Polinomi in racionalne funkcije

Ničle in razcep polinoma

1. Izračunaj količnik in ostanek pri deljenju:   \((x^4+5x^3+10x^2+16x-12):(x^2+3x-1)\)
   Rešitev:    \(k(x)=x^2+2x+5,~~ o(x)=3x-7\)
2. Izračunaj količnik in ostanek pri deljenju:   \((3x^4-13x^3+7x^2-10x+3):(x^3-4x^2+x-3)\)
   Rešitev:    \(k(x)=3x-1,~~ o(x)=0\) (deljenje se izide brez ostanka)
3. Izračunaj količnik in ostanek pri deljenju:   \((x^3+x^2-4x+3):(2x+6)\)
   Rešitev:    \(k(x)=\frac{1}{2}x^2-x+1,~~ o(x)=-3\)
4. Izračunaj količnik in ostanek pri deljenju \(p(x):q(x)\) za naslednja polinoma:
   

       \(p(x)=(x+3)(x-1)(x-1-2i)(x-1+2i)\),    \(q(x)=(x+1+\sqrt{5})(x+1-\sqrt{5})\)

   Rešitev:    \(k(x)=x^2-2x+6;~~ o(x)=-4x+9\)
5. Dan je polinom \(p(x)=2x^3+3x^2-3x-2\). Izračunaj vrednost polinoma:
   

   (a)    \(p(2)\)

   (b)    \(p(-1)\)

   (c)    \(p(-\frac{1}{2})\)

   Rešitev:    (a)  \(p(2)=20\),     (b)  \(p(-1)=2\),     (c)  \(p(-\frac{1}{2})=0\), torej je število \(-\frac{1}{2}\) ničla tega polinoma
6. Z razcepom izračunaj ničle polinoma (upoštevaj tudi nerealne ničle):
   

   (a)    \(p(x)=x^3-2x^2-9x+18\)

   (b)    \(p(x)=3x^5-6x^4+12x^3-24x^2\)

   (c)    \(p(x)=x^5-2x^4-x^3+2x^2-2x+4\)

   (d)    \(p(x)=x^5-2x^4-3x^3-8x^2+16x+24\)

   Rešitev:    (a)  \(x_1=2,~ x_2=3,~ x_3=-3\),     (b)  \(x_1=0~\mathrm{(II.)},~ x_2=2,~ x_3=2i,~ x_4=-2i\),     (c)  \(x_1=2,~ x_2=\sqrt{2},~ x_3=-\sqrt{2},~ x_4=i,~ x_5=-i\),     (d)  \(x_1=-1,~ x_2=2,~ x_3=3,~ x_4=-1+i\sqrt{3},~ x_5=-1-i\sqrt{3}\)
7. Izračunaj vse (realne in nerealne) ničle polinoma:
   

   (a)    \(p(x)=x^3+4x^2-7x-10\)

   (b)    \(p(x)=x^4+8x^3+21x^2+22x+8\)

   (c)    \(p(x)=x^4-4x^3+x^2+8x-6\)

   (d)    \(p(x)=x^5-2x^3+4x^2\)

   Rešitev:    (a)  \(x_1=-1,~ x_2=2,~ x_3=-5\),     (b)  \(x_1=-1~\mathrm{(II.)},~ x_2=-2,~ x_3=-4\),     (c)  \(x_1=1,~ x_2=3,~ x_3=\sqrt{2},~ x_4=-\sqrt{2}\),     (d)  \(x_1=0~\mathrm{(II.)},~ x_2=-2,~ x_3=1+i,~ x_4=1-i\)
8. Izračunaj vse ničle polinoma (v obsegu kompleksnih števil):
   

   (a)    \(p(x)=3x^3-4x^2-5x+2\)

   (b)    \(p(x)=2x^3-7x^2+4x+3\)

   (c)    \(p(x)=2x^4+11x^3+23x^2+19x+5\)

   (d)    \(p(x)=x^4-x^3+\frac{17}{4}x^2-4x+1\)

   Rešitev:    (a)  \(x_1=-1,~ x_2=\frac{1}{3},~ x_3=2\),     (b)  \(x_1=\frac{3}{2},~ x_2=1+\sqrt{2},~ x_3=1-\sqrt{2}\),     (c)  \(x_1=-\frac{1}{2},~ x_2=-1,~ x_3=-2+i,~ x_4=-2-i\),     (d)  \(x_1=\frac{1}{2}~\mathrm{(II.)},~ x_2=2i,~ x_3=-2i\)
9. Razcepi polinom (v obsegu kompleksnih števil):
   

