Polinomi in racionalne funkcije

1. Izračunaj količnik in ostanek pri deljenju:   $(x^4+5x^3+10x^2+16x-12):(x^2+3x-1)$
   Rešitev:    $k(x)=x^2+2x+5,o(x)=3x-7$
2. Izračunaj količnik in ostanek pri deljenju:   $(3x^4-13x^3+7x^2-10x+3):(x^3-4x^2+x-3)$
   Rešitev:    $k(x)=3x-1,o(x)=0$ (deljenje se izide brez ostanka)
3. Izračunaj količnik in ostanek pri deljenju:   $(x^3+x^2-4x+3):(2x+6)$
   Rešitev:    $k(x)=\frac{1}{2}{x}^2-x+1,o(x)=-3$
4. Dan je polinom $p(x)=2x^3+3x^2-3x-2$. Izračunaj vrednost polinoma:
   

   (a)    $p(2)$

   (b)    $p(-1)$

   (c)    $p(-\frac{1}{2})$

   Rešitev:    (a)  $p(2)=20$,     (b)  $p(-1)=2$,     (c)  $p(-\frac{1}{2})=0$, torej je število $-\frac{1}{2}$ ničla tega polinoma
5. Z razcepom izračunaj ničle polinoma (upoštevaj tudi nerealne ničle):
   

   (a)    $p(x)=x^3-2x^2-9x+18$

   (b)    $p(x)=3x^5-6x^4+12x^3-24x^2$

   (c)    $p(x)=x^5-2x^4-x^3+2x^2-2x+4$

   (d)    $p(x)=x^5-2x^4-3x^3-8x^2+16x+24$

   Rešitev:    (a)  $x_1=2,x_2=3,x_3=-3$,     (b)  $x_1=0(\mathrm{II}.),x_2=2,x_3=2i,x_4=-2i$,     (c)  $x_1=2,x_2=\sqrt{2},x_3=-\sqrt{2},x_4=i,x_5=-i$,     (d)  $x_1=-1,x_2=2,x_3=3,x_4=-1+i\sqrt{3},x_5=-1-i\sqrt{3}$
6. Izračunaj vse (realne in nerealne) ničle polinoma:
   

   (a)    $p(x)=x^3+4x^2-7x-10$

   (b)    $p(x)=x^4+8x^3+21x^2+22x+8$

   (c)    $p(x)=x^4-4x^3+x^2+8x-6$

   (d)    $p(x)=x^5-2x^3+4x^2$

   Rešitev:    (a)  $x_1=-1,x_2=2,x_3=-5$,     (b)  $x_1=-1(\mathrm{II}.),x_2=-2,x_3=-4$,     (c)  $x_1=1,x_2=3,x_3=\sqrt{2},x_4=-\sqrt{2}$,     (d)  $x_1=0(\mathrm{II}.),x_2=-2,x_3=1+i,x_4=1-i$
7. Izračunaj vse ničle polinoma (v obsegu kompleksnih števil):
   

   (a)    $p(x)=3x^3-4x^2-5x+2$

   (b)    $p(x)=2x^3-7x^2+4x+3$

   (c)    $p(x)=2x^4+11x^3+23x^2+19x+5$

   (d)    $p(x)=x^4-x^3+\frac{17}{4}{x}^2-4x+1$

   Rešitev:    (a)  $x_1=-1,x_2=\frac{1}{3},x_3=2$,     (b)  $x_1=\frac{3}{2},x_2=1+\sqrt{2},x_3=1-\sqrt{2}$,     (c)  $x_1=-\frac{1}{2},x_2=-1,x_3=-2+i,x_4=-2-i$,     (d)  $x_1=\frac{1}{2}(\mathrm{II}.),x_2=2i,x_3=-2i$
8. Razcepi polinom (v obsegu kompleksnih števil):
   

   (a)    $p(x)=4x^4-11x^2+9x-2$

   (b)    $p(x)=-4x^4-13x^3-15x^2-7x-1$

   (c)    $p(x)=4x^5-8x^4-32x^3-24x^2-4x$

   (d)    $p(x)=4x^6+4x^5+13x^4+12x^3+11x^2+8x+2$

   Rešitev:    (a)  $p(x)=4(x-\frac{1}{2}{)}^2(x-1)(x+2)$,     (b)  $p(x)=-4(x+1{)}^3(x+\frac{1}{4})$,     (c)  $p(x)=4x(x+1{)}^2(x-2-\sqrt{5})(x-2+\sqrt{5})$,     (d)  $p(x)=4(x+\frac{1}{2}{)}^2(x-i)(x+i)(x-i\sqrt{2})(x+i\sqrt{2})$
9. Dan je polinom: $p(x)=x^5-4x^4+x^3+8x^2-32x+8$. Razcepi ta polinom:
   

