Kombinatorika in binomska formula

Permutacije, variacije in kombinacije

1. Dana je beseda ZVESTOBA. Izračunaj:
   

   (a)   koliko je vseh permutacij te besede,

   (b)   koliko permutacij te besede ima na začetku ZV,

   (c)   koliko permutacij te besede ima na začetku dva soglasnika.

   Rešitev:    (a)  40 320,     (b)  720,     (c)  14 400
2. Dana je beseda AMSTERDAM. Izračunaj:
   

   (a)   koliko je vseh permutacij te besede,

   (b)   koliko permutacij te besede se konča na črko A,

   (c)   koliko permutacij te besede se konča na samoglasnik.

   Rešitev:    (a)  90 720,     (b)  20 160,     (c)  30 240
3. Dana je beseda HONOLULU. Izračunaj, koliko je permutacij te besede,
   

   (a)   ki se končajo na N,

   (b)   ki se končajo na L,

   (c)   ki se ne končajo na OH,

   Rešitev:    (a)  630,     (b)  1260,     (c)  4860
4. Dana je beseda DARILO. Izračunaj:
   

   (a)   koliko je vseh permutacij te besede,

   (b)   katera po vrsti je beseda DARILO, če vse permutacije zapišemo po leksikografskem vrstnem redu.

   Rešitev:    (a)  Vseh je 720.     (b)  Ta beseda je 139. po vrsti.
5. Dana je beseda RAHELA. Izračunaj:
   

   (a)   koliko je vseh permutacij te besede,

   (b)   katera po vrsti je beseda RAHELA, če vse permutacije zapišemo po leksikografskem vrstnem redu.

   Rešitev:    (a)  Vseh je 360.     (b)  Ta beseda je 316. po vrsti.
6. Dana je beseda BOREC.
   

   (a)   Ugotovi, koliko je vseh permutacij te besede.

   (b)   Ugotovi, koliko permutacij bi bilo med besedama BOREC in ROBEC, če bi vse permutacije zapisali po leksikografskem vrstnem redu. (Opomba: Pri tem dani besedi nista vključeni.)

   Rešitev:    (a)  Vseh permutacij je 120.     (b)  Vmes je 97 permutacij.
7. Dana je beseda FRITUM.
   

   (a)   Ugotovi, koliko je vseh permutacij črk te besede.

   (b)   Zapiši permutacijo, ki bi bila 564. po vrsti, če bi vse permutacije zapisali po leksikografskem vrstnem redu.

   Rešitev:    (a)  Vseh permutacij je 720.     (b)  Iskana permutacija je TRIUMF.
8. Na polico želimo zložiti 8 učbenikov, med njimi so štirje matematični. Na koliko načinov jih lahko razporedimo, če morajo stati matematični učbeniki skupaj, za ostale pa je vseeno?
   Rešitev:    2880
9. Na polici imamo sedem slovenskih in tri angleške knjige. Izračunaj, na koliko načinov jih lahko razporedimo tako,
   

   (a)   da stojijo slovenske knjige skupaj,

   (b)   da stojijo angleške knjige skupaj,

   (c)   da stojijo slovenske knjige skupaj in angleške skupaj.

   Rešitev:    (a)  120 960,     (b)  241 920,     (c)  60 480
10. Na pikniku se zberejo tri družine: tričlanska družina Antončič, petčlanska družina Boštjančič in štiričlanska družina Cvetkovič. Pred kosilom se postavijo v vrsto. Izračunaj, na koliko načinov se lahko razporedijo:
    

    (a)   če morajo vse tri družine stati skupaj,

    (b)   če stoji družina Antončič skupaj, družina Boštjančič skupaj, za člane družine Cvetkovič pa je vseeno,

    (c)   če morajo na začetku vrste stati vsi člani družine Cvetkovič, za ostale pa je vseeno.

    Rešitev:    (a)  103 680,     (b)  518 400,     (c)  967 680
11. Iz cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sestavljamo petmestna števila s samimi različnimi ciframi. Izračunaj:
    

    (a)   koliko je vseh takih števil,

    (b)   koliko takih števil je lihih,

    (c)   koliko takih števil je večjih od 50 000.

