Trigonometrijske funkcije

Grafi trigonometrijskih funkcij

1. Nariši graf funkcije:
   

   (a)    $y=3\sin x+2$

   (b)    $y=\sin (x-\frac{\pi }{3})$

   (c)    $y=2+\cos 3x$

   (d)    $y=1-2\sin \frac{x}{2}$

   (e)    $y=\cos (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})$

   (f)    $y=\tan 2x$

2. Nariši graf funkcije:
   

   (a)    $y=|2\sin 2x|$

   (b)    $y=|\cot x|$

   (c)    $y=\sin (|x|+\frac{\pi }{6})$

   (d)    $y=|\sin (|x|+\frac{\pi }{6})|$

   (e)    $y=1-|\tan x|$

3. Nariši graf funkcije:  $y={\log }_2(2\cos x)$
   Namig:    Najprej nariši $y_1=2\cos x$ in nato logaritmiraj $y$ koordinato vsake točke.
4. Nariši graf funkcije:  $y=\cos x+\cos 2x$
   Namig:    Najprej nariši $y_1=\cos x$ in $y_2=\cos 2x$, nato seštej $y$ koordinati točk, ki pripadata dololčeni vrednosti $x$.
5. Nariši graf in zapiši ničle, maksimume in minimume naslednje funkcije:
   

   (a)    $f(x)=3\sin \frac{x}{2}$

   (b)    $f(x)=2\cos (2x-\frac{\pi }{3})$

   Rešitev:    (a)  Ničle: $x=2k\pi$,   max.: $T(\pi +4k\pi ,3)$,   min.: $T(-\pi +4k\pi ,-3)$;   $(k\in \mathbb{Z})$,     (b)  Ničle: $x=\frac{5\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$,   max.: $T(\frac{\pi }{6}+k\pi ,2)$,   min.: $T(\frac{2\pi }{3}+k\pi ,-2)$;   $(k\in \mathbb{Z})$
6. Zapiši definicijsko območje in zalogo vrednosti za funkcijo:
   

   (a)    $f(x)=3-2\cos 4x$

   (b)    $f(x)=\tan (\frac{\pi }{4}-x)$

   (c)    $f(x)=|\tan \frac{x}{2}|$

   Rešitev:    (a)  ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R},{\mathcal{Z}}_f=[1,5]$,     (b)  ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}\setminus \{-\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}\},{\mathcal{Z}}_f=\mathbb{R}$,     (c)  ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}\setminus \{\pi +2k\pi ;k\in \mathbb{Z}\},{\mathcal{Z}}_f={\mathbb{R}}_0^{+}$
7. Na spodnji sliki je narisan graf funkcije $f$. Zapiši enačbo te funkcije v obliki $f(x)=A\sin Bx+C$.
   

   

   Rešitev:    $f(x)=2\sin 4x+1$.

Trigonometrijske enačbe

8. Reši enačbo:
   

   (a)    $\sin 2x=\frac{1}{2}$

   (b)    $\tan (x+\frac{\pi }{6})=\sqrt{3}$

   (c)    $1+\sqrt{2}\cos (x+\frac{\pi }{4})=0$

   Rešitev:    (a)  $x_1=\frac{\pi }{12}+k\pi ,x_2=\frac{5\pi }{12}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$,     (b)  $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$,     (c)  $x_1=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,x_2=-\pi +2k\pi ;k\in \mathbb{Z}$
9. Reši enačbo:
   

   (a)    $2{\cos }^{2}x-9\cos x+4=0$

   (b)    ${\sin }^{2}x=\sin x+2$

   (c)    $2{\sin }^{2}x-5=7\cos x$

   Rešitev:    (a)  $x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi ;k\in \mathbb{Z}$,     (b)  $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;k\in \mathbb{Z}$,     (c)  $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi ;k\in \mathbb{Z}$
10. Reši enačbo:
    

    (a)    ${\cos }^{2}x+\cos x=0$

    (b)    $\sin 2x-\sin x=0$

    (c)    ${\sin }^{3}x-4{\sin }^{2}x+3\sin x=0$

    Rešitev:    (a)  $x_1=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x_2=\pi +2k\pi ;k\in \mathbb{Z}$,     (b)  $x_1=k\pi ,x_2=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi ;k\in \mathbb{Z}$,     (c)  $x_1=k\pi ,x_2=\frac{\pi }{2}+2k\pi ;k\in \mathbb{Z}$
11. Reši enačbo:
    

