Krivulje drugega reda

1. Krožnica ima enačbo $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=50$. Ugotovi, katera od naslednjih točk leži na krožnici, katera leži v notranjosti kroga in katera v zunanjosti: $A(3,8),B(9,3),C(7,6),D(-1,7)$.
   Rešitev:    $A$ leži na krožnici, $B$ leži zunaj kroga, $C$ leži na krožnici, $D$ leži v notranjosti kroga.
2. Zapiši enačbo krožnice, ki ima središče $S(5,-2)$ in poteka skozi točko $T(-1,6)$.
   Rešitev:    $(x-5{)}^2+(y+2{)}^2=100$
3. Točki $A(-2,8)$ in $B(16,4)$ sta krajišči premera krožnice $\mathcal{K}$. Zapiši enačbo krožnice in preveri, če ta krožnica poteka skozi izhodišče koordinatnega sistema.
   Rešitev:    $\mathcal{K}:(x-7{)}^2+(y-6{)}^2=85$. Poteka skozi izhodišče.
4. Zapiši enačbo krožnice, ki poteka skozi točke $A(1,-1),B(3,3)$ in $C(4,2)$.
   Rešitev:    $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=5$
5. Krožnica poteka skozi točke $A(-2,-3),B(10,3)$ in $C(1,12)$. Zapiši središče in polmer te krožnice.
   Rešitev:    $S(2,4),r=\sqrt{65}$
6. Trikotnik ima oglišča $A(-3,6),B(-2,-1)$ in $C(6,3)$. Zapiši enačbo krožnice, ki je očrtana temu trikotniku.
   Rešitev:    $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2=25$
7. Zapiši polmer in koordinati središča krožnice $\mathcal{K}:x^2+y^2-10x+8y+5=0$.
   Rešitev:    $r=6,S(5,-4)$
8. Nariši krožnico z enačbo: $x^2+y^2+2=6(x-y-2)$
   Rešitev:    Krožnica ima $S(3,-3),r=2$.
9. Dana je krožnica $x^2+y^2-2x-8y-48=0$. Izračunaj:
   

   (a)   točki $A$ in $B$, v katerih krožnica seka abscisno os,

   (b)   točki $C$ in $D$, v katerih krožnica seka ordinatno os,

   (c)   točki $E$ in $F$, v katerih krožnica seka simetralo lihih kvadrantov.

   Rešitev:    (a)  $A(-6,0),B(8,0)$;     (b)  $C(0,-4),D(0,12)$;     (c)  $E(-3,-3),F(8,8)$
10. Dana je krožnica $\mathcal{K}:(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=10$. Izračunaj presečišča krožnice $\mathcal{K}$ z naslednjimi premicami:
    

    (a)   $y=3x+5$

    (b)   $x-2y-5=0$

    (c)   $\frac{x}{7}-\frac{y}{5}=1$

    Rešitev:    (a)  $P(-1,2)$;     (b)  $P_1(1,-2),P_2(5,0)$;     (c)  Se na sekata.
11. Dani sta krožnici ${\mathcal{K}}_1:(x+2{)}^2+(y-5{)}^2=25$ in ${\mathcal{K}}_2:(x-4{)}^2+(y-3{)}^2=5$. Izračunaj:
    

    (a)   presečišči krožnic,

    (b)   dolžino skupne tetive (rezultat naj bo točen).