    Rešitev:    (a)  2520,     (b)  1440,     (c)  1080
12. Izračunaj, koliko pravih petmestnih naravnih števil:
    

    (a)   ima same sode števke,

    (b)   ima vsaj eno sodo števko,

    (c)   ima vsaj eno sodo in vsaj eno liho števko.

    Rešitev:    (a)  2 500,     (b)  86 875,     (c)  84 375
13. Zanimajo nas prava trimestna naravna števila zapisana v običajnem zapisu (torej: \(100, 101, 102,~\ldots,~999\)).
    

    (a)   Izračunaj, koliko takih števil je deljivih s 5.

    (b)   Izračunaj, koliko takih števil ima vse števke deljive s 5.

    (c)   Izračunaj, koliko takih števil ima vsaj eno števko deljivo s 5.

    Rešitev:    (a)  180,     (b)  4,     (c)  388
14. Zanimajo nas vsa naravna števila manjša od 1000 (zapisana v običajnem zapisu):  \(1,~2,~3,~4,~\ldots,~999\).
    

    (a)   Izračunaj, koliko takih števil ima same lihe števke.

    (b)   Izračunaj, koliko takih števil ima same lihe števke, vsaj ena od števk pa je enaka 7.

    Rešitev:    (a)  155,     (b)  71
15. Zanimajo nas vsa naravna števila manjša od 1000 (zapisana v običajnem zapisu):  \(1,~2,~3,~4,~\ldots,~999\).
    

    (a)   Koliko je takih števil, ki imajo vsaj eno liho števko?

    (b)   Koliko je takih števil, ki so soda, vendar pa imajo vsaj eno liho števko?

    Rešitev:    (a)  875,     (b)  375
16. Izračunaj, koliko naravnih števil manjših od 1000 ima v običajnem zapisu:
    

    (a)   same enake števke,

    (b)   same različne števke,

    (c)   vsaj eno števko večjo od 5.

    Rešitev:    (a)  27,     (b)  738,     (c)  819
17. Množica \(\mathcal{M}\) vsebuje vsa naravna števila od vključno 1000 do vključno 9999.
    

    (a)   Izračunaj, koliko števil iz množice \(\mathcal{M}\) se začne in konča s števko 8.

    (b)   Izračunaj, koliko števil iz množice \(\mathcal{M}\) vsebuje točno dve števki 8.

    Rešitev:    (a)  100,     (b)  459
18. V neki državi želijo označiti državljane z „enotnimi matičnimi šiframi“. Vsaka šifra je šestmestna: prvi dve mesti sta črki, sledita dve števki, zadnji dve mesti pa sta spet črki. (Ni nujno, da so vsi znaki različni.) Izračunaj, koliko različnih šifer lahko sestavijo,
    

    (a)   če upoštevajo črke slovenske abecede,

    (b)   če upoštevajo črke angleške abecede.

    Rešitev:    (a)  39 062 500,     (b)  45 697 600
19. Republika San Marino uporablja za avtomobile petmestne registrske tablice. Izračunaj, koliko je možnih tablic, ki ustrezajo naslednjim pogojem (upoštevaj črke angleške abecede):
    

    (a)   na prvem mestu je črka, sledijo pa štiri števke,

    (b)   na enem mestu je črka, na ostalih mestih so števke,

    (c)   črk je manj kot števk (lahko tudi nič), razporeditev pa je poljubna.

    Rešitev:    (a)  260 000,     (b)  1 300 000,     (c)  8 160 000
20. V zbirki imamo 5 vprašanj iz geometrije in 7 vprašanj iz aritmetike. Na koliko načinov lahko izmed njih izberemo štiri izpitna vprašanja, ki pa ne smejo biti vsa iz istega poglavja?
    Rešitev:    455
21. Na koliko načinov lahko izberemo izmed 10 fantov in 15 deklet petčlansko delegacijo,
    

    (a)   če moramo izbrati dva fanta in tri dekleta,

    (b)   če mora biti v delegaciji vsaj eno dekle in vsaj en fant,

    (c)   če morajo biti vsi člani delegacije istega spola.