   (a)    \(p(x)=4x^4-11x^2+9x-2\)

   (b)    \(p(x)=-4x^4-13x^3-15x^2-7x-1\)

   (c)    \(p(x)=4x^5-8x^4-32x^3-24x^2-4x\)

   (d)    \(p(x)=4x^6+4x^5+13x^4+12x^3+11x^2+8x+2\)

   Rešitev:    (a)  \(p(x)=4(x-\frac{1}{2})^2(x-1)(x+2)\),     (b)  \(p(x)=-4(x+1)^3(x+\frac{1}{4})\),     (c)  \(p(x)=4x(x+1)^2(x-2-\sqrt{5})(x-2+\sqrt{5})\),     (d)  \(p(x)=4(x+\frac{1}{2})^2(x-i)(x+i)(x-i\sqrt{2})(x+i\sqrt{2})\)
10. Dan je polinom: \(p(x)=x^5-4x^4+x^3+8x^2-32x+8\). Razcepi ta polinom:
    

    (a)    v obsegu \(\mathbb{Q}\)

    (b)    v obsegu \(\mathbb{R}\)

    (c)    v obsegu \(\mathbb{C}\)

    Rešitev:    (a)  \(p(x)=(x+2)(x^2-2x+4)(x^2-4x+1)\),     (b)  \(p(x)=(x+2)(x^2-2x+4)(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})\),     (c)  \(p(x)=(x+2)(x-1-i\sqrt{3})(x-1+i\sqrt{3})(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})\)
11. Polinom \(p(x)=4x^4+29x^3+28x^2-15x-18\) ima ničlo \(x_1=\frac{3}{4}\). Izračunaj vse ostale ničle tega polinoma.
    Rešitev:    \(x_2=-6,~ x_3=-1~\mathrm{(II.)}\)
12. Polinom \(p(x)=x^4-6x^3+5x^2+30x-50\) je deljiv s polinomom \(q(x)=x^2-5\). Izračunaj vse štiri ničle tega polinoma.
    Rešitev:    \(x_1=\sqrt{5},~ x_2=-\sqrt{5},~ x_3=3+i,~ x_4=3-i\)
13. Polinom \(p(x)=x^4-6x^3+12x^2-6x-5\) ima nerealni ničli \(x_1=2+i\) in \(x_2=2-i\). Izračunaj obe realni ničli tega polinoma. Rezultata naj bosta točna.
    Rešitev:    \(x_3=1+\sqrt{2},~ x_4=1-\sqrt{2}\)
14. Dan je polinom \(p(x)=4x^5+8x^4+29x^3+49x^2+30x+6\). Poišči vse ničle danega polinoma v množici kompleksnih števil. Namig: Ena od ničel je \(x_1=i\sqrt{6}\).
    Rešitev:    \(x_1=i\sqrt{6},~ x_2=-i\sqrt{6},~ x_3=-1,~ x_4=-\frac{1}{2}\)
15. Dan je polinom \(p(x)=x^4-12x^3+40x^2-24x+4\). Poišči vse ničle tega polinoma. Zapiši točne vrednosti ničel. Namig: Ta polinom je popolni kvadrat.
    Rešitev:    Ničli: \(3+\sqrt{7}\) (II.),    \(3-\sqrt{7}\) (II.);    polinom: \(p(x)=(x^2-6x+2)^2\)