    Rešitev:    (a)  $P_1(2,2),P_2(3,5)$;     (b)  $t=\sqrt{10}$
12. Krožnica se dotika obeh koordinatnih osi in poteka skozi točko $A(9,2)$. Zapiši enačbo te krožnice.
    Rešitev:    ${\mathcal{K}}_1:(x-5{)}^2+(y-5{)}^2=25$,    ${\mathcal{K}}_2:(x-17{)}^2+(y-17{)}^2=289$
13. Krožnica s polmerom $r=5$ poteka skozi točki $A(1,3)$ in $B(8,4)$. Zapiši enačbo te krožnice.
    Rešitev:    ${\mathcal{K}}_1:(x-4{)}^2+(y-7{)}^2=25$,    ${\mathcal{K}}_2:(x-5{)}^2+y^2=25$
14. Krožnici ${\mathcal{K}}_1$ in ${\mathcal{K}}_2$ se sekata v točkah $A(3,0)$ in $B(5,6)$. Zapiši središči teh dveh krožnic, če veš, da sta oba polmera enaka $r_1=r_2=2\sqrt{5}$.
    Rešitev:    $S_1(1,4),S_2(7,2)$
15. Krožnica $\mathcal{K}$ poteka skozi točki $A(-7,2)$ in $B(1,-10)$. Središče krožnice leži na premici $y=-\frac{1}{2}x+5$. Zapiši enačbo te krožnice.
    Rešitev:    $\mathcal{K}:(x-6{)}^2+(y-2{)}^2=169$
16. Premica z enačbo $y=2x-11$ poteka skozi središče krožnice $\mathcal{K}$. Premica z enačbo $y=3x-2$ pa seka krožnico v presečiščih $P_1(-1,-5)$ in $P_2(4,10)$. Izračunaj koordinati središča krožnice $\mathcal{K}$.
    Rešitev:    $S(6,1)$
17. Krožnica se dotika premice $y=3$ v točki z absciso $x=6$. Središče krožnice leži na premici $y=\frac{1}{2}x+2$. Zapiši enačbo te krožnice.
    Rešitev:    $(x-6{)}^2+(y-5{)}^2=4$
18. Krožnica se dotika premice $y=-3x+8$ v točki $T(1,5)$. Premica $y=x+2$ poteka skozi središče te krožnice. Zapiši enačbo krožnice.
    Rešitev:    $(x-4{)}^2+(y-6{)}^2=10$
19. Ugotovi, za katero vrednost parametra $m$ enačba predstavlja krožnico:
    

    (a)   $x^2+y^2-10x+2y+33-m=0$

    (b)   $x^2+y^2-2mx+4my+6m^2-4=0$

    (c)   $x^2+y^2-6x-2my+2m+9=0$

    Rešitev:    To je krožnica za: (a)  $m>7$;     (b)  $-2<m<2$;     (c)  $m\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (2,\mathrm{\infty })$
20. Dana je družina krožnic:   $x^2+y^2-2ax-8ay-1=0$. Dokaži, da središča vseh krožnic iz te družine ležijo na premici $p:y=4x$.
    Rešitev:    Središče ima koordinati $S(a,4a)$ in torej leži na $p$.
21. Elipsa ima enačbo ${\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1}$. Nariši to elipso in zapiši koordinate temen in gorišč.
    Rešitev:    Temena: $T_1(5,0),T_2(0,3),T_3(-5,0),T_4(0,-3)$;   gorišči: $G_1(4,0),G_2(-4,0)$
22. Elipsa ima enačbo ${\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}=1}$. Nariši to elipso in zapiši (s koordinatami) obe gorišči. Na tri mesta natančno izračunaj numerično ekscentričnost.
    Rešitev:    Gorišči: $G_1(0,\sqrt{3}),G_2(0,-\sqrt{3})$;   numerična ekscentričnost: $\epsilon \doteq 0,866=86,6\mathrm{\%}$
23. Določi središče in obe polosi ter nariši elipso, ki ustreza enačbi:
    