    Rešitev:    (a)  20 475,     (b)  49 875,     (c)  3 255
22. V uradu dela 7 tehnikov, 5 laborantov in 8 inženirjev. Izračunaj, na koliko načinov lahko izmed sebe izberejo petčlansko komisijo, v kateri bodo zastopane vse tri stroke.
    Rešitev:    10 500
23. Na inštitutu dela 6 matematikov, 4 fiziki in 5 kemikov. Izračunaj, na koliko načinov lahko izmed njih izberemo štiričlansko delegacijo,
    

    (a)   če morata biti v delegaciji točno dva matematika,

    (b)   če morata biti v delegaciji vsaj dva matematika,

    (c)   če morata biti v delegaciji kvečjemu dva matematika.

    Rešitev:    (a)  540,     (b)  735,     (c)  1170
24. Binca ima 30 različnih knjig: 6 matematičnih, 7 bioloških, 9 fizikalnih in 8 kemijskih. Na potovanje bo vzela 4 knjige. Izračunaj, na koliko načinov jih lahko izbere, če želi, da bi bile vse štiri iz iste stroke.
    Rešitev:    246
25. Cilka ima 14 različnih knjig: 5 matematičnih, 4 biološke, 2 fizikalni in 3 kemijske. Izračunaj, na koliko načinov jih lahko razporedi na knjižni polici, če želi, da bi knjige iz iste stroke stale skupaj.
    Rešitev:    829 440
26. Marjanca ima doma 12 različnih knjig: 5 matematičnih, 4 fizikalne in 3 biološke. Ko se odpravlja na pot, želi izbrati tri knjige, ki jih bo vzela s sabo. Izračunaj, na koliko načinov jih lahko izbere tako:
    

    (a)   da so izbrane knjige iz treh različnih strok,

    (b)   da so vse tri izbrane knjige iz iste stroke,

    (c)   da izbrane knjige niso vse iz iste stroke.

    Rešitev:    (a)  60,     (b)  15,     (c)  205
27. Šahovsko društvo ima 60 članov. Med njimi so tudi bratje Andrej, Boris in Cvetko. V društvu so priredili turnir, na katerem je vsak član društva odigral po eno partijo z vsakim od ostalih članov. Izračunaj:
    

    (a)   koliko je bilo vseh odigranih partij,

    (b)   v koliko partijah je sodeloval vsaj eden od treh bratov.

    Rešitev:    (a)  1770,     (b)  174
28. V šahovskem društvu so priredili turnir, na katerem je vsak član društva odigral po eno partijo z vsakim od ostalih članov. Na turnirju so odigrali skupno 136 partij. Koliko članov ima to društvo?
    Rešitev:    17 članov
29. Na mednarodnem turnirju v košarki sodeluje 7 ekip iz različnih evropskih držav, 10 ekip iz različnih afriških držav in 6 ekip iz različnih azijskih držav. Med sodelujočimi so tudi ekipa Slovenije, ekipa Hrvaške in ekipa Avstrije. Vsaka ekipa bo odigrala točno eno tekmo z vsako od ostalih ekip.
    

    (a)   Izračunaj, v koliko tekmah se bosta pomerili ekipi z različnih celin.

    (b)   Televizija HOP TV bo prenašala samo tekme, v katerih bo nastopala ekipa Slovenije, Hrvaške ali Avstrije. Koliko tekem bo prenašala HOP TV?

    Rešitev:    (a)  172,     (b)  63
30. Na družabni prireditvi se zberejo 3 fiziki, 4 biologi in 5 matematikov. Izračunaj, na koliko načinov se lahko postavijo v vrsto,
    

    (a)   če želijo matematiki stati skupaj, ostalim pa je vseeno,

    (b)   če želijo stati fiziki skupaj, biologi skupaj in matematiki skupaj.

    Rešitev:    (a)  4 838 400,     (b)  103 680
31. Na krožnici leži 12 točk. Povežemo jih z daljicami, ki se začnejo v eni in končajo v drugi od teh 12 točk. Izračunaj:
    

    (a)   koliko daljic določajo te točke,

    (b)   koliko trikotnikov določajo te točke.