Določanje polinoma

16. Dan je polinom \(p(x)=x^3+ax-5\). Določi realni parameter \(a\) tako, da bo graf polinoma potekal skozi točko \(A(1+\sqrt{2},4\sqrt{2})\).
    Rešitev:    \(a=-\sqrt{2}\)
17. Dan je polinom \(p(x)=3x^3-14x^2+ax+b\). Izračunaj realna parametra \(a\) in \(b\), če veš, da ima polinom ničli \(x_1=2\) in \(x_2=3\). Izračunaj tudi tretjo ničlo.
    Rešitev:    \(a=13,~ b=6,~ x_3=-\frac{1}{3}\)
18. Dan je polinom \(p(x)=x^4-9x^2+ax+b\). Izračunaj realna parametra \(a\) in \(b\), če veš, da ima polinom dvojno ničlo \(x_1=-2\).
    Rešitev:    \(a=-4,~ b=12\)
19. Dan je polinom \(p(x)=x^4-8x^3+23x^2+ax+b\). Ta polinom ima dvojno ničlo pri \(x=1\). Določi realna parametra \(a\) in \(b\) in nato izračunaj še ostali dve (nerealni) ničli.
    Rešitev:    \(a=-26,~ b=10;~~ x_3=3-i,~ x_4=3+i\)
20. Dan je polinom \(p(x)=x^3-7x^2+ax+b\). Izračunaj realna parametra \(a\) in \(b\), če veš, da ima polinom ničlo \(x_1=2-i\).
    Rešitev:    \(a=17,~ b=-15\)
21. Dan je polinom \(p(x)=2x^4+7x^3-8x^2+ax+b\). Določi realna parametra \(a\) in \(b\) tako, da bo polinom \(p\) deljiv s polinomom \(q(x)=2x^2+x-3\).
    Rešitev:    \(a=-13,~ b=12\)
22. Polinom \(p\) je polinom tretje stopnje. Ima enostavno ničlo \(x_1=3\) in dvojno ničlo \(x_2=-1\). Graf tega polinoma poteka skozi točko \(A(1,-16)\). Zapiši enačbo tega polinoma v splošni obliki.
    Rešitev:    \(p(x)=2x^3-2x^2-10x-6\)
23. Polinom tretje stopnje z realnimi koeficienti ima ničli \(x_1=2\) in \(x_2=1-3i\). Graf tega polinoma seka ordinatno os pri \(y=10\). Zapiši enačbo tega polinoma v splošni obliki.
    Rešitev:    \(p(x)=-\frac{1}{2}x^3+2x^2-7x+10\)
24. Polinom \(p\) je tretje stopnje in ima realne koeficiente. Dve od njegovih ničel sta \(x_1=-2\) in \(x_2=3+i\). Zapiši enačbo tega polinoma v splošni obliki, če veš, da velja \(p(\sqrt{2})=24\).
    Rešitev:    \(p(x)=2x^3-8x^2-4x+40\)
25. Graf polinoma tretje stopnje poteka skozi točke \(A(-1,-11),~ B(0,-3),~ C(1,-5)\) in \(D(3,9)\). Zapiši enačbo tega polinoma v splošni obliki.
    Rešitev:    \(p(x)=2x^3-5x^2+x-3\)
26. Polinom četrte stopnje je deljiv s polinomom \((x^2-2x+2)\). Zapiši enačbo tega polinoma v splošni obliki, če veš, da njegov graf poteka skozi točke \(A(2,0),~ B(-2,0)\) in \(C(0,-4)\).
    Rešitev:    \(p(x)=\frac{1}{2}x^4-x^3-x^2+4x-4\)
27. Polinom \(p\) je polinom tretje stopnje z realnimi koeficienti. Deljiv je s polinomom \(q_1(x)=x^2-1\), pa tudi s polinomom \(q_2(x)=x^2+x-2\). Pri deljenju polinoma \(p\) s polinomom \(q_3(x)=x-2\) pa dobimo ostanek 24. Zapiši enačbo polinoma \(p\) v splošni obliki.
    Rešitev:    \(p(x)=2x^3+4x^2-2x-4\)

Numerične metode za iskanje ničel

28. S poljubno numerično metodo poišči edino realno ničlo polinoma \(p(x)=x^5-3x^2-5\). Rezultat zaokroži na pet mest.
    Rešitev:    \(x\doteq1,\!6828\)
29. Izračunaj obe realni ničli polinoma \(p(x)=x^4-2x^3-1\). Pomagaj si s poljubno numerično metodo. Rezultata zaokroži na pet decimalk.
    Rešitev:    \(x_1\doteq-0,\!71667,~ x_2\doteq2,\!10692\)
30. Polinom \(p\) ima enačbo: \(p(x)=x^4-x-7\). S poljubno numerično metodo poišči edino pozitivno ničlo tega polinoma. Rezultat zaokroži na pet mest.
    Rešitev:    \(x\doteq1,\!7183\)
31. Enačba  \(x^4-2=(x+2)^3\)  ima dve realni rešitvi: eno pozitivno in eno negativno. S poljubno numerično metodo izračunaj negativno rešitev te enačbe. Rezultat zaokroži na pet mest.
    Rešitev:    \(x\doteq-1,\!2479\)     (pozitivna rešitev pa je \(x\doteq3,\!6979\))

