Integral

Nedoločeni integral

1. Izračunaj naslednje integrale:
   

   (a)   ${\displaystyle \int (x^3+2x+7)dx}$

   (b)   ${\displaystyle \int (\sin x+3\cos x+e^x)dx}$

   (c)   ${\displaystyle \int \frac{1}{x}(x^3+x^2-1)dx}$

   (d)   ${\displaystyle \int \frac{2x^2-x^{-1/2}-1}{\sqrt{x}}dx}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{1}{4}{x}^4+x^2+7x+C$;     (b)  $\cdots =-\cos x+3\sin x+e^x+C$;     (c)  $\cdots =\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-\ln |x|+C$;     (d)  $\cdots =\frac{4}{5}\sqrt{x^5}-2\sqrt{x}-\ln |x|+C$
2. Izračunaj naslednje integrale:
   

   (a)   ${\displaystyle \int (2x+5{)}^{4}dx}$

   (b)   ${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{4x+1}}dx}$

   (c)   ${\displaystyle \int \sqrt{3x+7}dx}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{1}{10}(2x+5{)}^5+C$;     (b)  $\cdots =\frac{1}{2}\sqrt{4x+1}+C$;     (c)  $\cdots =\frac{2}{3}\sqrt{(3x+7{)}^3}+C$
3. Izračunaj naslednje integrale:
   

   (a)   ${\displaystyle \int \frac{x}{x^2+4}dx}$

   (b)   ${\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^2+5}}dx}$

   (c)   ${\displaystyle \int \frac{x^{2}dx}{\sqrt[4]{x^3+5}}}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{1}{2}\ln (x^2+4)+C$;     (b)  $\cdots =\sqrt{x^2+5}+C$;     (c)  $\cdots =\frac{4}{9}\sqrt[4]{(x^3+5{)}^3}+C$
4. Izračunaj naslednje integrale:
   

   (a)   ${\displaystyle \int \sin 7xdx}$

   (b)   ${\displaystyle \int \cos \frac{x}{2}dx}$

   (c)   ${\displaystyle \int e^{2x+5}dx}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =-\frac{1}{7}\cos 7x+C$;     (b)  $\cdots =2\sin \frac{x}{2}+C$;     (c)  $\cdots =\frac{1}{2}{e}^{2x+5}+C$
5. Integriraj:  ${\displaystyle \int \frac{\sin xdx}{2\cos x+3}}$
   Rešitev:    $\cdots =-\frac{1}{2}\ln (2\cos x+3)+C$
6. Integriraj:  ${\displaystyle \int \frac{\sin xdx}{(1-\sin x)(1+\sin x)}}$
   Rešitev:    $\cdots =\frac{1}{\cos x}+C$
7. Integriraj:  ${\displaystyle \int {\cos }^{3}x\sin xdx}$
   Rešitev:    $\cdots =-\frac{1}{4}{\cos }^{4}x+C$
8. Integriraj:  ${\displaystyle \int \sin 3x\sin 2xdx}$
   Rešitev:    $\cdots =\frac{1}{2}\sin x-\frac{1}{10}\sin 5x+C$
9. Integriraj:  ${\displaystyle \int x^2\cos xdx}$
   Rešitev:    $\cdots =x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x+C$
10. Integriraj:  ${\displaystyle \int x\ln xdx}$
    Rešitev:    $\cdots =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$
11. Izračunaj, katero funkcijo $f$ moramo integrirati, da dobimo za rezultat funkcijo:  $g(x)=x^3+e^{2x}+C$
    Rešitev:    $f(x)=g^{\prime }(x)=3x^2+2e^{2x}$
12. Izračunaj, katero funkcijo $f$ moramo odvajati, da dobimo za rezultat funkcijo:  $g(x)=x^3+e^{2x}+1$
    Rešitev:    $f(x)=\int g(x)dx=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{e}^{2x}+x+C$
13. Izračunaj, za katero funkcijo $f$ velja:  $f^{\prime }(x)=\sin (3x+\pi )$ in $f(0)=\frac{4}{3}$
    Rešitev:    $f(x)=-\frac{1}{3}\cos (3x+\pi )+1$

