Kombinatorika in verjetnostni račun

1. V televizijski oddaji sodeluje 8 kandidatk za miss Krasa. Ob začetku oddaje se vse kandidatke postavijo v vrsto pred kamero. Izračunaj, na koliko različnih načinov se lahko razporedijo.
   Rešitev:    Na 40 320 načinov.
2. Dana je beseda PRESTOLNICA. Izračunaj:
   

   (a)    koliko je vseh permutacij te besede,

   (b)    koliko permutacij te besede se začne na črko P,

   (c)    koliko permutacij te besede se začne in konča na samoglasnik.

   Rešitev:    (a)  39 916 800,     (b)  3 628 800,     (c)  4 354 560
3. Izračunaj, koliko je vseh permutacij besede ARANŽERKA.
   Rešitev:    Vseh permutacij je 30 240.
4. Na polico želimo razporediti deset različnih knjig. Med njimi so štiri matematične knjige. Izračunaj, na koliko načinov lahko razporedimo teh deset knjig tako, da so matematične knjige skupaj.
   Rešitev:    Na 120 960 načinov.
5. Na družabnem večeru so se sestali 3 fiziki, 4 biologi in 5 matematikov. Izračunaj, na koliko načinov se lahko razporedijo pri dolgi ravni mizi tako, da so fiziki skupaj, biologi skupaj in matematiki skupaj.
   Rešitev:    Na 103 680 načinov.
6. V tovarni MegaFactory izdelujejo veliko različnih izdelkov. Zaradi lažjega poslovanja izdelke označujejo s šiframi. Vsaka šifra ima na začetku tri črke (gre za tri velike črke angleške abecede), sledijo pa tri števke, npr.: ABC123. Koliko različnih šifer lahko sestavijo?
   Rešitev:    Sestavijo lahko 17 576 000 različnih šifer.
7. Iz števk 1, 2, 3, 4, 5, 6 in 7 sestavljamo trimestna števila. Izračunaj, koliko različnih števil lahko sestavimo,
   

   (a)    če morajo biti števke med sabo različne,

   (b)    če se števke lahko tudi ponavljajo.

   Rešitev:    Sestavimo lahko:  (a)  210 števil,     (b)  343 števil.
8. Sladoledar prodaja 14 različnih vrst sladoleda. Sladoledna kupa je sestavljena iz treh različnih kepic. Izračunaj, koliko različnih sladolednih kup lahko sladoledar pripravi.
   Rešitev:    Pripravi lahko 364 različnih kup.
9. Janezek ima doma 6 ljubezenskih knjig, 7 znanstveno fantastičnih knjig in 8 kriminalk. Na potovanje bo vzel 3 knjige. Izračunaj, na koliko načinov jih lahko izbere,
   

   (a)    če želi vzeti s sabo po eno knjigo vsake vrste,

   (b)    če želi, da bi bile vse tri knjige iste vrste.

   Rešitev:    Izbere jih lahko:  (a)  na 336 načinov,     (b)  na 111 načinov.
10. V razredu je 12 fantov in 18 deklet. Izmed njih želimo določiti štiričlansko delegacijo za mednarodno srečanje srednjih šol. Izračunaj, na koliko načinov lahko izberemo te 4 predstavnike,
    

    (a)    če želimo, da sta v delegaciji 2 fanta in 2 dekleti,

    (b)    če želimo, da sta v delegaciji zastopana oba spola (vsaj 1 fant in vsaj 1 dekle),

    (c)    če pri izbiranju spol ni pomemben.

    Rešitev:    Izberemo jih lahko:  (a)  na 10 098 načinov,     (b)  na 23 850 načinov,     (c)  na 27 405 načinov.
11. V bobnu za žrebanje so kroglice označene z naravnimi števili od 1 do 20. Iz bobna izžrebamo eno število. Izračunaj verjetnosti dogodkov:
    

    A:   da je izžrebano število 7,

    B:   da je izžrebano število sodo,

    C:   da je izžrebano število večje od 16.