    (a)   $x^2+9y^2-2x+54y+73=0$

    (b)   $9x^2+4y^2+16y-20=0$

    (c)   $2x^2+8y^2+4x-16y-22=0$

    Rešitev:    (Oznaka $a$ pomeni vodoravno, oznaka $b$ pa navpično polos.)
    (a)  $S(1,-3),a=3,b=1$;     (b)  $S(0,-2),a=2,b=3$;     (c)  $S(-1,1),a=4,b=2$
24. Nariši elipso z enačbo $16x^2+7y^2=56y$. Zapiši tudi numerično ekscentričnost te elipse.
    Rešitev:    $S(0,4),a=\sqrt{7},b=4,\epsilon =\frac{3}{4}$
25. Nariši elipso z enačbo $16x^2+25y(y-4)=0$. Zapiši tudi koordinate gorišč.
    Rešitev:    $S(0,2),a=\frac{5}{2},b=2,G_1(\frac{3}{2},2),G_2(-\frac{3}{2},2)$
26. Elipsa ima dve od temen v točkah $T_1(8,0)$ in $T_2(-8,0)$. Elipsa poteka tudi skozi točko $A(6,\frac{7}{2})$. Zapiši enačbo te elipse in izračunaj njeno numerično ekscentričnost.
    Rešitev:    $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{28}=1,\epsilon =\frac{3}{4}$
27. Elipsa ima gorišči v točkah $G_1(-6,3)$ in $G_2(4,3)$, eno od temen pa v točki $T_1(6,3)$. Zapiši enačbo te elipse.
    Rešitev:    $\frac{(x+1{)}^2}{49}+\frac{(y-3{)}^2}{24}=1$
28. Elipsa ima dve od temen v točkah $T_1(0,0)$ in $T_2(12,0)$, eno od gorišč pa v točki $G_1(6,3)$. Zapiši enačbo te elipse in izračunaj njeno numerično ekscentričnost.
    Rešitev:    $\frac{(x-6{)}^2}{36}+\frac{y^2}{45}=1,\epsilon =\frac{\sqrt{5}}{5}$
29. Elipsa ima enačbo ${\displaystyle \frac{(x+2{)}^2}{20}+\frac{(y-1{)}^2}{5}=1}$.
    

    (a)   Izračunaj presečišča te elipse s koordinatnima osema.

    (b)   Izračunaj presečišča te elipse s premico $y=\frac{1}{2}x+1$.

    Rešitev:    (a)  $A(-6,0),B(2,0),$ $C(0,-1),D(0,3)$;     (b)  $P_1(-4,-1),P_2(2,2)$
30. Elipsa ima enačbo ${\displaystyle \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}=1}$. Določi realni parameter $n$ tako, da bo premica $y=2x+n$ tangenta te elipse. Zapiši tudi koordinati dotikališča.
    Rešitev:    (1)  $n_1=-8,D(3,-2)$;     (2)  $n_1=8,D(-3,2)$
31. Nariši hiperbolo z enačbo ${\displaystyle \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1}$. Zapiši tudi koordinate temen in gorišč.
    Rešitev:    Hiperbola I. tipa; temeni: $T_1(4,0),T_2(-4,0)$;   gorišči: $G_1(5,0),G_2(-5,0)$
32. Nariši hiperbolo z enačbo ${\displaystyle \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=-1}$. Zapiši tudi koordinate temen in gorišč.
    Rešitev:    Hiperbola II. tipa; temeni: $T_1(0,3),T_2(0,-3)$;   gorišči: $G_1(0,5),G_2(0,-5)$
33. Določi središče in obe polosi ter nariši hiperbolo, ki ustreza enačbi:
    

