Polinomi in racionalne funkcije

1. Izračunaj količnik in ostanek pri deljenju:   \((x^4+5x^3+10x^2+16x-12):(x^2+3x-1)\)
   Rešitev:    \(k(x)=x^2+2x+5,~~ o(x)=3x-7\)
2. Izračunaj količnik in ostanek pri deljenju:   \((3x^4-13x^3+7x^2-10x+3):(x^3-4x^2+x-3)\)
   Rešitev:    \(k(x)=3x-1,~~ o(x)=0\) (deljenje se izide brez ostanka)
3. Izračunaj količnik in ostanek pri deljenju:   \((x^3+x^2-4x+3):(2x+6)\)
   Rešitev:    \(k(x)=\frac{1}{2}x^2-x+1,~~ o(x)=-3\)
4. Dan je polinom \(p(x)=2x^3+3x^2-3x-2\). Izračunaj vrednost polinoma:
   

   (a)    \(p(2)\)

   (b)    \(p(-1)\)

   (c)    \(p(-\frac{1}{2})\)

   Rešitev:    (a)  \(p(2)=20\),     (b)  \(p(-1)=2\),     (c)  \(p(-\frac{1}{2})=0\), torej je število \(-\frac{1}{2}\) ničla tega polinoma
5. Z razcepom izračunaj ničle polinoma (upoštevaj tudi nerealne ničle):
   

   (a)    \(p(x)=x^3-2x^2-9x+18\)

   (b)    \(p(x)=3x^5-6x^4+12x^3-24x^2\)

   (c)    \(p(x)=x^5-2x^4-x^3+2x^2-2x+4\)

   (d)    \(p(x)=x^5-2x^4-3x^3-8x^2+16x+24\)

   Rešitev:    (a)  \(x_1=2,~ x_2=3,~ x_3=-3\),     (b)  \(x_1=0~\mathrm{(II.)},~ x_2=2,~ x_3=2i,~ x_4=-2i\),     (c)  \(x_1=2,~ x_2=\sqrt{2},~ x_3=-\sqrt{2},~ x_4=i,~ x_5=-i\),     (d)  \(x_1=-1,~ x_2=2,~ x_3=3,~ x_4=-1+i\sqrt{3},~ x_5=-1-i\sqrt{3}\)
6. Izračunaj vse (realne in nerealne) ničle polinoma:
   

   (a)    \(p(x)=x^3+4x^2-7x-10\)

   (b)    \(p(x)=x^4+8x^3+21x^2+22x+8\)

   (c)    \(p(x)=x^4-4x^3+x^2+8x-6\)

   (d)    \(p(x)=x^5-2x^3+4x^2\)

   Rešitev:    (a)  \(x_1=-1,~ x_2=2,~ x_3=-5\),     (b)  \(x_1=-1~\mathrm{(II.)},~ x_2=-2,~ x_3=-4\),     (c)  \(x_1=1,~ x_2=3,~ x_3=\sqrt{2},~ x_4=-\sqrt{2}\),     (d)  \(x_1=0~\mathrm{(II.)},~ x_2=-2,~ x_3=1+i,~ x_4=1-i\)
7. Izračunaj vse ničle polinoma (v obsegu kompleksnih števil):
   

   (a)    \(p(x)=3x^3-4x^2-5x+2\)

   (b)    \(p(x)=2x^3-7x^2+4x+3\)

   (c)    \(p(x)=2x^4+11x^3+23x^2+19x+5\)

   (d)    \(p(x)=x^4-x^3+\frac{17}{4}x^2-4x+1\)

   Rešitev:    (a)  \(x_1=-1,~ x_2=\frac{1}{3},~ x_3=2\),     (b)  \(x_1=\frac{3}{2},~ x_2=1+\sqrt{2},~ x_3=1-\sqrt{2}\),     (c)  \(x_1=-\frac{1}{2},~ x_2=-1,~ x_3=-2+i,~ x_4=-2-i\),     (d)  \(x_1=\frac{1}{2}~\mathrm{(II.)},~ x_2=2i,~ x_3=-2i\)
8. Razcepi polinom (v obsegu kompleksnih števil):
   

   (a)    \(p(x)=4x^4-11x^2+9x-2\)

   (b)    \(p(x)=-4x^4-13x^3-15x^2-7x-1\)

   (c)    \(p(x)=4x^5-8x^4-32x^3-24x^2-4x\)

   (d)    \(p(x)=4x^6+4x^5+13x^4+12x^3+11x^2+8x+2\)

   Rešitev:    (a)  \(p(x)=4(x-\frac{1}{2})^2(x-1)(x+2)\),     (b)  \(p(x)=-4(x+1)^3(x+\frac{1}{4})\),     (c)  \(p(x)=4x(x+1)^2(x-2-\sqrt{5})(x-2+\sqrt{5})\),     (d)  \(p(x)=4(x+\frac{1}{2})^2(x-i)(x+i)(x-i\sqrt{2})(x+i\sqrt{2})\)
9. Dan je polinom: \(p(x)=x^5-4x^4+x^3+8x^2-32x+8\). Razcepi ta polinom:
   

