Odvod

1. Izračunaj limite funkcij:
   

   (a)   \({\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{2x^2-3x-2}{3x^2-4x-4}}\)

   (b)   \({\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{2-\sqrt{x}}{x-4}}\)

   (c)   \({\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-\sqrt{x^4-5x^3}}{x}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{5}{8}\),     (b)  \(\cdots=-\frac{1}{4}\),     (c)  \(\cdots=\frac{5}{2}\)
2. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
   

   (a)   \(f(x)=x^4-2x^3+5x^2-x+7\)

   (b)   \(f(x)=(x-3)(x-2)(x+2)\)

   (c)   \(f(x)=(x^2+5)^2\)

   Rešitev:    (a)  \(f'(x)=4x^3-6x^2+10x-1\),     (b)  \(f'(x)=3x^2-6x-4\),     (c)  \(f'(x)=4x^3+20x\)
3. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
   

   (a)   \(f(x)=\frac{\textstyle 1}{\textstyle x}+\frac{\textstyle 3}{\textstyle x^2}\)

   (b)   \(f(x)=4\sqrt{x}+\sqrt{x^3}\)

   (c)   \(f(x)=x^2\,\sqrt{x}+x\,\sqrt[\scriptstyle3]{x}\)

   Rešitev:    (a)  \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{6}{x^3}\),     (b)  \(f'(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3\sqrt{x}}{2}\),     (c)  \(f'(x)=\frac{5}{2}x\sqrt{x}+\frac{4}{3}\sqrt[3]{x}\)
4. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
   

   (a)   \(f(x)=2\sin x+3\cos x+5e^x-\ln x\)

   (b)   \(f(x)=(x^2+4x+1)\sin x\)

   (c)   \(f(x)=x^3e^x\sqrt{x}\)

   Rešitev:    (a)  \(f'(x)=2\cos x-3\sin x+5e^x-\frac{1}{x}\),     (b)  \(f'(x)=(2x+4)\sin x+ (x^2+4x+1)\cos x\),     (c)  \(f'(x)=\frac{7}{2}x^2e^x\sqrt{x}+x^3e^x\sqrt{x}\)
5. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
   

   (a)   \(f(x)=\frac{\textstyle x^4+3x^2+2x}{\textstyle5}\)

   (b)   \(f(x)=\frac{\textstyle 1}{\textstyle x^2+2}\)

   (c)   \(f(x)=\frac{\textstyle x^2+x}{\textstyle 2x-1}\)

   (d)   \(f(x)=\frac{\textstyle x}{\textstyle \sin x}\)

   Rešitev:    (a)  \(f'(x)=\frac{4x^3+6x+2}{5}\),     (b)  \(f'(x)=-\frac{2x}{x^4+4x^2+4}\),     (c)  \(f'(x)=\frac{2x^2-2x-1}{4x^2-4x+1}\),     (d)  \(f'(x)=\frac{\sin x-x\cos x}{\sin^2x}\)
6. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
   

   (a)   \(f(x)=\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)\)

   (b)   \(f(x)=\sqrt{x^2+9}\)

   (c)   \(f(x)=\ln(5x-3)\)

   (d)   \(f(x)=e^{x^2+5x-3}\)

   Rešitev:    (a)  \(f'(x)=-3\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)\),     (b)  \(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}\),     (c)  \(f'(x)=\frac{5}{5x-3}\),     (d)  \(f'(x)=(2x+5)e^{x^2+5x-3}\)
7. Izračunaj odvode naslednjih funkcij:
   

   (a)   \(f(x)=3^x\)

   (b)   \(f(x)=\log(x+5)\)

   (c)   \(f(x)=\tan2x\)

