Racionalne funkcije

1. Nariši graf funkcije:   ${\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x+1}}$
   Rešitev:    Ničla: $x=1$, pol: $x=-1$, asimptota: $y=1$, sečišče asimptote: /, odsek na navpični osi: $f(0)=-1$
   Vse grafe lahko preveriš s programom Graph.
2. Nariši graf funkcije:   ${\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x-1}}$
   Rešitev:    Ničla: $x=0$, pol: $x=1$, asimptota: $y=2$, sečišče asimptote: /, odsek na navpični osi: $f(0)=0$
3. Nariši graf funkcije:   ${\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-3)}}$
   Rešitev:    Ničla: $x=1~\mathrm{(II.)}$, pola: $x_1=-1,~ x_2=3$, asimptota: $y=1$, sečišče asimptote: /, odsek na navpični osi: $f(0)=-\frac{1}{3}$
4. Nariši graf funkcije:   ${\displaystyle f(x)=\frac{x(x-3)}{(x-1)^2}}$
   Rešitev:    Ničli: $x_1=0,~ x_2=3$, pol: $x=1~\mathrm{(II.)}$, asimptota: $y=1$, sečišče asimptote: $x=-1$, odsek na navpični osi: $f(0)=0$
5. Nariši graf funkcije:   ${\displaystyle f(x)=\frac{x(x-2)}{(x+1)(x-3)}}$
   Rešitev:    Ničli: $x_1=0,~ x_2=2$, pola: $x_1=-1,~ x_2=3$, asimptota: $y=1$, sečišče asimptote: /, odsek na navpični osi: $f(0)=0$
6. Nariši graf funkcije:   ${\displaystyle f(x)=\frac{x(x+2)}{x+1}}$
   Rešitev:    Ničli: $x_1=0,~ x_2=-2$, pol: $x=-1$, asimptota: $y=x+1$, sečišče asimptote: /, odsek na navpični osi: $f(0)=0$
7. Nariši graf funkcije:   ${\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-2x}}$
   Rešitev:    Ničli: $x_1=1,~ x_2=-1$, pola: $x_1=0,~ x_2=2$, asimptota: $y=1$, sečišče asimptote: $x=\frac{1}{2}$, odsek na navpični osi: /
8. Nariši graf funkcije:   ${\displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x-8}{x^2-2x-3}}$
   Rešitev:    Ničli: $x_1=-2,~ x_2=4$, pola: $x_1=-1,~ x_2=3$, asimptota: $y=1$, sečišče asimptote: /, odsek na navpični osi: $f(0)=\frac{8}{3}$
9. Nariši graf funkcije:   ${\displaystyle f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2+2x+1}}$
   Rešitev:    Ničli: $x_1=0~\mathrm{(II.)},~ x_2=-2$, pol: $x=-1~\mathrm{(II.)}$, asimptota: $y=x$, sečišče asimptote: $x=0$, odsek na navpični osi: $f(0)=0$
10. Nariši graf funkcije:   ${\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x+1}}$
    Namig:    Najprej moraš sešteti oba člena (skupni imenovalec, …).
    Rešitev:    Ničle: /, pol: $x=-1$, asimptota: $y=x$, sečišče asimptote: /, odsek na navpični osi: $f(0)=1$
11. Reši enačbe:
    

    (a)    ${\displaystyle\frac{x-2}{x+1}=\frac{1}{x-3}}$

    (b)    ${\displaystyle\frac{x+1}{x+3}=\frac{6}{x^2+3x}}$

    (c)    ${\displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+5x+6}=\frac{3}{x+2}}$

    Rešitev:    (a)  $x_1=1,~ x_2=5$,     (b)  $x=2$,     (c)  $x=5$
12. Reši enačbe:
    

    (a)    ${\displaystyle\frac{x+3}{x^2+x}=\frac{3}{x^2-x}}$

    (b)    ${\displaystyle\frac{x}{x-3}-\frac{3}{x}=\frac{9}{x^2-3x}}$

    (c)    ${\displaystyle\frac{2x-3}{x-2}=\frac{2x-2}{x^2-2x}}$

    Rešitev:    (a)  $x_1=-2,~ x_2=3$,     (b)  enačba nima rešitve,     (c)  $x=\frac{1}{2}$
13. Reši enačbe:
    

    (a)    ${\displaystyle\frac{x^2}{x+3}=\frac{x^2+x-4}{x^2-9}}$

    (b)    ${\displaystyle\frac{x^2+x}{x-2}=\frac{5x-3}{x^2-2x}}$

    (c)    ${\displaystyle\frac{x^2}{x-2}=\frac{3x+2}{x^2-2x}}$

    Rešitev:    (a)  $x_1=-1,~ x_2=1,~ x_3=4$,     (b)  $x_1=-3,~ x_2=1$,     (c)  $x=-1$
14. Reši neenačbo:   ${\displaystyle \frac{x-2}{x}\lt0}$
    Rešitev:    $x\in(0,2)$
15. Reši neenačbo:   ${\displaystyle \frac{x-3}{x+1}\geqslant0}$
    Rešitev:    $x\in(-\infty,-1]\cup[3,\infty)$
16. Reši neenačbo:   ${\displaystyle \frac{x^2}{x^2-1}\leqslant0}$
    Rešitev:    $x\in(-1,1)$
17. Reši neenačbo:   ${\displaystyle \frac{2x}{x-2}\leqslant1}$
    Namig:    Število 1 prenesi na levo stran in združi oba člena v skupni ulomek.
    Rešitev:    $x\in[-2,2)$