Trigonometrijske funkcije

Grafi trigonometrijskih funkcij

1. Nariši graf funkcije:
   

   (a)    \(y=3\sin x+2\)

   (b)    \(y=\sin(x-\frac{\pi}{3})\)

   (c)    \(y=2+\cos 3x\)

   (d)    \(y=1-2\sin\frac{x}{2}\)

   (e)    \(y=\cos(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})\)

   (f)    \(y=\tan2x\)

2. Nariši graf funkcije:
   

   (a)    \(y=|2\sin2x|\)

   (b)    \(y=|\cot x|\)

   (c)    \(y=\sin(|x|+\frac{\pi}{6})\)

   (d)    \(y=\left|\sin(|x|+\frac{\pi}{6})\right|\)

   (e)    \(y=1-|\tan x|\)

3. Nariši graf funkcije:  \(y=\log_2(2\cos x)\)
   Namig:    Najprej nariši \(y_1=2 \cos x\) in nato logaritmiraj \(y\) koordinato vsake točke.
4. Nariši graf funkcije:  \(y=\cos x + \cos 2x\)
   Namig:    Najprej nariši \(y_1=\cos x\) in \(y_2=\cos 2x\), nato seštej \(y\) koordinati točk, ki pripadata dololčeni vrednosti \(x\).
5. Nariši graf in zapiši ničle, maksimume in minimume naslednje funkcije:
   

   (a)    \(f(x)=3\sin \frac{x}{2}\)

   (b)    \(f(x)=2\cos(2x-\frac{\pi}{3})\)

   Rešitev:    (a)  Ničle: \(x=2k\pi\),   max.: \(T(\pi+4k\pi,3)\),   min.: \(T(-\pi+4k\pi,-3)\);   \((k\in\mathbb{Z})\),     (b)  Ničle: \(x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}\),   max.: \(T(\frac{\pi}{6}+k\pi,2)\),   min.: \(T(\frac{2\pi}{3}+k\pi,-2)\);   \((k\in\mathbb{Z})\)
6. Zapiši definicijsko območje in zalogo vrednosti za funkcijo:
   

   (a)    \(f(x)=3-2\cos4x\)

   (b)    \(f(x)=\tan(\frac{\pi}{4}-x)\)

   (c)    \(f(x)=\left| \tan \frac{x}{2} \right|\)

   Rešitev:    (a)  \(\mathcal{D}_f=\mathbb{R},~ \mathcal{Z}_f=[1,5]\),     (b)  \(\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-\frac{\pi}{4}+k\pi;~k\in\mathbb{Z}\},~ \mathcal{Z}_f=\mathbb{R}\),     (c)  \(\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{\pi+2k\pi;~k\in\mathbb{Z}\},~ \mathcal{Z}_f=\mathbb{R}_0^{+}\)
7. Na spodnji sliki je narisan graf funkcije \(f\). Zapiši enačbo te funkcije v obliki \(f(x)=A \sin Bx +C\).
   

   

   Rešitev:    \(f(x)=2 \sin 4x +1\).

Trigonometrijske enačbe

8. Reši enačbo (I. tip: Preproste trigonometrijske enačbe):
   

   (a)    \(\sin2x=\frac{1}{2}\)

   (b)    \(\tan(x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}\)

   (c)    \(1+\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})=0\)

   Rešitev:    (a)  \(x_1=\frac{\pi}{12}+k\pi,~ x_2=\frac{5\pi}{12}+k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (b)  \(x=\frac{\pi}{6}+k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (c)  \(x_1=\frac{\pi}{2}+2k\pi,~ x_2=-\pi+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\)
9. Reši enačbo (II. tip: Kvadratne trigonometrijske enačbe – rešimo jih z uvedbo nove spremenljivke):
   

   (a)    \(2\cos^2 x-9\cos x+4=0\)

   (b)    \(\sin^2 x=\sin x+2\)

   (c)    \(2\sin^2 x-5=7\cos x\)