Graf polinoma

32. Izračunaj ničle in nariši graf polinoma:
    

    (a)    \(p(x)=(x+1)(x-2)(x-3)\)

    (b)    \(p(x)=x^3-x^2-x+1\)

    (c)    \(p(x)=x^4-2x^3-x^2+2x\)

    (d)    \(p(x)=x^4-5x^3+6x^2\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=-1,~ x_2=2,~ x_3=3\),     (b)  \(x_1=-1,~ x_2=1~\mathrm{(II.)}\),     (c)  \(x_1=-1,~ x_2=0,~ x_3=1,~ x_4=2\),     (d)  \(x_1=0~\mathrm{(II.)},~ x_2=2,~ x_3=3\)
33. Izračunaj realne ničle in stacionarne točke\(^\ast\) polinoma ter nariši graf:
       \(^\ast\)Opomba: Za določanje stacionarnih točk potrebuješ odvod.
    

    (a)    \(p(x)=x^3-3x-2\)

    (b)    \(p(x)=2x^3-9x^2+12x\)

    (c)    \(p(x)=x^3-4x^2+4x-3\)

    (d)    \(p(x)=x^4-2x^3\)

    Rešitev:    (a)  ničli: \(x_1=-1~\mathrm{(II.)},~ x_2=2\), max.: \((-1,0)\), min.: \((1,-4)\)     (b)  ničle: \(x_1=0,~ x_{2,3}\not\in\mathbb{R}\), max.: \((1,5)\), min.: \((2,4)\)     (c)  ničle: \(x_1=3,~ x_{2,3}\not\in\mathbb{R}\), max.: \((\frac{2}{3},-\frac{49}{27})\), min.: \((2,-3)\)     (d)  ničli: \(x_1=0~\mathrm{(III.)},~ x_2=2\), vodoravni prevoj: \((0,0)\), min.: \((\frac{3}{2},-\frac{27}{16})\)
34. Dan je polinom \(p(x)=2x^3-11x^2+16x-3\).
    

    (a)   Izračunaj stacionarne točke tega polinoma. Zapiši točne vrednosti koordinat stacionarnih točk.

    (b)   Ena od ničel tega polinoma je \(x_1=3\). Na dve decimalki natančno izračunaj ostali dve ničli in nariši graf tega polinoma.

    Rešitev:    (a)  min.: \((\frac{8}{3},-\frac{17}{27})\), max.: \((1,4)\),     (b)  \(x_2\doteq0.22,~ x_3\doteq2.28\)
35. Dan je polinom \(p(x)=\frac{1}{3}x^3-3x\).
    

    (a)   Izračunaj ničle.

    (b)   Poišči stacionarne točke. Zapiši točne vrednosti koordinat stacionarnih točk.

    (c)   Nariši graf.

    Rešitev:    (a)  ničle: \(x_1=-3,~ x_2=0,~ x_3=3\),     (b)  max.: \((-\sqrt{3},2\sqrt{3})\), min.: \((\sqrt{3},-2\sqrt{3})\)
36. Dan je polinom \(p(x)=2x^3-7x^2+4x+1\).
    

    (a)   Izračunaj stacionarne točke tega polinoma. Zapiši točne vrednosti koordinat stacionarnih točk.

    (b)   Nariši graf tega polinoma. Ničel polinoma ni treba računati.

    Rešitev:    (a)  max.: \((\frac{1}{3},\frac{44}{27})\), min.: \((2,-3)\)
37. Na sliki je graf polinoma četrte stopnje (z realnimi koeficienti). Zapiši enačbo tega polinoma v splošni obliki.
    