Določeni integral

14. Izračunaj naslednje integrale:
    

    (a)   ${\displaystyle \underset{-1}{\overset{2}{\int }}(-x^2+5)dx}$

    (b)   ${\displaystyle \underset{0}{\overset{9}{\int }}\sqrt{x}dx}$

    (c)   ${\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(\cos x+2)dx}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =12$;     (b)  $\cdots =18$;     (c)  $\cdots =2\pi$
15. Izračunaj ploščino lika, ki ga oklepata vodoravna koordinatna os in graf funkcije  $f(x)=x^3+2x^2$.
    Rešitev:    $S=\frac{4}{3}$     (meji: $a=-2,b=0$)
16. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta krivulji $y=x^2-4x-2$ in $y=4-x^2$.
    Rešitev:    $S=21\frac{1}{3}$     (meji: $a=-1,b=3$)
17. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta paraboli $y=x^2-1$ in $y=5-x^2$. Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    $S=8\sqrt{3}$     (meji: $a=-\sqrt{3},b=\sqrt{3}$)
18. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij $f(x)=\sqrt{3x}$ in $g(x)=x^2-2x$.
    Rešitev:    $S=6$     (meji: $a=0,b=3$)
19. Izračunaj povprečno vrednost funkcije $f(x)=x^3$ na intervalu $[0,1]$.
    Rešitev:    $\bar{f}=\frac{1}{4}$
20. Izračunaj povprečno vrednost funkcije $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ na intervalu $[-1,1]$. Rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    $\bar{f}\doteq 0,7854$
21. Dana je funkcija $f(x)=\sqrt{3x+1}$. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujejo graf te funkcije, abscisna os, ordinatna os in premica z enačbo $x=5$.
    Rešitev:    $S=14$
22. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta graf funkcije $f(x)=\sqrt{6x-5}$ in simetrala lihih kvadrantov.
    Rešitev:    $S=\frac{16}{9}$
23. Integriraj:  ${\displaystyle \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}\sin 2x\sqrt{1-\cos 2x}dx}$
    Rešitev:    $\cdots =\frac{\sqrt{2}}{12}$
24. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujeta abscisna os in graf funkcije $f(x)={\sin }^{3}x$ med dvema zaporednima ničlama.
    Namig:    Uvedi novo spremenljivko: $t=\cos x$
    Rešitev:    $S=\frac{4}{3}$
25. Izračunaj ploščino lika, ki ga na intervalu $[\frac{1}{9},\mathrm{\infty })$ omejujeta os $x$ in graf funkcije ${\displaystyle f(x)=\frac{1}{3x^2}}$.
    Rešitev:    $S=3$
26. Dana je funkcija $f(x)=\frac{2}{x}$. Del grafa, ki pripada intervalu $x\in [1,4]$, zavrtimo za ${360}^{\circ }$ okoli abscisne osi. Izračunaj prostornino tako dobljene vrtenine.
    Rešitev:    $V=3\pi$
27. Dana je hiperbola $x^2-y^2=-1$. Del hiperbole, ki pripada intervalu $x\in [-1,2]$, zavrtimo okoli abscisne osi, tako da dobimo rotacijsko telo. Izračunaj prostornino tako dobljenega telesa.
    Rešitev:    $V=6\pi$
28. Izračunaj volumen vrtenine, ki nastane, če zavrtimo okoli abscisne osi graf funkcije $f(x)=e^x$ na intervalu $(-\mathrm{\infty },0]$.
    Rešitev:    $V=\frac{\pi }{2}$

Integracija racionalnih funkcij

29. Izračunaj naslednje integrale:
    

    (a)   ${\displaystyle \int \frac{1}{x-2}dx}$

    (b)   ${\displaystyle \int \frac{2x+3}{x+1}dx}$

    (c)   ${\displaystyle \int \frac{x^2+2x-1}{x-1}dx}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\ln |x-2|+C$;     (b)  $\cdots =2x+\ln |x+1|+C$;     (c)  $\cdots =\frac{1}{2}{x}^2+3x+2\ln |x-1|+C$
30. Izračunaj naslednje integrale:
    

    (a)   ${\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+3}dx}$

    (b)   ${\displaystyle \int \frac{2x+3}{x^2+3x+1}dx}$

    (c)   ${\displaystyle \int \frac{x-2}{x^2-4x+3}dx}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\ln (x^2+3)+C$;     (b)  $\cdots =\ln |x^2+3x+1|+C$;     (c)  $\cdots =\frac{1}{2}\ln |x^2-4x+3|+C$
31. Izračunaj naslednje integrale:
    

    (a)   ${\displaystyle \int \frac{1}{x^2+9}dx}$

    (b)   ${\displaystyle \int \frac{1}{x^2+4x+5}dx}$

    (c)   ${\displaystyle \int \frac{1}{x^2-2x+10}dx}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{1}{3}\arctan \frac{x}{3}+C$;     (b)  $\cdots =\arctan (x+2)+C$;     (c)  $\cdots =\frac{1}{3}\arctan \frac{x-1}{3}+C$
32. Izračunaj naslednja integrala:
    

    (a)   ${\displaystyle \int \frac{3x-1}{x^2-x}dx}$

    (b)   ${\displaystyle \int \frac{3x-5}{x^2-2x-3}dx}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\int (\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1})dx=\ln |x|+2\ln |x-1|+C$;     (b)  $\cdots =\int (\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-3})dx=2\ln |x+1|+\ln |x-3|+C$

 Domov