   Rešitev:    (a)  \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (b)  \(x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (c)  \(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\)
10. Reši enačbo (III. tip: Razcepne trigonometrijske enačbe – rešimo jih z razcepom oz. izpostavljanjem):
    

    (a)    \(\cos^2 x+\cos x=0\)

    (b)    \(\sin2x-\sin x=0\)

    (c)    \(\sin^3 x-4\sin^2 x+3\sin x=0\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=\frac{\pi}{2}+k\pi,~ x_2=\pi+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (b)  \(x_1=k\pi,~ x_2=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (c)  \(x_1=k\pi,~ x_2=\frac{\pi}{2}+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\)
11. Reši enačbo (IV. tip: Homogene trigonometrijske enačbe):
    

    (a)    \(\sin x+\sqrt{3}\cos x=0\)

    (b)    \(\sin^2 x-6\sin x\cos x+5\cos^2 x=0\)

    (c)    \(2\sin^2 x-\sin2x-2\cos^2 x=1\)

    Rešitev:    (a)  \(x=-\frac{\pi}{3}+k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (b)  \(x_1=\frac{\pi}{4}+k\pi,~ x_2=\arctan 5+k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (c)  \(x_1=-\frac{\pi}{4}+k\pi,~ x_2=\arctan 3+k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\)
12. Reši enačbo (V. tip: Faktorizacijske trigonometrijske enačbe):
    

    (a)    \(\sin5x-\sin x=0\)

    (b)    \(\cos3x=\cos(x+\frac{\pi}{3})\)

    (c)    \(\sin x=\cos(x-\frac{\pi}{4})\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=\frac{k\pi}{2},~ x_2=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3};~ k\in\mathbb{Z}\),     (b)  \(x_1=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},~ x_2=\frac{\pi}{6}+k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (c)  \(x=\frac{3\pi}{8}-k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\)
13. Reši enačbo (VI. tip: Posebne trigonometrijske enačbe):
    

    (a)    \(\sin x+3\cos x+1=0\)

    (b)    \(3+7\cos x+3\sin x=0\)

    (c)    \(\sin x-3\cos x=3\)

    Namig:    Enačbe oblike \(A\sin x+B\cos x+C=0\) rešimo z uvedbo polovičnih kotov – pomagamo si z naslednjimi formulami:
    \(\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\),  \(\cos x=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\),  \(1=\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}\)
    Rešitev:    (a)  \(x_1=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,~ x_2=2\arctan2+2k\pi\doteq2,\!214+2k\pi;~~~k\in\mathbb{Z}\),     (b)  \(x_1=-\frac{\pi}{2}+2k\pi,~ x_2=2\arctan\frac{5}{2}+2k\pi\doteq2,\!381+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (c)  \(x_1=\pi+2k\pi,~ x_2=2\arctan3+2k\pi\doteq2,\!498+2k\pi;~~~k\in\mathbb{Z}\)
14. Reši enačbo (mešani primeri):
    

    (a)    \(\sin2x=2\cos^2 x\)

    (b)    \({\displaystyle\Big(\cos x+\frac{1}{\cos x}\Big)^{-1}=\frac{2}{5}}\)

    (c)    \({\displaystyle 5\cot x-2\sin x = \frac{1}{\sin x}}\)

    (d)    \({\displaystyle \tan x+\frac{\tan x}{\cos x}=2\tan x \cos x}\)

    (e)    \(\sin 5x \cos 3x=\sin 4x \cos 2x\)

    (f)    \({\displaystyle \cot x+\frac{1}{\sin x}=0}\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=\frac{\pi}{2}+k\pi,~ x_2=\frac{\pi}{4}+k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (b)  \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (c)  \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (d)  \(x_1=k\pi,~ x_2=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (e)  \(x_1=k\pi,~ x_2=\frac{\pi}{14}+\frac{k\pi}{7};~ k\in\mathbb{Z}\),     (f)  Enačba nima rešitve (\(x=\pi+2k\pi\) odpade pri preizkusu).
15. Reši enačbo (mešani primeri):
    