   (a)    v obsegu $\mathbb{Q}$

   (b)    v obsegu $\mathbb{R}$

   (c)    v obsegu $\mathbb{C}$

   Rešitev:    (a)  $p(x)=(x+2)(x^2-2x+4)(x^2-4x+1)$,     (b)  $p(x)=(x+2)(x^2-2x+4)(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})$,     (c)  $p(x)=(x+2)(x-1-i\sqrt{3})(x-1+i\sqrt{3})(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})$
10. Polinom $p(x)=4x^4+29x^3+28x^2-15x-18$ ima ničlo $x_1=\frac{3}{4}$. Izračunaj vse ostale ničle tega polinoma.
    Rešitev:    $x_2=-6,x_3=-1(\mathrm{II}.)$
11. Polinom $p(x)=x^4-6x^3+5x^2+30x-50$ je deljiv s polinomom $q(x)=x^2-5$. Izračunaj vse štiri ničle tega polinoma.
    Rešitev:    $x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5},x_3=3+i,x_4=3-i$
12. Polinom $p(x)=x^4-6x^3+12x^2-6x-5$ ima nerealni ničli $x_1=2+i$ in $x_2=2-i$. Izračunaj obe realni ničli tega polinoma. Rezultata naj bosta točna.
    Rešitev:    $x_3=1+\sqrt{2},x_4=1-\sqrt{2}$
13. Dan je polinom $p(x)=x^3+ax-5$. Določi realni parameter $a$ tako, da bo graf polinoma potekal skozi točko $A(1+\sqrt{2},4\sqrt{2})$.
    Rešitev:    $a=-\sqrt{2}$
14. Dan je polinom $p(x)=3x^3-14x^2+ax+b$. Izračunaj realna parametra $a$ in $b$, če veš, da ima polinom ničli $x_1=2$ in $x_2=3$. Izračunaj tudi tretjo ničlo.
    Rešitev:    $a=13,b=6,x_3=-\frac{1}{3}$
15. Dan je polinom $p(x)=x^4-9x^2+ax+b$. Izračunaj realna parametra $a$ in $b$, če veš, da ima polinom dvojno ničlo $x_1=-2$.
    Rešitev:    $a=-4,b=12$
16. Dan je polinom $p(x)=x^3-7x^2+ax+b$. Izračunaj realna parametra $a$ in $b$, če veš, da ima polinom ničlo $x_1=2-i$.
    Rešitev:    $a=17,b=-15$
17. Polinom $p$ je polinom tretje stopnje. Ima enostavno ničlo $x_1=3$ in dvojno ničlo $x_2=-1$. Graf tega polinoma poteka skozi točko $A(1,-16)$. Zapiši enačbo tega polinoma v splošni obliki.
    Rešitev:    $p(x)=2x^3-2x^2-10x-6$
18. Polinom tretje stopnje z realnimi koeficienti ima ničli $x_1=2$ in $x_2=1-3i$. Graf tega polinoma seka ordinatno os pri $y=10$. Zapiši enačbo tega polinoma v splošni obliki.
    Rešitev:    $p(x)=-\frac{1}{2}{x}^3+2x^2-7x+10$
19. Graf polinoma tretje stopnje poteka skozi točke $A(-1,-11),B(0,-3),C(1,-5)$ in $D(3,9)$. Zapiši enačbo tega polinoma v splošni obliki.
    Rešitev:    $p(x)=2x^3-5x^2+x-3$
20. Izračunaj obe realni ničli polinoma $p(x)=x^4-2x^3-1$. Pomagaj si s poljubno numerično metodo. Rezultata zaokroži na pet decimalk.
    Rešitev:    $x_1\doteq -0,71667,x_2\doteq 2,10692$
21. Izračunaj ničle in nariši graf polinoma:
    

    (a)    $p(x)=(x+1)(x-2)(x-3)$

    (b)    $p(x)=x^3-x^2-x+1$

    (c)    $p(x)=x^4-2x^3-x^2+2x$

    (d)    $p(x)=x^4-5x^3+6x^2$

    Rešitev:    (a)  $x_1=-1,x_2=2,x_3=3$,     (b)  $x_1=-1,x_2=1(\mathrm{II}.)$,     (c)  $x_1=-1,x_2=0,x_3=1,x_4=2$,     (d)  $x_1=0(\mathrm{II}.),x_2=2,x_3=3$
22. Izračunaj realne ničle in stacionarne točke polinoma ter nariši graf:
    