   Rešitev:    (a)  \(f'(x)=3^x\,\ln 3\),     (b)  \(f'(x)=\frac{1}{(x+5)\ln 10}\),     (c)  \(f'(x)=\frac{2}{\cos^2 2x}\)
8. Dana je funkcija \(f(x)=(x+1)\,\sqrt[\scriptstyle3]{x}\). Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v točki z absciso \(x=8\).
   Rešitev:    Tangenta:  \(y=\frac{11}{4}x-4\)
9. Dana je funkcija \(f(x)={\displaystyle\frac{x+1}{\sqrt{x}}}\). Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije pri \(x_0=3\).
   Rezultat naj bo primerno poenostavljen in racionaliziran.
   Rešitev:    Tangenta:  \(y=\frac{\sqrt{3}}{9}x+\sqrt{3}\)
10. Zapiši enačbo tangente na krivuljo \(y={\displaystyle\frac{x\ln x}{4}}\) v točki \(T_0(1,y_0)\).
    Rešitev:    Tangenta:  \(y=\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}\)
11. Dana je funkcija \(f(x)=\cos 2x\). Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v ničli z najmanjšo pozitivno absciso.
    Rešitev:    Tangenta:  \(y=-2x+\frac{\pi}{2}\)
12. Dana je funkcija \(f(x)={\displaystyle\frac{1}{\sqrt[\scriptstyle3]{\cos^2 x+\frac{1}{2}}}}\). Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v točki \(x=\frac{\textstyle\pi}{\textstyle4}\).
    Rešitev:    Tangenta:  \(y=\frac{1}{3}x+1-\frac{\pi}{12}\)
13. Dana je funkcija \(f(x)={\displaystyle\frac{x\ln x-1}{x^2+4}}\). Zapiši enačbo tangente na graf te funkcije v točki \(T(1,y)\).
    Rešitev:    Tangenta:  \(y=\frac{7}{25}x-\frac{12}{25}\)
14. Dana je krivulja \(x^2-y^2=-9\). Nariši to krivuljo in zapiši enačbo tangente na krivuljo v točki \(T(4,5)\).
    Rešitev:    Tangenta:  \(y=\frac{4}{5}x+\frac{9}{5}\)
15. Ugotovi, v kateri točki ima graf funkcije \(f(x)=x\sqrt{x}\) tangento vzporedno premici \(y=3x\). Zapiši to točko in enačbo ustrezne tangente.
    Rešitev:    Točka: \(T(4,8)\),  tangenta:  \(y=3x-4\)
16. Dan je polinom \(p(x)=x^3-2x^2-2x+1\). Na grafu tega polinoma ležita točki \(T_1\) in \(T_2\), v katerih je tangenta na graf polinoma vzporedna premici \(y=2x\). Izračunaj abscisi točk \(T_1\) in \(T_2\).
    Rešitev:    \(x_1=2,~ x_2=-\frac{2}{3}\)
17. Dana je funkcija \(f(x)=\sin 2x\). Zapiši abscise vseh točk, v katerih ima graf funkcije tangente vzporedne simetrali lihih kvadrantov.
    Rešitev:    \(x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi,~~(k\in\mathbb{Z})\)
18. Zapiši enačbo normale na graf funkcije \(f(x)=\frac{\textstyle 6}{\textstyle x}\) pri \(x=3\).
    Rešitev:    Normala:  \(y=\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}\)
19. Zapiši enačbo normale na krivuljo \(y=\frac{\textstyle 8}{\textstyle 4+x^2}\) v točki \(T(2,y)\).
    Rešitev:    Normala:  \(y=2x-3\)
20. Dana je funkcija \(f(x)=e^x\). Ugotovi, v kateri točki ima graf te funkcije normalo, ki je vzporedna simetrali sodih kvadrantov.
    Rešitev:    V točki \(T(0,1)\)
21. Dana je funkcija \(f(x)=x^2+2x+1\).
    

    (a)   Nariši graf te funkcije.

    (b)   Zapiši enačbo normale na graf te funkcije pri \(x=0\).

    (c)   Izračunaj kot, ki ga ta normala oklepa z grafom funkcije v drugem presečišču.