    Rešitev:    (a)  66,     (b)  220
32. V ravnini leži snop 10 vzporednih premic. Te vzporednice seka drug snop, ki ga sestavlja 8 vzporednic (tudi te ležijo v isti ravnini). Izračunaj, koliko paralelogramov določajo te premice.
    Rešitev:    1260
33. Koliko različnih zneskov lahko plačaš, če imaš pri sebi en kovanec za 10 centov, en kovanec za 20 centov, en kovanec za 50 centov, en kovanec za 1 evro in en kovanec za 2 evra?
    (Opomba: Plačati je možno z enim kovancem, z dvema, s tremi, …)
    Rešitev:    Plačaš lahko 31 različnih zneskov. (Opomba: 0 € seveda ne upoštevamo za plačilo.)
34. V vrtcu pripravljajo obdarovanje otrok in so zato kupili 10 različnih vrst bonbonov. Vsak otrok bo dobil darilno vrečko s 6 bonboni. Izračunaj, koliko različnih darilnih vrečk je možno pripraviti.
    Rešitev:    5005
35. Dana je množica \(\mathcal{M}=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}\). Izračunaj,
    

    (a)   koliko podmnožic ima ta množica,

    (b)   koliko podmnožic te množice vsebuje element \(a\),

    (c)   koliko podmnožic te množice ima moč 5,

    (d)   koliko podmnožic te množice vsebuje kvečjemu 3 elemente.

    Rešitev:    (a)  256,     (b)  128,     (c)  56,     (d)  93

Binomska formula

36. Razčleni izraz:  
    

    (a)    \(\big(x+2\big)^4\)

    (b)    \(\big(2x-3\big)^5\)

    (c)    \(\big(x^2-1\big)^7\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots= x^4+8x^3+24x^2+32x+16\),     (b)  \(\cdots=32x^5 - 240x^4 + 720x^3 - 1080x^2 + 810x - 243\),     (c)  \(\cdots=x^{14}-7x^{12}+21x^{10}-35x^8+35x^6-21x^4+7x^2-1\)
37. Poenostavi izraz  \(\big(3-\sqrt{7}\,\big)^5\). Rezultat zapiši v obliki  \(a+b\sqrt{7}~~(a,b\in\mathbb{Z})\).
    Rešitev:    \(\cdots=2868-1084\sqrt{7}\)
38. Izračunaj točne vrednosti izrazov s kompleksnimi števili:
    

    (a)    \(\big(3+i\big)^4\)

    (a)    \(\big(\sqrt{2}-i\big)^6\)

    (b)    \(\big(2+i\sqrt{2}\big)^5\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=28+96i\),     (a)  \(\cdots=-23+10i\sqrt{2}\),     (b)  \(\cdots=-88+4i\sqrt{2}\)
39. Dano je kompleksno število \(z=1+i\sqrt{3}\). Dokaži, da je \(z^6\) realno število.
    Rešitev:    \(z^6=\cdots=64 \in \mathrm{I\!R}\)
40. Če izraz \(\big(2x+\sqrt{5}\big)^{12}\) preoblikujemo v vsoto, točno eden od dobljenih členov vsebuje potenco \(x^7\). Zapiši ta člen.
    Rešitev:    Ta člen je enak  \(2\,534\,400\sqrt{5}\,x^7\)
41. Izraz \(\left(3x^2+\frac{\textstyle 2}{\textstyle x}\right)^{9}\) je možno razviti v obliko vsote členov.
    

    (a)   Zapiši člen, ki v razviti obliki vsebuje najvišjo potenco spremenljivke \(x\).

    (b)   Zapiši člen, ki v razviti obliki ne vsebuje spremenljivke \(x\).

    Rešitev:    (a)  \(19\,683\,x^{18}\),     (b)  \(145\,152\)
42. Dan je izraz \((3x-2)^{10}\).
    

    (a)   Zapiši edini člen v razvoju tega izraza, ki vsebuje \(x^3\).

    (b)   Zapiši edini člen v razvoju tega izraza, ki ima za koeficient liho število.

    Rešitev:    (a)  \(-414\,720\,x^3\),     (b)  \(59\,049\,x^{10}\)
43. V množici \(\mathrm{I\!R}\) reši enačbo:  \((x+1)^5=8(x^3+x+2)\)
    Rešitev:    \(x_1=-1,~ x_2=1,~ x_3=-5\)
44. V množici \(\mathrm{I\!R}\) reši enačbo:  \(x-\sqrt[\scriptstyle 5]{32x^3+89x-122}=2\)
    Rešitev:    \(x_1=-1,~ x_2=1,~ x_3=10\)

 Domov