Dano je zaporedje \({\displaystyle a_n=\frac{2n+1}{n+2}}\). Nariši graf in opiši lastnosti tega zaporedja
(naraščanje, padanje, omejenost – ne pozabi na dokaze).
Rešitev:
Graf:
Lastnosti:
Zaporedje narašča in ima spodnjo mejo 1 in zgornjo mejo 2.
Dano je zaporedje \({\displaystyle a_n=\frac{3}{n^2}}\). Nariši graf in opiši lastnosti tega zaporedja
(naraščanje, padanje, omejenost – ne pozabi na dokaze).
Rešitev:
Graf:
Lastnosti:
Zaporedje pada in ima spodnjo mejo 0 in zgornjo mejo 3.
Dano je zaporedje \({\displaystyle a_n=3-\frac{2}{n}}\). Dokaži, da je to zaporedje omejeno.
Rešitev:
Res je omejeno (dokaži!). Ima spodnjo mejo \(m=1\) in zgornjo mejo \(M=3\).
Dano je zaporedje \(a_n=n^2-n\). Dokaži, da je to naraščajoče zaporedje.
Zaporedje ima splošni člen \(a_n=123+19n\).
Ugotovi, kateri členi tega zaporedja so manjši od 1000.
Rešitev:
Manjši od 1000 so členi od vključno \(a_1\) do vključno \(a_{46}\).
Zaporedje ima splošni člen \(a_n=(\frac{3}{2})^n\).
Ugotovi, kateri členi tega zaporedja so večji od 1000.
Rešitev:
Večji od 1000 so vsi členi od vključno \(a_{18}\) naprej.
Aritmetično zaporedje ima prvi člen \(a_1=17\) in deseti člen \(a_{10}=80\).
Zapiši formulo za splošni člen tega zaporedja.
Rešitev:
\(a_n=10+7n\)
Aritmetično zaporedje ima člena \(a_1=1000\) in \(a_{12}=10\).
Izračunaj sedmi člen tega zaporedja.
Namig:
Najprej zapiši splošni člen.
Rešitev:
Splošni člen: \(a_n=1090-90n\), sedmi člen: \(a_7=460\)
Aritmetično zaporedje se začne s členoma \(a_1=666\) in \(a_2=600\).
Izračunaj, koliko členov tega zaporedja je pozitivnih.
Rešitev:
Pozitivnih je prvih enajst členov.
Med števili 23 in 101 vrini pet števil tako, da dobiš končno aritmetično zaporedje.
Rešitev:
Aritmetično zaporedje: 23, 36, 49, 62, 75, 88, 101
Določi realno število \(x\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno aritmetično zaporedje:
\(3x,~~~ 4x+2,~~~ 6x-1\)
Rešitev:
\(x=5\), aritmetično zaporedje: 15, 22, 29
Določi realno število \(x\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno aritmetično zaporedje:
\(4x-x^2,~~~ x^2+6,~~~ x^3\)
Rešitev:
\(x=3\), aritmetično zaporedje: 3, 15, 27
Določi realno število \(m\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno aritmetično zaporedje:
\(2m,~~~ m+6,~~~ m+\sqrt{m}\)
Rešitev:
\(m=9\), aritmetično zaporedje: 18, 15, 12
Določi realno število \(u\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno aritmetično zaporedje:
\(\log_2(u-1),~~~ \log_2(2u-2),~~~ \log_2(3u+13)\)
Rešitev:
\(u=17\), aritmetično zaporedje: 4, 5, 6
Geometrijsko zaporedje se začne s členoma \(a_1=7,~ a_2=28\).
Zapiši splošni člen tega zaporedja.
Rešitev:
\(a_n=7\cdot 4^{n-1}\)
Geometrijsko zaporedje ima prvi člen \(a_1=4\) in četrti člen \(a_4=108\).
Izračunaj peti člen tega zaporedja.
Rešitev:
\(a_5=324\)
Geometrijsko zaporedje ima prvi člen \(a_1=240\) in peti člen \(a_5=15\).
Izračunaj četrti člen tega zaporedja. Upoštevaj vse možne rešitve.
Rešitev:
Naloga ima dve rešitvi: \(a_4=30\) ali pa \(a_4=-30\).
Geometrijsko zaporedje ima prvi člen \(a_1=1929\) in drugi člen \(a_2=3858\).
Izračunaj, kateri člen tega zaporedja je enak \(123\,456\).
Rešitev:
To je sedmi člen: \(a_7=123\,456\).
Geometrijsko zaporedje ima prvi člen \(a_1=\frac{1}{2}\) in četrti člen \(a_4=\sqrt{2}\).
Izračunaj deseti člen tega zaporedja. Rezultat naj bo točen.
Rešitev:
\(a_{10}=8\sqrt{2}\)
Med števili 5 in 160 vrini štiri števila tako, da dobiš končno geometrijsko zaporedje.
Rešitev:
Geometrijsko zaporedje: 5, 10, 20, 40, 80, 160
Med števili 80 in 405 vrini tri pozitivna števila tako, da dobiš končno geometrijsko zaporedje.