    (a)    \(2\sin^3x=\sqrt{2}\,\sin^2x+2\sin x\)

    (b)    \(\displaystyle\frac{1}{\sin x-1}+\frac{1}{\sin x+1}=2\sqrt{2}\,\tan x\)

    (c)    \(2\cos^2 x+\frac{1}{2}\sin2x+3\sin^2 x=2\)

    (d)    \(\displaystyle\sin 2x=\sin\frac{x+\pi}{3}\)

    (e)    \(2\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x=3\)

    (f)    \(\cos x+\cos3x+\cos5x=0\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=k\pi,~ x_2=-\frac{\pi}{4}+2k\pi,~ x_3=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (b)  \(x_1=k\pi,~x_2=\pm\frac{3\pi}{4}+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (c)  \(x_1=k\pi,~ x_2=-\frac{\pi}{4}+k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (d)  \(x_1=\frac{\pi}{5}+\frac{6k\pi}{5},~x_2=\frac{2\pi}{7}+\frac{6k\pi}{7};~ k\in\mathbb{Z}\),     (e)  \(x_1=\frac{\pi}{3}+2k\pi,~ x_2=\frac{2\pi}{3}+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (f)  \(x_1=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},~ x_2=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\)
16. Reši enačbo (mešani primeri):
    

    (a)    \(\tan^3x=3\tan x\)

    (b)    \(\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1\)

    (c)    \(\displaystyle\frac{\frac{\textstyle 1}{\textstyle \cos x}-\cos x}{\tan x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

    (d)    \(\cos4x+\cos2x=\cos3x+\cos x\)

    (e)    \(\displaystyle\frac{1-\sin x}{\cos x}\cdot\left(1+\frac{1}{\sin x}\right)=\sqrt{3}\)

    (f)    \(\displaystyle\sin 2x+\sin x = 2\cot x +\frac{1}{\sin x}\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=k\pi,~ x_2=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (b)  \(x_1=\frac{\pi}{6}+2k\pi,~ x_2=-\frac{\pi}{3}+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (c)  \(x_1=\frac{\pi}{4}+2k\pi,~ x_2=\frac{3\pi}{4}+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (d)  \(x_1=\frac{\pi}{2}+k\pi,~ x_2=\frac{2k\pi}{5}+k\pi,~ x_3=2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (e)  \(x=\frac{\pi}{6}+k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\),     (f)  \(x_1=\frac{\pi}{2}+k\pi,~ x_2=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi;~ k\in\mathbb{Z}\)

Kot med premicama

17. Izračunaj naklonski kot premice (rezultat zapiši v stopinjah in minutah):
    

    (a)    \(y=5x+1\)

    (b)    \(5x+3y=7\)

    (c)    \(x-5=0\)

    Rešitev:    (a)  \(\alpha\doteq78^\circ41'\),     (b)  \(\alpha\doteq-59^\circ2'\) ali tudi \(\alpha\doteq120^\circ58'\),     (c)  \(\alpha=90^\circ\)
18. Premica \(p\) ima enačbo: \(\frac{\textstyle x}{\textstyle 8}-\frac{\textstyle y}{\textstyle 6}=1\). Izračunaj kot \(\alpha\), ki ga premica oklepa z vodoravno osjo, in kot \(\beta\), ki ga ta premica oklepa z navpično osjo. Kota zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\alpha\doteq36^\circ52',~ \beta\doteq53^\circ8'\)
19. Dana je premica z enačbo: \(\frac{\textstyle x}{\textstyle 6}-\frac{\textstyle y}{\textstyle 2\sqrt{3}}=1\). Brez kalkulatorja izračunaj ostri kot \(\alpha\), ki ga ta premica oklepa z abscisno osjo, in ostri kot \(\beta\), ki ga ta premica oklepa z ordinatno osjo.
    Rešitev:    \(\alpha=30^\circ,~ \beta=60^\circ\)
20. Izračunaj ostri kot med premicama \(p\) in \(q\) (rezultat zapiši v stopinjah in minutah):
    