    (a)   $4x^2-9y^2-16x+18y-29=0$

    (b)   $x^2-4y^2-2x-24y-31=0$

    Rešitev:    (Oznaka $a$ pomeni vodoravno, oznaka $b$ pa navpično polos.)
    (a)  $S(2,1),a=3,b=2$ (I. tip);     (b)  $S(1,-3),a=2,b=1$ (II. tip)
34. Nariši hiperbolo z enačbo $4x(x+4)=y^2$. Zapiši tudi enačbi obeh asimptot.
    Rešitev:    $\frac{(x+2{)}^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$;   asimptoti: $y=2x+4$ in $y=-2x-4$
35. Zapiši enačbo hiperbole, ki ima gorišči $G_1(-7,-1),G_2(13,-1)$ in temeni $T_1(-3,-1),T_2(9,-1)$.
    Rešitev:    $\frac{(x-3{)}^2}{36}-\frac{(y+1{)}^2}{64}=1$
36. Hiperbola z numerično ekscentričnostjo $\epsilon =2$ ima gorišči $G_1(3,-3)$ in $G_2(3,5)$. Zapiši enačbo te hiperbole.
    Rešitev:    $\frac{(x-3{)}^2}{12}-\frac{(y-1{)}^2}{4}=-1$
37. Hiperbola ima asimptoti $y=x+2$ in $y=-x+2$. Zapiši enačbo te hiperbole, če veš, da poteka skozi izhodišče koordinatnega sistema.
    Rešitev:    $\frac{x^2}{4}-\frac{(y-2{)}^2}{4}=-1$
38. Hiperbola ima asimptoti $y=\frac{1}{2}x$ in $y=-\frac{1}{2}x$. Zapiši enačbo te hiperbole, če veš, da poteka skozi točko $A(10,4)$.
    Rešitev:    $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{9}=1$
39. Elipsa ima enačbo ${\displaystyle \frac{(x-3{)}^2}{64}+\frac{(y-1{)}^2}{39}=1}$. Hiperbola ima isti gorišči kot elipsa, numerična ekscentričnost hiperbole pa je dvakrat tolikšna kot numerična ekscentričnost elipse. Nariši to hiperbolo in zapiši njeno enačbo.
    Rešitev:    Hiperbola: $\frac{(x-3{)}^2}{16}-\frac{(y-1{)}^2}{9}=1$
40. Dana je hiperbola ${\displaystyle \frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{8}=1}$. Izračunaj presečišča te hiperbole s premico:
    

    (a)   $y=2x-4$

    (b)   $y=2x-28$

    (c)   $y=2x-1$

    Rešitev:    (a)  $P(3,2)$;     (b)  $P_1(9,-10),P_2(33,38)$;     (c)  ni presečišč
41. Hiperbola ima enačbo ${\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{2}=1}$. Določi realni parameter $n$ tako, da bo premica $y=\frac{1}{2}x+n$ tangenta te hiperbole. Zapiši tudi koordinati dotikališča.
    Rešitev:    (1)  $n_1=-\frac{1}{2},D(9,4)$;     (2)  $n_1=\frac{1}{2},D(-9,-4)$
42. Nariši parabolo z enačbo $y^2=6x$. Zapiši tudi gorišče in enačbo premice vodnice.
    Rešitev:    Gorišče: $G(\frac{3}{2},0)$,   vodnica $v:x=-\frac{3}{2}$
43. Določi teme, gorišče in vodnico ter nariši parabolo z enačbo:
    

    (a)   $y^2=4(x+2)$

    (b)   $(y-1{)}^2=-2x$

    (c)   $(x-3{)}^2=6(y+2)$

    Rešitev:    (a)  $T(-2,0),G(-1,0),v:x=-3$;     (b)  $T(0,1),G(-\frac{1}{2},1),v:x=\frac{1}{2}$;     (c)  $T(3,-2),G(3,-\frac{1}{2}),v:y=-\frac{7}{2}$
44. Nariši parabolo z enačbo $y^2-8y-4x+12=0$. Izračunaj tudi koordinate presečišč parabole s koordinatnima osema.
    Rešitev:    Parabola: $(y-4{)}^2=4(x+1)$;   presečišča: $A(0,2),B(0,6)$ in $C(3,0)$
45. Nariši parabolo z enačbo $y=\frac{1}{2}{x}^2-2x+3$. Zapiši tudi koordinate temena in gorišča.
    Rešitev:    Parabola: $(x-2{)}^2=2(y-1)$;   $T(2,1),G(2,\frac{3}{2})$
46. Parabola ima teme $T(1,2)$ in gorišče $G(-1,2)$. Nariši to parabolo in zapiši njeno enačbo.
    Rešitev:    Parabola: $(y-2{)}^2=-8(x-1)$
47. Podana je točka $G(3,0)$ in premica $v:x=-3$. Nariši naslednje množice točk. Za vsako od množic zapiši tudi ustrezno enačbo.
    

