  $f^{\prime }(x)=4x^3+20x$
3. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
   

   (a)   $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}$

   (b)   $f(x)=4\sqrt{x}+\sqrt{x^3}$

   (c)   $f(x)=x^2\sqrt{x}+x\sqrt[3]{x}$

   Rešitev:    (a)  $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{6}{x^3}$,     (b)  $f^{\prime }(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3\sqrt{x}}{2}$,     (c)  $f^{\prime }(x)=\frac{5}{2}x\sqrt{x}+\frac{4}{3}\sqrt[3]{x}$
4. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
   

   (a)   $f(x)=2\sin x+3\cos x+5e^x-\ln x$

   (b)   $f(x)=(x^2+4x+1)\sin x$

   (c)   $f(x)=x^3{e}^x\sqrt{x}$

   Rešitev:    (a)  $f^{\prime }(x)=2\cos x-3\sin x+5e^x-\frac{1}{x}$,     (b)  $f^{\prime }(x)=(2x+4)\sin x+(x^2+4x+1)\cos x$,     (c)  $f^{\prime }(x)=\frac{7}{2}{x}^2{e}^x\sqrt{x}+x^3{e}^x\sqrt{x}$
5. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
   

   (a)   $f(x)=\frac{x^4+3x^2+2x}{5}$

   (b)   $f(x)=\frac{1}{x^2+2}$

   (c)   $f(x)=\frac{x^2+x}{2x-1}$

   (d)   $f(x)=\frac{x}{\sin x}$

   Rešitev:    (a)  $f^{\prime }(x)=\frac{4x^3+6x+2}{5}$,     (b)  $f^{\prime }(x)=-\frac{2x}{x^4+4x^2+4}$,     (c)  $f^{\prime }(x)=\frac{2x^2-2x-1}{4x^2-4x+1}$,     (d)  $f^{\prime }(x)=\frac{\sin x-x\cos x}{{\sin }^{2}x}$
6. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
   

   (a)   $f(x)=\cos (3x-\frac{\pi }{4})$

   (b)   $f(x)=\sqrt{x^2+9}$

   (c)   $f(x)=\ln (5x-3)$

   (d)   $f(x)=e^{x^2+5x-3}$

   Rešitev:    (a)  $f^{\prime }(x)=-3\sin (3x-\frac{\pi }{4})$,     (b)  $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$,     (c)  $f^{\prime }(x)=\frac{5}{5x-3}$,     (d)  $f^{\prime }(x)=(2x+5)e^{x^2+5x-3}$
7. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
   

