Zaporedja

1. Dano je zaporedje ${\displaystyle a_n=\frac{2n+1}{n+2}}$. Nariši graf in opiši lastnosti tega zaporedja (naraščanje, padanje, omejenost – ne pozabi na dokaze).
   Rešitev:
   
   Graf:
   
   
   Lastnosti:
   Zaporedje narašča in ima spodnjo mejo 1 in zgornjo mejo 2.
2. Dano je zaporedje ${\displaystyle a_n=\frac{3}{n^2}}$. Nariši graf in opiši lastnosti tega zaporedja (naraščanje, padanje, omejenost – ne pozabi na dokaze).
   Rešitev:
   
   Graf:
   
   
   Lastnosti:
   Zaporedje pada in ima spodnjo mejo 0 in zgornjo mejo 3.
3. Dano je zaporedje ${\displaystyle a_n=3-\frac{2}{n}}$. Dokaži, da je to zaporedje omejeno.
   Rešitev:    Res je omejeno (dokaži!). Ima spodnjo mejo $m=1$ in zgornjo mejo $M=3$.
4. Dano je zaporedje $a_n=n^2-n$. Dokaži, da je to naraščajoče zaporedje.
5. Zaporedje ima splošni člen $a_n=123+19n$. Ugotovi, kateri členi tega zaporedja so manjši od 1000.
   Rešitev:    Manjši od 1000 so členi od vključno $a_1$ do vključno $a_{46}$.
6. Zaporedje ima splošni člen $a_n=(\frac{3}{2})^n$. Ugotovi, kateri členi tega zaporedja so večji od 1000.
   Rešitev:    Večji od 1000 so vsi členi od vključno $a_{18}$ naprej.
7. Aritmetično zaporedje ima prvi člen $a_1=17$ in deseti člen $a_{10}=80$. Zapiši formulo za splošni člen tega zaporedja.
   Rešitev:    $a_n=10+7n$
8. Aritmetično zaporedje ima člena $a_1=1000$ in $a_{12}=10$. Izračunaj sedmi člen tega zaporedja.
   Namig:    Najprej zapiši splošni člen.
   Rešitev:    Splošni člen: $a_n=1090-90n$, sedmi člen: $a_7=460$
9. Aritmetično zaporedje se začne s členoma $a_1=666$ in $a_2=600$. Izračunaj, koliko členov tega zaporedja je pozitivnih.
   Rešitev:    Pozitivnih je prvih enajst členov.
10. Med števili 23 in 101 vrini pet števil tako, da dobiš končno aritmetično zaporedje.
    Rešitev:    Aritmetično zaporedje: 23, 36, 49, 62, 75, 88, 101
11. Določi realno število $x$ tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno aritmetično zaporedje:   $3x,~~~ 4x+2,~~~ 6x-1$
    Rešitev:    $x=5$, aritmetično zaporedje: 15, 22, 29
12. Določi realno število $x$ tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno aritmetično zaporedje:   $4x-x^2,~~~ x^2+6,~~~ x^3$
    Rešitev:    $x=3$, aritmetično zaporedje: 3, 15, 27
13. Določi realno število $m$ tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno aritmetično zaporedje:   $2m,~~~ m+6,~~~ m+\sqrt{m}$
    Rešitev:    $m=9$, aritmetično zaporedje: 18, 15, 12
14. Določi realno število $u$ tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno aritmetično zaporedje:   $\log_2(u-1),~~~ \log_2(2u-2),~~~ \log_2(3u+13)$
    Rešitev:    $u=17$, aritmetično zaporedje: 4, 5, 6
15. Geometrijsko zaporedje se začne s členoma $a_1=7,~ a_2=28$. Zapiši splošni člen tega zaporedja.
    Rešitev:    $a_n=7\cdot 4^{n-1}$
16. Geometrijsko zaporedje ima prvi člen $a_1=4$ in četrti člen $a_4=108$. Izračunaj peti člen tega zaporedja.
    Rešitev:    $a_5=324$
17. Geometrijsko zaporedje ima prvi člen $a_1=240$ in peti člen $a_5=15$. Izračunaj četrti člen tega zaporedja. Upoštevaj vse možne rešitve.
    Rešitev:    Naloga ima dve rešitvi: $a_4=30$ ali pa $a_4=-30$.
18. Geometrijsko zaporedje ima prvi člen $a_1=1929$ in drugi člen $a_2=3858$. Izračunaj, kateri člen tega zaporedja je enak $123\,456$.
    Rešitev:    To je sedmi člen: $a_7=123\,456$.
19. Geometrijsko zaporedje ima prvi člen $a_1=\frac{1}{2}$ in četrti člen $a_4=\sqrt{2}$. Izračunaj deseti člen tega zaporedja. Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    $a_{10}=8\sqrt{2}$
20. Med števili 5 in 160 vrini štiri števila tako, da dobiš končno geometrijsko zaporedje.
    Rešitev:    Geometrijsko zaporedje: 5, 10, 20, 40, 80, 160
21. Med števili 80 in 405 vrini tri pozitivna števila tako, da dobiš končno geometrijsko zaporedje.
    Rešitev:    Geometrijsko zaporedje: 80, 120, 180, 270, 405
22. Med števili 2 in 162 vrini tri pozitivna števila tako, da dobiš:
    

    (a)    končno aritmetično zaporedje,

    (b)    končno geometrijsko zaporedje.