    Rešitev:    (b)  Normala:  \(y=-\frac{1}{2}x+1\),     (c)  \(\varphi=45^\circ\) (pri \(x=-\frac{5}{2}\))
22. Zapiši enačbo normale na krivuljo \(\left(\frac{\textstyle x}{\textstyle 5}\right)^2+\left(\frac{\textstyle y+2}{\textstyle 4}\right)^2=1\) v točki \(x_0=4,~y_0\gt0\).
    Rešitev:    Normala:  \(y=\frac{15}{16}x-\frac{67}{20}\)
23. Izračunaj naklonski kot tangente na graf funkcije \(f(x)=\sqrt{x}\) v točkah \(A(9,3)\) in \(B(0,0)\).
    Rešitev:    V točki \(A\) je \(\alpha_1\doteq9^\circ28'\),  v točki \(B\) je \(\alpha_2=90^\circ\).
24. Dana je funkcija \(f(x)={\displaystyle\frac{1}{\sqrt{(x+1)^3}}}\). Izračunaj naklonski kot tangente na graf te funkcije pri \(x=3\). Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    Naklonski kot:  \(\alpha\doteq-2^\circ41'\) oziroma \(\alpha'\doteq177^\circ19'\)
25. Dana je funkcija \(f(x)={\displaystyle \sin\frac{2x+\pi}{3}}\). Izračunaj kot, ki ga oklepata graf funkcije in ordinatna os. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    Kot:  \(\varphi\doteq71^\circ34'\)
26. Izračunaj kot med grafom funkcije \(f(x)=\ln(2x-3)\) in abscisno osjo. Rezultat zaokroži na stotinko stopinje.
    Rešitev:    Kot:  \(\varphi\doteq63,\!43^\circ\)
27. Izračunaj, v kateri točki se sekata graf funkcije \(f(x)=\log_2 x+2\) in premica \(p\!:~ y=5\). Izračunaj tudi, kolikšen kot oklepata. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    Presečišče:  \(P(8,5)\),  kot:  \(\varphi\doteq10^\circ13'\)
28. Dani sta funkciji \(f(x)=x^3\) in \(g(x)=x^2-4x+4\). Izračunaj, v kateri točki se sekata grafa teh dveh funkcij in kolikšen kot oklepata.
    Rešitev:    Presečišče:  \(P(1,1)\),  kot:  \(\varphi=45^\circ\)
29. Dani sta funkciji \(f(x)={\displaystyle\frac{x}{x-1}}\) in \(g(x)=-x+4\). Izračunaj, v kateri točki se sekata grafa teh dveh funkcij in kolikšen kot oklepata.
    Rešitev:    Presečišče:  \(P(2,2)\),  kot:  \(\varphi=0^\circ\)    (Opomba: \(\varphi=0^\circ\) zato, ker je \(g\) tangenta na graf funkcije \(f\).)
30. Dani sta funkciji \(f(x)=\sqrt{4-x}\) in \(g(x)=2x-5\). Izračunaj, v kateri točki se sekata grafa teh dveh funkcij in kolikšen kot oklepata.
    Rešitev:    Presečišče:  \(P(3,1)\),  kot:  \(\varphi=90^\circ\)
31. Določi stacionarne točke in nariši graf funkcije:   \(f(x)=2x^3+3x^2+2\)
    Rešitev:    Maksimum: \(T_1(-1,3)\),  minimum: \(T_2(0,2)\)
32. Določi stacionarne točke funkcije:   \(f(x)=x^5-15x^3-2\)
    Rešitev:    Maksimum: \(T_1(-3,160)\),  vodoravni prevoj: \(T_2(0,-2)\),  minimum: \(T_3(3,-164)\)
33. Izračunaj stacionarne točke, zapiši enačbo asimptote in nariši graf funkcije:   \(f(x)={\displaystyle\frac{x^2+3}{x^2-3x}}\)
    Rešitev:    Maksimum: \(T_1(1,-2)\),  minimum: \(T_2(-3,\frac{2}{3})\),  asimptota: \(y=1\) (graf jo seka pri \(x=-1\))
34. Izračunaj stacionarne točke, zapiši enačbo asimptote in nariši graf funkcije:   \(f(x)={\displaystyle\frac{x^2-2x+2}{x^2}}\)
    Rešitev:    Minimum: \(T(2,\frac{1}{2})\),  asimptota: \(y=1\) (graf jo seka pri \(x=1\))
35. Izračunaj vse stacionarne točke funkcije:   \(f(x)=(x-4)\sqrt[\scriptstyle3]{x}\)
    Določi tudi, kakšne vrste so dobljene stacionarne točke.
    Rešitev:    Minimum: \(T(1,-3)\)
36. Izračunaj vse stacionarne točke funkcije:   \(f(x)=x\ln x\)
    Določi tudi, kakšne vrste so dobljene stacionarne točke.
    Rešitev:    Minimum: \(T(\frac{1}{e},-\frac{1}{e})\)
37. Izračunaj, v kateri točki je lokalni maksimum funkcije:   \(f(x)=x^2e^{-x}\)
    Koordinati točke naj bosta točni.
    Rešitev:    Maksimum: \(T(2,4e^{-2})\)
38. Izračunaj lokalni maksimum funkcije:   \(f(x)=x\,e^{x-x^2}\)
    Rešitev:    Maksimum: \(T(1,1)\)    (Opomba: Pri \(x=-\frac{1}{2}\) je minimum.)
39. Dana je funkcija \(f(x)=1-5x+2x^2-x^3\). Računsko ugotovi, kje ta funkcija narašča in kje pada.
    Rešitev:    Povsod pada, nikjer ne narašča.
40. Dana je funkcija \(f(x)={\displaystyle\frac{2x}{x^2+1}}\).
    

    (a)   Izračunaj stacionarne točke te funkcije.

    (b)   Nariši graf funkcije.

    (c)   Določi intervale naraščanja in padanja.

    (d)   Določi intervale konveksnosti in konkavnosti.

    Rešitev:    (a)  Minimum \(T_1(-1,-1)\), maksimum \(T_2(1,1)\)     (c)  narašča na \([-1,1]\), pada na \((-\infty,-1]\) in na \([1,\infty)\)     (d)  konveksna je na \([-\sqrt{3},0]\) in na \([\sqrt{3},\infty)\), konkavna pa je na \((-\infty,-\sqrt{3}]\) in na \([0,\sqrt{3}]\)

 Domov