   (a)   $f(x)=3^x$

   (b)   $f(x)=\log (x+5)$

   (c)   $f(x)=\tan 2x$

   Rešitev:    (a)  $f^{\prime }(x)=3^x\ln 3$,     (b)  $f^{\prime }(x)=\frac{1}{(x+5)\ln 10}$,     (c)  $f^{\prime }(x)=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}$
8. Dana je funkcija $f(x)=(x+1)\sqrt[3]{x}$. Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v točki z absciso $x=8$.
   Rešitev:    Tangenta:  $y=\frac{11}{4}x-4$
9. Dana je funkcija $f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{x}}}$. Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije pri $x_0=3$.
   Rezultat naj bo primerno poenostavljen in racionaliziran.
   Rešitev:    Tangenta:  $y=\frac{\sqrt{3}}{9}x+\sqrt{3}$
10. Zapiši enačbo tangente na krivuljo $y={\displaystyle \frac{x\ln x}{4}}$ v točki $T_0(1,y_0)$.
    Rešitev:    Tangenta:  $y=\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}$
11. Dana je funkcija $f(x)=\cos 2x$. Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v ničli z najmanjšo pozitivno absciso.
    Rešitev:    Tangenta:  $y=-2x+\frac{\pi }{2}$
12. Dana je funkcija $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{{\cos }^{2}x+\frac{1}{2}}}}$. Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v točki $x=\frac{\pi }{4}$.
    Rešitev:    Tangenta:  $y=\frac{1}{3}x+1-\frac{\pi }{12}$
13. Dana je funkcija $f(x)={\displaystyle \frac{x\ln x-1}{x^2+4}}$. Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v točki $T(1,y)$.
    Rešitev:    Tangenta:  $y=\frac{7}{25}x-\frac{12}{25}$
14. Dana je krivulja $x^2-y^2=-9$. Nariši to krivuljo in zapiši enačbo tangente na krivuljo v točki $T(4,5)$.
    Rešitev:    Tangenta:  $y=\frac{4}{5}x+\frac{9}{5}$
15. Ugotovi, v kateri točki ima graf funkcije $f(x)=x\sqrt{x}$ tangento vzporedno premici $y=3x$. Zapiši to točko in enačbo ustrezne tangente.
    Rešitev:    Točka: $T(4,8)$,  tangenta:  $y=3x-4$
16. Dan je polinom $p(x)=x^3-2x^2-2x+1$. Na grafu tega polinoma ležita točki $T_1$ in $T_2$, v katerih je tangenta na graf polinoma vzporedna premici $y=2x$. Izračunaj abscisi točk $T_1$ in $T_2$.
    Rešitev:    $x_1=2,x_2=-\frac{2}{3}$
17. Dana je funkcija $f(x)=\sin 2x$. Zapiši abscise vseh točk, v katerih ima graf funkcije tangente vzporedne simetrali lihih kvadrantov.
    Rešitev:    $x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$
18. Zapiši enačbo normale na graf funkcije $f(x)=\frac{6}{x}$ pri $x=3$.
    Rešitev:    Normala:  $y=\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}$
19. Zapiši enačbo normale na krivuljo $y=\frac{8}{4+x^2}$ v točki $T(2,y)$.
    Rešitev:    Normala:  $y=2x-3$
20. Dana je funkcija $f(x)=e^x$. Ugotovi, v kateri točki ima graf te funkcije normalo, ki je vzporedna simetrali sodih kvadrantov.
    Rešitev:    V točki $T(0,1)$
21. Dana je funkcija $f(x)=x^2+2x+1$.
    

    (a)   Nariši graf te funkcije.

    (b)   Zapiši enačbo normale na graf te funkcije pri $x=0$.

    (c)   Izračunaj kot, ki ga ta normala oklepa z grafom funkcije v drugem presečišču.