    (a)    $p(x)=x^3-3x-2$

    (b)    $p(x)=2x^3-9x^2+12x$

    (c)    $p(x)=x^3-4x^2+4x-3$

    (d)    $p(x)=x^4-2x^3$

    Rešitev:    (a)  ničli: $x_1=-1(\mathrm{II}.),x_2=2$, max.: $(-1,0)$, min.: $(1,-4)$     (b)  ničle: $x_1=0,x_{2,3}\notin \mathbb{R}$, max.: $(1,5)$, min.: $(2,4)$     (c)  ničle: $x_1=3,x_{2,3}\notin \mathbb{R}$, max.: $(\frac{2}{3},-\frac{49}{27})$, min.: $(2,-3)$     (d)  ničli: $x_1=0(\mathrm{III}.),x_2=2$, vodoravni prevoj: $(0,0)$, min.: $(\frac{3}{2},-\frac{27}{16})$
23. Zapiši enačbo vodoravne asimptote in nariši graf racionalne funkcije:
    

    (a)    ${\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x-1}}$

    (b)    ${\displaystyle f(x)=\frac{(x-1{)}^2}{(x+1)(x-2)}}$

    (c)    ${\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x^2}}$

    (d)    ${\displaystyle f(x)=\frac{(x-1{)}^2(x+1)}{(x+2{)}^2(x-2)}}$

    Rešitev:    (a)  asimptota: $y=1$,     (b)  asimptota: $y=1$ (graf jo seka pri $x=3$),     (c)  asimptota: $y=1$ (graf jo seka pri $x=\frac{2}{3}$),     (d)  asimptota: $y=1$ (graf jo seka pri $x_1\doteq 2,303$ in $x_2\doteq -1,303$)
24. Zapiši enačbo vodoravne asimptote in nariši graf racionalne funkcije:
    

    (a)    ${\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{1-x^2}}$

    (b)    ${\displaystyle f(x)=\frac{3x-6}{x^2+x-2}}$

    (c)    ${\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-x-3}{x^2+x-2}}$

    (d)    ${\displaystyle f(x)=\frac{x^3-2x^2}{x^3-x^2-x+1}}$

    Rešitev:    (a)  asimptota: $y=-1$,     (b)  asimptota: $y=0$ (graf jo seka v ničli $x=2$),     (c)  asimptota: $y=2$ (graf jo seka pri $x=\frac{1}{3}$),     (d)  asimptota: $y=1$
25. Nariši graf racionalne funkcije:
    

    (a)    ${\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-1}}$

    (b)    ${\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-6}{2x-2}}$

    (c)    ${\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2-3}}$

    Rešitev:    (a)  asimptota: $y=x+1$,     (b)  asimptota: $y=\frac{x}{2}$,     (c)  asimptota: $y=x$ (graf jo seka pri $x=0$)
26. Nariši graf racionalne funkcije:
    

    (a)    ${\displaystyle f(x)=2-\frac{x+1}{x^2}}$

    (b)    ${\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-3}+\frac{2}{x}}$

    (c)    ${\displaystyle f(x)=x+3-\frac{4}{x^2}}$

    Rešitev:    (a)  asimptota: $y=2$ (graf jo seka pri $x=-1$),     (b)  asimptota: $y=0$ (graf jo seka v ničli $x=2$),     (c)  asimptota: $y=x+3$
27. Reši enačbo:
    

    (a)    ${\displaystyle \frac{x^2+x}{x-2}-\frac{5}{x}=\frac{7}{x^2-2x}}$

    (b)    ${\displaystyle \frac{2x^2+x-6}{x^2+2x}=x-\frac{2}{x}}$

    (c)    ${\displaystyle \frac{2x}{x-1}-\frac{1}{x}=\frac{5x-1}{x^3-x}}$

    (d)    ${\displaystyle \frac{x+3}{(x-1{)}^2}-\frac{2x}{(x-1{)}^3}=1}$

    Rešitev:    (a)  $x_1=1,x_2=-3$,     (b)  $x=1$,     (c)  $x_1=-2,x_2=\frac{1}{2}$,     (d)  $x_1=2,x_2=1+\sqrt{2},x_3=1-\sqrt{2}$
28. Reši neenačbo:
    

    (a)    $x^3-x^2-x⩾x^2-2$

    (b)    $x^4+2x⩽3x^2$

    Rešitev:    (a)  $x\in [-1,1]\cup [2,\mathrm{\infty })$,     (b)  $x\in [-2,0]\cup \{1\}$
29. Reši neenačbo:
    

    (a)    ${\displaystyle \frac{x}{x-3}<0}$

    (b)    ${\displaystyle \frac{x^2+2x-9}{x^2-4}>2}$

    (c)    ${\displaystyle 1⩽\frac{1}{x^3+1}}$

    (d)    ${\displaystyle \frac{x^2-2x-1}{x^2-2x+1}⩾-\frac{x}{2}}$

    Rešitev:    (a)  $x\in (0,3)$,     (b)  $x\in (-2,1)\cup (1,2)$,     (c)  $x\in (-1,0]$,     (d)  $x\in \{-1\}\cup [2,\mathrm{\infty })$

 Domov