    (a)    \(p\!:~ y=4x+1\),    \(q\!:~ y=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 3}x-2\)

    (b)    \(p\!:~ 4x-6y=3\),    \(q\!:~ 9x+6y=4\)

    (c)    \(p\!:~ 5x-2y=0\),    \(q\!:~ 5x-10=0\)

    Rešitev:    (a)  \(\varphi\doteq57^\circ32'\),     (b)  \(\varphi=90^\circ\),     (c)  \(\varphi\doteq21^\circ48'\)
21. Brez kalkulatorja izračunaj ostri kot med premicama \(p\) in \(q\) z enačbama:
    

    (a)    \(p\!:~ y=4\sqrt{3}\,x-2\),    \(q\!:~ 5\sqrt{3}\,x+11y+7=0\)

    (b)    \(p\!:~ y=5\sqrt{3}\,x+2\),    \(q\!:~ \frac{\textstyle x}{\textstyle \sqrt{3}}+\frac{\textstyle y}{\textstyle 4}=1\)

    (c)    \(p\!:~ y=\sqrt{3}\,x\),    \(q\!:~ y=x\)

    Rešitev:    (a)  \(\varphi=60^\circ\),     (b)  \(\varphi=30^\circ\),     (c)  \(\varphi=15^\circ\) (Najprej določi naklonska kota obeh premic: \(60^\circ-45^\circ=15^\circ\).)
22. Dani sta točki \(A(-2,5)\) in \(B(6,7)\). Premica \(p\) poteka skozi točki \(A\) in \(B\), premica \(q\) pa poteka skozi točko \(A\) in skozi izhodišče koordinatnega sistema. Izračunaj, koliko meri ostri kot, ki ga oklepata premici \(p\) in \(q\). Kot zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\varphi\doteq82^\circ14'\)
23. Dane so točke \(A(3,0)\), \(B(3,3)\) in \(C(0,3\sqrt{3})\). Premica \(p\) poteka skozi točki \(A\) in \(B\), premica \(q\) pa skozi točki \(A\) in \(C\). Brez kalkulatorja izračunaj kot med premicama \(p\) in \(q\).
    Rešitev:    \(\varphi=30^\circ\)
24. Dana je premica \(p\!:~ 2x-4y+1=0\). Zapiši enačbo premice \(q\), ki oklepa kot \(90^\circ\) s premico \(p\) in poteka skozi točko \(T(5,-7)\).
    Rešitev:    \(q\!:~ y=-2x+3\)
25. Dana je premica \(p\!:~ y=\frac{\textstyle 3}{\textstyle 5}x+2\). Premica \(q\) oklepa kot \(45^\circ\) s premico \(p\) in poteka skozi točko \(T(0,2)\). Zapiši enačbo premice \(q\) (navedi vse možne rešitve).
    Rešitev:    Dve rešitvi: \(q_1\!:~ y=4x+2,~~ q_2\!:~ y=-\frac{1}{4}x+2\)
26. Premica \(p\) ima enačbo: \(\frac{\textstyle x}{\textstyle 3}-\frac{\textstyle y}{\textstyle \sqrt{3}}=1\). Zapiši enačbi premic \(q_1\) in \(q_2\), ki potekata skozi koordinatno izhodišče in oklepata s premico \(p\) kot \(30^\circ\).
    Rešitev:    \(q_1\!:~ y=\sqrt{3}x,~~ q_2\!:~ y=0\)
27. Premica \(p\!:~ y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\) seka abscisno os v točki \(A\). Zapiši enačbo premice \(q\), ki seka abscisno os v isti točki in ima dvakrat tolikšen naklonski kót kot premica \(p\).
    Rešitev:    \(q\!:~ y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\)

 Domov