    Rešitev:    (b)  Normala:  $y=-\frac{1}{2}x+1$,     (c)  $\phi ={45}^{\circ }$ (pri $x=-\frac{5}{2}$)
22. Zapiši enačbo normale na krivuljo ${\left(\frac{x}{5}\right)}^2+{\left(\frac{y+2}{4}\right)}^2=1$ v točki $x_0=4,y_0>0$.
    Rešitev:    Normala:  $y=\frac{15}{16}x-\frac{67}{20}$
23. Izračunaj naklonski kot tangente na graf funkcije $f(x)=\sqrt{x}$ v točkah $A(9,3)$ in $B(0,0)$.
    Rešitev:    V točki $A$ je ${\alpha }_1\doteq 9^{\circ }{28}^{\prime }$,  v točki $B$ je ${\alpha }_2={90}^{\circ }$.
24. Dana je funkcija $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{(x+1{)}^3}}}$. Izračunaj naklonski kot tangente na graf te funkcije pri $x=3$. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    Naklonski kot:  $\alpha \doteq -2^{\circ }{41}^{\prime }$ oziroma ${\alpha }^{\prime }\doteq {177}^{\circ }{19}^{\prime }$
25. Dana je funkcija $f(x)={\displaystyle \sin \frac{2x+\pi }{3}}$. Izračunaj kot, ki ga oklepata graf funkcije in ordinatna os. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    Kot:  $\phi \doteq {71}^{\circ }{34}^{\prime }$
26. Izračunaj kot med grafom funkcije $f(x)=\ln (2x-3)$ in abscisno osjo. Rezultat zaokroži na stotinko stopinje.
    Rešitev:    Kot:  $\phi \doteq 63,{43}^{\circ }$
27. Izračunaj, v kateri točki se sekata graf funkcije $f(x)={\log }_{2}x+2$ in premica $p:y=5$. Izračunaj tudi, kolikšen kot oklepata. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    Presečišče:  $P(8,5)$,  kot:  $\phi \doteq {10}^{\circ }{13}^{\prime }$
28. Dani sta funkciji $f(x)=x^3$ in $g(x)=x^2-4x+4$. Izračunaj, v kateri točki se sekata grafa teh dveh funkcij in kolikšen kot oklepata.
    Rešitev:    Presečišče:  $P(1,1)$,  kot:  $\phi ={45}^{\circ }$
29. Dani sta funkciji $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x-1}}$ in $g(x)=-x+4$. Izračunaj, v kateri točki se sekata grafa teh dveh funkcij in kolikšen kot oklepata.
    Rešitev:    Presečišče:  $P(2,2)$,  kot:  $\phi =0^{\circ }$    (Opomba: $\phi =0^{\circ }$ zato, ker je $g$ tangenta na graf funkcije $f$.)
30. Dani sta funkciji $f(x)=\sqrt{4-x}$ in $g(x)=2x-5$. Izračunaj, v kateri točki se sekata grafa teh dveh funkcij in kolikšen kot oklepata.
    Rešitev:    Presečišče:  $P(3,1)$,  kot:  $\phi ={90}^{\circ }$
31. Določi stacionarne točke in nariši graf funkcije:   $f(x)=2x^3+3x^2+2$
    Rešitev:    Maksimum: $T_1(-1,3)$,  minimum: $T_2(0,2)$
32. Določi stacionarne točke funkcije:   $f(x)=x^5-15x^3-2$
    Rešitev:    Maksimum: $T_1(-3,160)$,  vodoravni prevoj: $T_2(0,-2)$,  minimum: $T_3(3,-164)$
33. Izračunaj stacionarne točke, zapiši enačbo asimptote in nariši graf funkcije:   $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+3}{x^2-3x}}$
    Rešitev:    Maksimum: $T_1(1,-2)$,  minimum: $T_2(-3,\frac{2}{3})$,  asimptota: $y=1$ (graf jo seka pri $x=-1$)
34. Izračunaj stacionarne točke, zapiši enačbo asimptote in nariši graf funkcije:   $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-2x+2}{x^2}}$
    Rešitev:    Minimum: $T(2,\frac{1}{2})$,  asimptota: $y=1$ (graf jo seka pri $x=1$)
35. Izračunaj vse stacionarne točke funkcije:   $f(x)=(x-4)\sqrt[3]{x}$
    Določi tudi, kakšne vrste so dobljene stacionarne točke.
    Rešitev:    Minimum: $T(1,-3)$
36. Izračunaj vse stacionarne točke funkcije:   $f(x)=x\ln x$
    Določi tudi, kakšne vrste so dobljene stacionarne točke.
    Rešitev:    Minimum: $T(\frac{1}{e},-\frac{1}{e})$
37. Izračunaj, v kateri točki je lokalni maksimum funkcije:   $f(x)=x^2{e}^{-x}$
    Koordinati točke naj bosta točni.
    Rešitev:    Maksimum: $T(2,4e^{-2})$
38. Izračunaj lokalni maksimum funkcije:   $f(x)=x{e}^{x-x^2}$
    Rešitev:    Maksimum: $T(1,1)$    (Opomba: Pri $x=-\frac{1}{2}$ je minimum.)
39. Dana je funkcija $f(x)=1-5x+2x^2-x^3$. Računsko ugotovi, kje ta funkcija narašča in kje pada.
    Rešitev:    Povsod pada, nikjer ne narašča.
40. Dana je funkcija $f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$.
    

    (a)   Izračunaj stacionarne točke te funkcije.

    (b)   Nariši graf funkcije.

    (c)   Določi intervale naraščanja in padanja.

    (d)   Določi intervale konveksnosti in konkavnosti.

    Rešitev:    (a)  Minimum $T_1(-1,-1)$, maksimum $T_2(1,1)$     (c)  narašča na $[-1,1]$, pada na $(-\mathrm{\infty },-1]$ in na $[1,\mathrm{\infty })$     (d)  konveksna je na $[-\sqrt{3},0]$ in na $[\sqrt{3},\mathrm{\infty })$, konkavna pa je na $(-\mathrm{\infty },-\sqrt{3}]$ in na $[0,\sqrt{3}]$

 Domov