   (a)    v obsegu \(\mathbb{Q}\)

   (b)    v obsegu \(\mathbb{R}\)

   (c)    v obsegu \(\mathbb{C}\)

   Rešitev:    (a)  \(p(x)=(x+2)(x^2-2x+4)(x^2-4x+1)\),     (b)  \(p(x)=(x+2)(x^2-2x+4)(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})\),     (c)  \(p(x)=(x+2)(x-1-i\sqrt{3})(x-1+i\sqrt{3})(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})\)
10. Polinom \(p(x)=4x^4+29x^3+28x^2-15x-18\) ima ničlo \(x_1=\frac{3}{4}\). Izračunaj vse ostale ničle tega polinoma.
    Rešitev:    \(x_2=-6,~ x_3=-1~\mathrm{(II.)}\)
11. Polinom \(p(x)=x^4-6x^3+5x^2+30x-50\) je deljiv s polinomom \(q(x)=x^2-5\). Izračunaj vse štiri ničle tega polinoma.
    Rešitev:    \(x_1=\sqrt{5},~ x_2=-\sqrt{5},~ x_3=3+i,~ x_4=3-i\)
12. Polinom \(p(x)=x^4-6x^3+12x^2-6x-5\) ima nerealni ničli \(x_1=2+i\) in \(x_2=2-i\). Izračunaj obe realni ničli tega polinoma. Rezultata naj bosta točna.
    Rešitev:    \(x_3=1+\sqrt{2},~ x_4=1-\sqrt{2}\)
13. Dan je polinom \(p(x)=x^3+ax-5\). Določi realni parameter \(a\) tako, da bo graf polinoma potekal skozi točko \(A(1+\sqrt{2},4\sqrt{2})\).
    Rešitev:    \(a=-\sqrt{2}\)
14. Dan je polinom \(p(x)=3x^3-14x^2+ax+b\). Izračunaj realna parametra \(a\) in \(b\), če veš, da ima polinom ničli \(x_1=2\) in \(x_2=3\). Izračunaj tudi tretjo ničlo.
    Rešitev:    \(a=13,~ b=6,~ x_3=-\frac{1}{3}\)
15. Dan je polinom \(p(x)=x^4-9x^2+ax+b\). Izračunaj realna parametra \(a\) in \(b\), če veš, da ima polinom dvojno ničlo \(x_1=-2\).
    Rešitev:    \(a=-4,~ b=12\)
16. Dan je polinom \(p(x)=x^3-7x^2+ax+b\). Izračunaj realna parametra \(a\) in \(b\), če veš, da ima polinom ničlo \(x_1=2-i\).
    Rešitev:    \(a=17,~ b=-15\)
17. Polinom \(p\) je polinom tretje stopnje. Ima enostavno ničlo \(x_1=3\) in dvojno ničlo \(x_2=-1\). Graf tega polinoma poteka skozi točko \(A(1,-16)\). Zapiši enačbo tega polinoma v splošni obliki.
    Rešitev:    \(p(x)=2x^3-2x^2-10x-6\)
18. Polinom tretje stopnje z realnimi koeficienti ima ničli \(x_1=2\) in \(x_2=1-3i\). Graf tega polinoma seka ordinatno os pri \(y=10\). Zapiši enačbo tega polinoma v splošni obliki.
    Rešitev:    \(p(x)=-\frac{1}{2}x^3+2x^2-7x+10\)
19. Graf polinoma tretje stopnje poteka skozi točke \(A(-1,-11),~ B(0,-3),~ C(1,-5)\) in \(D(3,9)\). Zapiši enačbo tega polinoma v splošni obliki.
    Rešitev:    \(p(x)=2x^3-5x^2+x-3\)
20. Izračunaj obe realni ničli polinoma \(p(x)=x^4-2x^3-1\). Pomagaj si s poljubno numerično metodo. Rezultata zaokroži na pet decimalk.
    Rešitev:    \(x_1\doteq-0,\!71667,~ x_2\doteq2,\!10692\)
21. Izračunaj ničle in nariši graf polinoma:
    

    (a)    \(p(x)=(x+1)(x-2)(x-3)\)

    (b)    \(p(x)=x^3-x^2-x+1\)

    (c)    \(p(x)=x^4-2x^3-x^2+2x\)

    (d)    \(p(x)=x^4-5x^3+6x^2\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=-1,~ x_2=2,~ x_3=3\),     (b)  \(x_1=-1,~ x_2=1~\mathrm{(II.)}\),     (c)  \(x_1=-1,~ x_2=0,~ x_3=1,~ x_4=2\),     (d)  \(x_1=0~\mathrm{(II.)},~ x_2=2,~ x_3=3\)
22. Izračunaj realne ničle in stacionarne točke polinoma ter nariši graf:
    

    (a)    \(p(x)=x^3-3x-2\)

    (b)    \(p(x)=2x^3-9x^2+12x\)

    (c)    \(p(x)=x^3-4x^2+4x-3\)