    Rešitev:    (a)  aritmetično zaporedje: 2, 42, 82, 122, 162;     (b)  geometrijsko zaporedje: 2, 6, 18, 54, 162
23. Določi realno število $a$ tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje:   $a-2,~~~ 2a+1,~~~ 4a+17$
    Rešitev:    $a=7$, geometrijsko zaporedje: 5, 15, 45
24. Določi realno število $x$ tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje:   ${\displaystyle \frac{1}{x-1}},~~~ x-2,~~~ x-1$
    Rešitev:    $x=3$, geometrijsko zaporedje: $\frac{1}{2},~ 1,~ 2$
25. Določi realno število $x$ tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje:   $2,~~~ 1+\sqrt{x},~~~ x-7$
    Rešitev:    $x=25$, geometrijsko zaporedje: 2, 6, 18
26. Določi realno število $m$ tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje:   ${\displaystyle\frac{9}{2m+23},~~~ \frac{9}{m+1},~~~ \frac{18}{m-6}}$
    Rešitev:    $m=20$, geometrijsko zaporedje: $\frac{1}{7},~ \frac{3}{7},~ \frac{9}{7}$
27. Država Rastafarija ima zdaj 4 371 000 prebivalcev. Število prebivalcev te države se vsako leto poveča za 17 promilov. Izračunaj, koliko prebivalcev bo imela ta država čez 25 let.
    Opomba:    Upoštevaj, da število prebivalcev narašča po geometrijskem zaporedju (zakon naravne rasti).
    Rešitev:    Čez 25 let bo imela ta država 6 662 000 prebivalcev.
28. V začetku leta 2000 je imela država Zumbaland 3 333 000 prebivalcev. V začetku leta 2010 pa je imela ta država že 4 184 000 prebivalcev. Izračunaj, koliko prebivalcev je imela ta država v začetku leta 2001. Kolikšen je naravni prirastek v tej državi?
    Opomba:    Upoštevaj, da število prebivalcev narašča po geometrijskem zaporedju (zakon naravne rasti).
    Rešitev:    V začetku leta 2001 je imela država 3 409 659 prebivalcev. Naravni prirastek je 23‰ (oziroma 2,3%).
29. V začetku leta 2010 je imela država Koruptistan 2 377 470 prebivalcev. Naravni prirastek v tej državi je 13‰. Izračunaj, kdaj bo število prebivalcev te države preseglo 3 milijone.
    Opomba:    Upoštevaj, da število prebivalcev narašča po geometrijskem zaporedju (zakon naravne rasti).
    Rešitev:    Število prebivalcev bo preseglo 3 milijone čez 18 let, torej bo to v začetku leta 2028.
30. Gospod Gregor je 1. januarja 2014 vložil v X-Banko znesek 4090 evrov. Banka ta znesek obrestuje po 8-procentni letni obrestni meri. Izračunaj, koliko denarja bo imel gospod Gregor v banki čez eno leto in koliko čez deset let.
    Opomba:    Upoštevaj obrestno obrestovanje z letnim pripisom obresti.
    Rešitev:    Čez eno leto bo imel 4417,20 €, čez deset let pa bo imel 8830 €
31. Dano je aritmetično zaporedje $a_n=17+6n$. Izračunaj vsoto prvih dvajsetih členov tega zaporedja.
    Rešitev:    $s_{20}=1600$
32. Aritmetično zaporedje se začne s členoma $a_1=730,~ a_2=703$. Izračunaj vsoto vseh pozitivnih členov tega zaporedja.
    Rešitev:    $s_{28}=10\,234$
33. Dano je geometrijsko zaporedje $a_n=3\cdot 6^{n-1}$. Izračunaj vsoto prvih sedmih členov tega zaporedja.
    Rešitev:    $s_7=167\,961$
34. Geometrijsko zaporedje se začne s členoma $a_1=448,~ a_2=672$. Izračunaj vsoto vseh členov, ki so manjši od 5000.
    Rešitev:    $s_6=9310$
35. Delavci so kopali jarek za vodovod. Prvi dan so izkopali 200 m dolg jarek. Drugi dan so izkopali 210 m dolg jarek in vsak naslednji dan so izkopali še za 10 m daljši jarek kot dan pred tem. Izračunaj skupno dolžino jarka, ki so ga izkopali v prvih desetih dneh.
    Namig:    Najprej ugotovi, kakšne vrste zaporedje je to.
    Rešitev:    $s_{10}=2450~\mathrm{m}$
36. Delavci so kopali jarek za električni kabel. Prvi dan so izkopali 320 m dolg jarek. Vsak naslednji dan so izkopali za 10% daljši jarek kot dan pred tem. Izračunaj skupno dolžino jarka, ki so ga izkopali v prvih desetih dneh.
    Namig:    Najprej ugotovi, kakšne vrste zaporedje je to.
    Rešitev:    $s_{10}\doteq5100~\mathrm{m}$