    Rešitev:    \(P(A)=\frac{1}{20}=5\%,\)   \(P(B)=\frac{1}{2}=50\%,\)   \(P(C)=\frac{1}{5}=20\%\)
12. V posodi je 15 rumenih, 16 rdečih, 19 modrih in 10 zelenih kroglic. Iz posode na slepo izvlečemo eno kroglico. Izračunaj verjetnosti dogodkov:
    

    A:   da je ta kroglica rumena,

    B:   da je ta kroglica rdeča ali modra,

    C:   da ta kroglica ni zelena.

    Rešitev:    \(P(A)=\frac{1}{4}=25\%,\)   \(P(B)=\frac{7}{12}\doteq58,\!33\%,\)   \(P(C)=\frac{5}{6}=83,\!33\%\)
13. V posodi je 5 modrih, 8 rdečih in 7 zelenih kroglic. Iz posode na slepo izvlečemo dve kroglici (hkrati). Izračunaj verjetnosti dogodkov:
    

    A:   da sta obe kroglici modri,

    B:   da je ena kroglica rdeča in ena zelena.

    Rešitev:    \(P(A)\doteq5,\!26\%,\)   \(P(B)\doteq29,\!47\%\)
14. V posodi je 5 modrih, 8 rdečih in 7 zelenih kroglic. Iz posode na slepo izvlečemo tri kroglice (hkrati). Izračunaj verjetnosti dogodkov:
    

    A:   da ni nobena od teh treh kroglic modra,

    B:   da je vsaj ena od teh treh kroglic modra.

    Rešitev:    \(P(A)\doteq39,\!91\%,\)   \(P(B)\doteq60,\!09\%\)
15. V posodi je 6 belih in 4 črne kroglice. Iz posode na slepo izvlečemo tri kroglice zaporedoma (najprej prvo, nato drugo, nato tretjo). Kroglic ne vračamo v posodo. Izračunaj verjetnosti dogodkov:
    

    A:   da so vse tri kroglice bele,

    B:   da sta prva in druga kroglica črni, tretja pa je bela.

    Rešitev:    \(P(A)=\frac{1}{6}\doteq16,\!67\%,\)   \(P(B)=\frac{1}{10}=10\%\)
16. V posodi je 6 belih in 4 črne kroglice. Iz posode na slepo izvlečemo tri kroglice zaporedoma. Kroglice sproti vračamo v posodo (najprej izvlečemo prvo in jo vrnemo, nato izvlečemo drugo in jo vrnemo, nato izvlečemo tretjo). Izračunaj verjetnosti dogodkov:
    

    A:   da so vse tri kroglice bele,

    B:   da sta prva in druga kroglica črni, tretja pa je bela.

    Rešitev:    \(P(A)=\frac{27}{125}=21,\!6\%,\)   \(P(B)=\frac{12}{125}=9,\!6\%\)
17. V kompletu je 52 igralnih kart. Delijo se na štiri skupine, ki jih imenujemo barve: križ, srce, karo in pik. V vsaki barvi je 13 kart. Iz tega kompleta na slepo izberemo dve karti. Izračunaj verjetnosti dogodkov:

    A:   obe karti sta pika,

    B:   obe karti sta iste barve.

    Rešitev:    \(P(A)=\frac{1}{17}\doteq5,\!88\%,\)   \(P(B)=\frac{4}{17}\doteq23,\!53\%\)
18. V kompletu je 52 igralnih kart, od tega štirje asi. Iz tega kompleta na slepo izberemo tri karte. Izračunaj verjetnosti dogodkov:

    A:   točno ena od teh treh kart je as,

    B:   vsaj ena od teh treh kart je as.

    Rešitev:    \(P(A)\doteq20,\!42\%,\)   \(P(B)\doteq21,\!74\%\)