    Rešitev:    \(p(x)=\frac{1}{3}x^4+\frac{2}{3}x^3-\frac{4}{3}x^2-\frac{8}{3}x\)

Racionalne funkcije

38. Zapiši enačbo vodoravne asimptote in nariši graf racionalne funkcije:
    

    (a)    \({\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x-1}}\)

    (b)    \({\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-2)}}\)

    (c)    \({\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x^2}}\)

    (d)    \({\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2(x+1)}{(x+2)^2(x-2)}}\)

    Rešitev:    (a)  asimptota: \(y=1\),     (b)  asimptota: \(y=1\) (graf jo seka pri \(x=3\)),     (c)  asimptota: \(y=1\) (graf jo seka pri \(x=\frac{2}{3}\)),     (d)  asimptota: \(y=1\) (graf jo seka pri \(x_1\doteq2,\!303\) in \(x_2\doteq-1,\!303\))
39. Zapiši enačbo vodoravne asimptote in nariši graf racionalne funkcije:
    

    (a)    \({\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{1-x^2}}\)

    (b)    \({\displaystyle f(x)=\frac{3x-6}{x^2+x-2}}\)

    (c)    \({\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-x-3}{x^2+x-2}}\)

    (d)    \({\displaystyle f(x)=\frac{x^3-2x^2}{x^3-x^2-x+1}}\)

    Rešitev:    (a)  asimptota: \(y=-1\),     (b)  asimptota: \(y=0\) (graf jo seka v ničli \(x=2\)),     (c)  asimptota: \(y=2\) (graf jo seka pri \(x=\frac{1}{3}\)),     (d)  asimptota: \(y=1\)
40. Nariši graf racionalne funkcije:
    

    (a)    \({\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x-1}}\)

    (b)    \({\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-6}{2x-2}}\)

    (c)    \({\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2-3}}\)

    Rešitev:    (a)  asimptota: \(y=x+1\),     (b)  asimptota: \(y=\frac{x}{2}\),     (c)  asimptota: \(y=x\) (graf jo seka pri \(x=0\))
41. Nariši graf racionalne funkcije:
    

    (a)    \({\displaystyle f(x)=2-\frac{x+1}{x^2}}\)

    (b)    \({\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-3}+\frac{2}{x}}\)

    (c)    \({\displaystyle f(x)=x+3-\frac{4}{x^2}}\)

    Rešitev:    (a)  asimptota: \(y=2\) (graf jo seka pri \(x=-1\)),     (b)  asimptota: \(y=0\) (graf jo seka v ničli \(x=2\)),     (c)  asimptota: \(y=x+3\)
42. Dana je funkcija:  \(f(x)=\displaystyle\frac{2x^2+3x-2}{x^2-1}\)
    Določi ničle in pole, zapiši enačbo vodoravne asimptote in nariši graf funkcije \(f\).
    Rešitev:    Ničli: \(\frac{1}{2},~ -2\), pola: \(1,~ -1\), asimptota: \(y=2\) (graf jo seka pri \(x=0\))
43. Dana je funkcija:  \(f(x)={\displaystyle\frac{(x-1)(x+2)(x-3)}{2x^2}}\)
    Zapiši enačbo glavne asimptote in nariši graf funkcije \(f\).
    Rešitev:    Asimptota: \(y=\frac{1}{2}x-1\) (graf jo seka pri \(x=\frac{6}{5}\))
44. Dana je funkcija \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-m}{x^2-2x}\).
    

    (a)   Določi realni parameter \(m\), če veš, da graf funkcije seka vodoravno asimptoto pri \(x=\frac{5}{2}\).

    (b)   Pri tako določeni vrednosti parametra \(m\) poišči ničle in pole ter nariši graf funkcije \(f\).

    Rešitev:    (a)  \(m=5\),     (b)  ničli: \(\pm\sqrt{5}\),  pola: \(0,~ 2\)

Enačbe in neenačbe

45. Reši enačbo:
    

    (a)    \({\displaystyle \frac{x^2+x}{x-2}-\frac{5}{x}=\frac{7}{x^2-2x}}\)

    (b)    \({\displaystyle \frac{2x^2+x-6}{x^2+2x}=x-\frac{2}{x}}\)

    (c)    \({\displaystyle \frac{2x}{x-1}-\frac{1}{x}=\frac{5x-1}{x^3-x}}\)

    (d)    \({\displaystyle \frac{x+3}{(x-1)^2}-\frac{2x}{(x-1)^3}=1}\)

    (e)    \({\displaystyle\frac{x+6}{x^2-4}=\frac{x^2+6}{2x^2-3x-2}}\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=1,~ x_2=-3\),     (b)  \(x=1\),     (c)  \(x_1=-2,~ x_2=\frac{1}{2}\),     (d)  \(x_1=2,~ x_2=1+\sqrt{2},~ x_3=1-\sqrt{2}\),     (e)  \(x_1=1,~ x_2=-3\)
46. Reši enačbo:
    