    (a)   Množica točk $T(x,y)$, ki so od premice $v$ dvakrat bolj oddaljene kot od točke $G$.

    (b)   Množica točk $T(x,y)$, ki so od točke $G$ dvakrat bolj oddaljene kot od premice $v$.

    (c)   Množica točk $T(x,y)$, ki so od premice $v$ enako oddaljene kot od točke $G$.

    Rešitev:    (a)  elipsa: $\frac{(x-5{)}^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$;     (b)  hiperbola: $\frac{(x+5{)}^2}{16}-\frac{y^2}{48}=1$;     (c)  parabola: $y^2=12x$
48. Razcepi levo stran enačbe na produkt dveh faktorjev in nariši ustrezno množico točk:
    

    (a)   $x^2-xy-2x+2y=0$

    (b)   $x^2-4x+4-y^2=0$

    (c)   $x^2-2xy+y^2-4=0$

    Rešitev:    (a)  $(x-2)(x-y)=0$;     (b)  $(x-2-y)(x-2+y)=0$;     (c)  $(x-y-2)(x-y+2)=0$
49. Razcepi enačbo in nariši ustrezno množico točk:
    

    (a)   $x^2+2xy-8y^2=0$

    (b)   $3x^2+5xy-2y^2=0$

    (c)   $2x^2+xy-y^2-7x+5y-4=0$

    Rešitev:    (a)  $(x-2y)(x+4y)=0$;     (b)  $(x+2y)(3x-y)=0$;     (c)  $(2x-y+1)(x+y-4)=0$
50. Nariši množico točk, ki ustrezajo enačbi:
    

    (a)   $9x^2-4y^2+18x+24y+9=0$

    (b)   $4x^2+9y^2-24x+36y+72=0$

    (c)   $9x^2+9y^2+18x-12y+4=0$

    (d)   $2x^2+3xy-2y^2-3x+4y-2=0$

    (e)   $3x^2+4y^2-12x-8y-32=0$

    (f)   $x^2-4x+2y+8=0$

    (g)   $x^2+y^2=8x$

    (h)   $4x^2+y^2=4xy+1$

    (i)   $5x(x-4)=4y^2$

    (j)   $y^2=4(x+y)$

    (k)   $4x^2+8x=y^2-4y$

    (l)   $x^2+y^2+1=6(x-2)$

    (m)   $16x^2=4y-y^2$

    (n)   $(x-y)(x+y)=2x$

    Rešitev:   
    (a)  hiperbola: $\frac{(x+1{)}^2}{4}-\frac{(y-3{)}^2}{9}=-1$
    (b)  točka: $T(3,-2)$ (izrojena elipsa)
    (c)  krožnica: $(x+1{)}^2+(y-\frac{2}{3}{)}^2=1$
    (d)  dve premici: $y=2x+1,y=-\frac{1}{2}x+1$ (razcepna enačba)
    (e)  elipsa: $\frac{(x-2{)}^2}{16}+\frac{(y-1{)}^2}{12}=1$
    (f)  parabola: $(x-2{)}^2=-2(y+2)$
    (g)  krožnica: $(x-4{)}^2+y^2=16$
    (h)  dve premici: $y=2x-1,y=2x+1$ (razcepna enačba)
    (i)  hiperbola: $\frac{(x-2{)}^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$
    (j)  parabola: $(y-2{)}^2=4(x+1)$
    (k)  dve premici: $y=-2x,y=2x+4$ (izrojena hiperbola/razcepna enačba)
    (l)  prazna množica (nobena točka ne ustreza enačbi)
    (m)  elipsa: $\frac{x^2}{1/4}+\frac{(y-2{)}^2}{4}=1$
    (n)  hiperbola: $(x-1{)}^2-y^2=1$

 Domov