Rešitev:
Geometrijsko zaporedje: 80, 120, 180, 270, 405
Med števili 2 in 162 vrini tri pozitivna števila tako, da dobiš:
Določi realno število \(a\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje:
\(a-2,~~~ 2a+1,~~~ 4a+17\)
Rešitev:
\(a=7\), geometrijsko zaporedje: 5, 15, 45
Določi realno število \(x\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje:
\({\displaystyle \frac{1}{x-1}},~~~ x-2,~~~ x-1\)
Rešitev:
\(x=3\), geometrijsko zaporedje: \(\frac{1}{2},~ 1,~ 2\)
Določi realno število \(x\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje:
\(2,~~~ 1+\sqrt{x},~~~ x-7\)
Rešitev:
\(x=25\), geometrijsko zaporedje: 2, 6, 18
Določi realno število \(m\) tako, da bodo naslednja tri števila sestavljala končno geometrijsko zaporedje:
\({\displaystyle\frac{9}{2m+23},~~~ \frac{9}{m+1},~~~ \frac{18}{m-6}}\)
Rešitev:
\(m=20\), geometrijsko zaporedje: \(\frac{1}{7},~ \frac{3}{7},~ \frac{9}{7}\)
Država Rastafarija ima zdaj 4 371 000 prebivalcev. Število prebivalcev te države se vsako leto poveča za 17 promilov.
Izračunaj, koliko prebivalcev bo imela ta država čez 25 let.
Opomba:
Upoštevaj, da število prebivalcev narašča po geometrijskem zaporedju (zakon naravne rasti).
Rešitev:
Čez 25 let bo imela ta država 6 662 000 prebivalcev.
V začetku leta 2000 je imela država Zumbaland 3 333 000 prebivalcev. V začetku leta 2010 pa je imela ta država že
4 184 000 prebivalcev. Izračunaj, koliko prebivalcev je imela ta država v začetku leta 2001.
Kolikšen je naravni prirastek v tej državi?
Opomba:
Upoštevaj, da število prebivalcev narašča po geometrijskem zaporedju (zakon naravne rasti).
Rešitev:
V začetku leta 2001 je imela država 3 409 659 prebivalcev. Naravni prirastek je 23‰ (oziroma 2,3%).
V začetku leta 2010 je imela država Koruptistan 2 377 470 prebivalcev. Naravni prirastek v tej državi je
13‰.
Izračunaj, kdaj bo število prebivalcev te države preseglo 3 milijone.
Opomba:
Upoštevaj, da število prebivalcev narašča po geometrijskem zaporedju (zakon naravne rasti).
Rešitev:
Število prebivalcev bo preseglo 3 milijone čez 18 let, torej bo to v začetku leta 2028.
Gospod Gregor je 1. januarja 2014 vložil v X-Banko znesek 4090 evrov.
Banka
ta znesek obrestuje po 8-procentni letni obrestni meri.
Izračunaj, koliko denarja bo imel gospod Gregor v banki čez eno leto in koliko čez deset let.
Opomba:
Upoštevaj obrestno obrestovanje z letnim pripisom obresti.
Rešitev:
Čez eno leto bo imel 4417,20 €, čez deset let pa bo imel 8830 €
Dano je aritmetično zaporedje \(a_n=17+6n\). Izračunaj vsoto prvih dvajsetih členov tega zaporedja.
Rešitev:
\(s_{20}=1600\)
Aritmetično zaporedje se začne s členoma \(a_1=730,~ a_2=703\). Izračunaj vsoto vseh pozitivnih členov tega zaporedja.
Rešitev:
\(s_{28}=10\,234\)
Dano je geometrijsko zaporedje \(a_n=3\cdot 6^{n-1}\). Izračunaj vsoto prvih sedmih členov tega zaporedja.
Rešitev:
\(s_7=167\,961\)
Geometrijsko zaporedje se začne s členoma \(a_1=448,~ a_2=672\). Izračunaj vsoto vseh členov, ki so manjši od 5000.
Rešitev:
\(s_6=9310\)
Delavci so kopali jarek za vodovod. Prvi dan so izkopali 200 m dolg jarek. Drugi dan so izkopali 210 m dolg jarek in
vsak naslednji dan so izkopali še za 10 m daljši jarek kot dan pred tem. Izračunaj skupno dolžino jarka, ki so ga izkopali
v prvih desetih dneh.
Namig:
Najprej ugotovi, kakšne vrste zaporedje je to.
Rešitev:
\(s_{10}=2450~\mathrm{m}\)
Delavci so kopali jarek za električni kabel. Prvi dan so izkopali 320 m dolg jarek.
Vsak naslednji dan so izkopali za 10% daljši jarek kot dan pred tem. Izračunaj skupno dolžino jarka, ki so ga izkopali
v prvih desetih dneh.
Namig:
Najprej ugotovi, kakšne vrste zaporedje je to.
Rešitev:
\(s_{10}\doteq5100~\mathrm{m}\)