    (a)    \({\displaystyle 2+\frac{6}{x^2-3x}=\frac{x^2+2x-3}{x^2-9}}\)

    (b)    \({\displaystyle\frac{x+1}{x-2}=1-\frac{x^2+x-2}{2x^2-3x+1}}\)

    (c)    \({\displaystyle \frac{3x+12}{x^2-3x}-\frac{4x-5}{x-3}=x}\)

    (d)    \({\displaystyle x+\frac{2}{2-x}+\frac{6}{x^2-x-2}=0}\)

    (e)    \({\displaystyle x+\frac{5x^2-13x}{~x^2-5x+6~}=\frac{2}{~1-\frac{\textstyle 3}{\textstyle x}~}}\)

    Rešitev:    (a)  \(x=2\),     (b)  \(x=-7\),     (c)  \(x=-2\),     (d)  \(x_1=1,~ x_2=-2\),     (e)  \(x=-1\)
47. Reši neenačbo:
    

    (a)    \(x^3-x^2-x\geqslant x^2-2\)

    (b)    \(x^4+2x \leqslant 3x^2\)

    (c)    \(x^2(x^2-6x+8)\leqslant (x-\frac{1}{4})(x^2-6x+8)\)

    Rešitev:    (a)  \(x\in[-1,1]\cup[2,\infty)\),     (b)  \(x\in[-2,0]\cup\{1\}\),     (c)  \(x\in[2,4]\cup\{\frac{1}{2}\}\)
48. Reši neenačbo:
    

    (a)    \({\displaystyle \frac{x}{x-3}\lt 0}\)

    (b)    \({\displaystyle \frac{3x}{x-1}\leqslant 2}\)

    (c)    \({\displaystyle \frac{x^2+2x-9}{x^2-4}\gt 2}\)

    (d)    \({\displaystyle 1\leqslant\frac{1}{x^3+1}}\)

    (e)    \({\displaystyle \frac{x^2-2x-1}{x^2-2x+1}\geqslant -\frac{x}{2}}\)

    Rešitev:    (a)  \(x\in(0,3)\),     (b)  \(x\in[-2,1)\),     (c)  \(x\in(-2,1)\cup(1,2)\),     (d)  \(x\in(-1,0]\),     (e)  \(x\in\{-1\}\cup[2,\infty)\)
49. Reši neenačbo:
    

    (a)    \({\displaystyle \frac{x}{x-1} \leqslant \frac{8}{x+2}}\)

    (b)    \({\displaystyle\frac{(x-2)^2}{(x-1)(x+1)}\leqslant 1}\)

    (c)    \({\displaystyle \frac{x^2+1}{2x+1}\leqslant 1}\)

    (d)    \({\displaystyle \frac{x^2}{x+2} \leqslant 1}\)

    (e)    \({\displaystyle x\leqslant \frac{2x-1}{x}}\)

    Rešitev:    (a)  \(x\in (-2,1)\cup [2,4]\),     (b)  \(x\in(-1,1)\cup[\frac{5}{4},\infty)\),     (c)  \(x\in(-\infty,-\frac{1}{2})\cup[0,2]\),     (d)  \(x\in(-\infty,-2)\cup[-1,2]\),     (e)  \(x\in(-\infty,0)\cup\{1\}\)
50. Dana je funkcija \(\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x}\). Ugotovi, za katere vrednosti spremenljivke \(x\) velja:  \(f(x)\leqslant x\)
    Rešitev:    \(x\in[-1,0)\cup[2,\infty)\)
51. Dana je funkcija \(\displaystyle f(x)=\frac{2x-1}{x^2}\). Ugotovi, za katere vrednosti spremenljivke \(x\) velja:
    

    (a)    \(f(x)\geqslant 1\)

    (b)    \(f(x)\lt 1\)

    Rešitev:    (a)  \(x=1\),     (b)  \(x\in(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,\infty)\)
52. Dana je funkcija:  \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{(x+1)(x-3)}\)
    

    (a)   Zapiši enačbo asimptote in nariši graf funkcije \(f\).

    (b)   Ugotovi, za katere vrednosti spremenljivke \(x\) leži graf funkcije \(f\) pod asimptoto.

    Rešitev:    (a)  Asimptota: \(y=1\),     (b)  \(x\in(-\infty,-\frac{3}{2})\cup(-1,3)\)

 Domov