    (d)    \(p(x)=x^4-2x^3\)

    Rešitev:    (a)  ničli: \(x_1=-1~\mathrm{(II.)},~ x_2=2\), max.: \((-1,0)\), min.: \((1,-4)\)     (b)  ničle: \(x_1=0,~ x_{2,3}\not\in\mathbb{R}\), max.: \((1,5)\), min.: \((2,4)\)     (c)  ničle: \(x_1=3,~ x_{2,3}\not\in\mathbb{R}\), max.: \((\frac{2}{3},-\frac{49}{27})\), min.: \((2,-3)\)     (d)  ničli: \(x_1=0~\mathrm{(III.)},~ x_2=2\), vodoravni prevoj: \((0,0)\), min.: \((\frac{3}{2},-\frac{27}{16})\)
23. Zapiši enačbo vodoravne asimptote in nariši graf racionalne funkcije:
    

    (a)    \({\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x-1}}\)

    (b)    \({\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-2)}}\)

    (c)    \({\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x^2}}\)

    (d)    \({\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2(x+1)}{(x+2)^2(x-2)}}\)

    Rešitev:    (a)  asimptota: \(y=1\),     (b)  asimptota: \(y=1\) (graf jo seka pri \(x=3\)),     (c)  asimptota: \(y=1\) (graf jo seka pri \(x=\frac{2}{3}\)),     (d)  asimptota: \(y=1\) (graf jo seka pri \(x_1\doteq2,\!303\) in \(x_2\doteq-1,\!303\))
24. Zapiši enačbo vodoravne asimptote in nariši graf racionalne funkcije:
    

    (a)    \({\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{1-x^2}}\)

    (b)    \({\displaystyle f(x)=\frac{3x-6}{x^2+x-2}}\)

    (c)    \({\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-x-3}{x^2+x-2}}\)

    (d)    \({\displaystyle f(x)=\frac{x^3-2x^2}{x^3-x^2-x+1}}\)

    Rešitev:    (a)  asimptota: \(y=-1\),     (b)  asimptota: \(y=0\) (graf jo seka v ničli \(x=2\)),     (c)  asimptota: \(y=2\) (graf jo seka pri \(x=\frac{1}{3}\)),     (d)  asimptota: \(y=1\)
25. Nariši graf racionalne funkcije:
    

    (a)    \({\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-1}}\)

    (b)    \({\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-6}{2x-2}}\)

    (c)    \({\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2-3}}\)

    Rešitev:    (a)  asimptota: \(y=x+1\),     (b)  asimptota: \(y=\frac{x}{2}\),     (c)  asimptota: \(y=x\) (graf jo seka pri \(x=0\))
26. Nariši graf racionalne funkcije:
    

    (a)    \({\displaystyle f(x)=2-\frac{x+1}{x^2}}\)

    (b)    \({\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-3}+\frac{2}{x}}\)

    (c)    \({\displaystyle f(x)=x+3-\frac{4}{x^2}}\)

    Rešitev:    (a)  asimptota: \(y=2\) (graf jo seka pri \(x=-1\)),     (b)  asimptota: \(y=0\) (graf jo seka v ničli \(x=2\)),     (c)  asimptota: \(y=x+3\)
27. Reši enačbo:
    

    (a)    \({\displaystyle \frac{x^2+x}{x-2}-\frac{5}{x}=\frac{7}{x^2-2x}}\)

    (b)    \({\displaystyle \frac{2x^2+x-6}{x^2+2x}=x-\frac{2}{x}}\)

    (c)    \({\displaystyle \frac{2x}{x-1}-\frac{1}{x}=\frac{5x-1}{x^3-x}}\)

    (d)    \({\displaystyle \frac{x+3}{(x-1)^2}-\frac{2x}{(x-1)^3}=1}\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=1,~ x_2=-3\),     (b)  \(x=1\),     (c)  \(x_1=-2,~ x_2=\frac{1}{2}\),     (d)  \(x_1=2,~ x_2=1+\sqrt{2},~ x_3=1-\sqrt{2}\)
28. Reši neenačbo:
    

    (a)    \(x^3-x^2-x\geqslant x^2-2\)

    (b)    \(x^4+2x \leqslant 3x^2\)

    Rešitev:    (a)  \(x\in[-1,1]\cup[2,\infty)\),     (b)  \(x\in[-2,0]\cup\{1\}\)
29. Reši neenačbo:
    

    (a)    \({\displaystyle \frac{x}{x-3}\lt 0}\)

    (b)    \({\displaystyle \frac{x^2+2x-9}{x^2-4}\gt 2}\)

    (c)    \({\displaystyle 1\leqslant\frac{1}{x^3+1}}\)

    (d)    \({\displaystyle \frac{x^2-2x-1}{x^2-2x+1}\geqslant -\frac{x}{2}}\)

    Rešitev:    (a)  \(x\in(0,3)\),     (b)  \(x\in(-2,1)\cup(1,2)\),     (c)  \(x\in(-1,0]\),     (d)  \(x\in\{-1\}\cup[2,\infty)\)

 Domov