    (a)    $\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$

    (b)    ${\sin }^{2}x-6\sin x\cos x+5{\cos }^{2}x=0$

    (c)    $2{\sin }^{2}x-\sin 2x-2{\cos }^{2}x=1$

    Rešitev:    (a)  $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$,     (b)  $x_1=\frac{\pi }{4}+k\pi ,x_2=\arctan 5+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$,     (c)  $x_1=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,x_2=\arctan 3+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$
12. Reši enačbo:
    

    (a)    $\sin 5x-\sin x=0$

    (b)    $\cos 3x=\cos (x+\frac{\pi }{3})$

    (c)    $\sin x=\cos (x-\frac{\pi }{4})$

    Rešitev:    (a)  $x_1=\frac{k\pi }{2},x_2=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3};k\in \mathbb{Z}$,     (b)  $x_1=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},x_2=\frac{\pi }{6}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$,     (c)  $x=\frac{3\pi }{8}-k\pi ;k\in \mathbb{Z}$
13. Reši enačbo:
    

    (a)    $\sin 2x=2{\cos }^{2}x$

    (b)    ${\displaystyle (\cos x+\frac{1}{\cos x}{)}^{-1}=\frac{2}{5}}$

    (c)    ${\displaystyle 5\cot x-2\sin x=\frac{1}{\sin x}}$

    (d)    ${\displaystyle \tan x+\frac{\tan x}{\cos x}=2\tan x\cos x}$

    (e)    $\sin 5x\cos 3x=\sin 4x\cos 2x$

    (f)    ${\displaystyle \cot x+\frac{1}{\sin x}=0}$

    Rešitev:    (a)  $x_1=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x_2=\frac{\pi }{4}+k\pi ;k\in \mathbb{Z}$,     (b)  $x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi ;k\in \mathbb{Z}$,     (c)  $x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi ;k\in \mathbb{Z}$,     (d)  $x_1=k\pi ,x_2=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi ;k\in \mathbb{Z}$,     (e)  $x_1=k\pi ,x_2=\frac{\pi }{14}+\frac{k\pi }{7};k\in \mathbb{Z}$,     (f)  Enačba nima rešitve ($x=\pi +2k\pi$ odpade pri preizkusu).

Kot med premicama

14. Izračunaj naklonski kot premice (rezultat zapiši v stopinjah in minutah):
    

    (a)    $y=5x+1$

    (b)    $5x+3y=7$

    (c)    $x-5=0$

    Rešitev:    (a)  $\alpha \doteq {78}^{\circ }{41}^{\prime }$,     (b)  $\alpha \doteq -{59}^{\circ }{2}^{\prime }$ ali tudi $\alpha \doteq {120}^{\circ }{58}^{\prime }$,     (c)  $\alpha ={90}^{\circ }$
15. Premica $p$ ima enačbo: $\frac{x}{8}-\frac{y}{6}=1$. Izračunaj kot $\alpha$, ki ga premica oklepa z vodoravno osjo, in kot $\beta$, ki ga ta premica oklepa z navpično osjo. Kota zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\alpha \doteq {36}^{\circ }{52}^{\prime },\beta \doteq {53}^{\circ }{8}^{\prime }$
16. Izračunaj ostri kot med premicama $p$ in $q$ (rezultat zapiši v stopinjah in minutah):
    

    (a)    $p:y=4x+1$,    $q:y=\frac{1}{3}x-2$

    (b)    $p:4x-6y=3$,    $q:9x+6y=4$

    (c)    $p:5x-2y=0$,    $q:5x-10=0$

    Rešitev:    (a)  $\phi \doteq {57}^{\circ }{32}^{\prime }$,     (b)  $\phi ={90}^{\circ }$,     (c)  $\phi \doteq {21}^{\circ }{48}^{\prime }$
17. Dani sta točki $A(-2,5)$ in $B(6,7)$. Premica $p$ poteka skozi točki $A$ in $B$, premica $q$ pa poteka skozi točko $A$ in skozi izhodišče koordinatnega sistema. Izračunaj, koliko meri ostri kot, ki ga oklepata premici $p$ in $q$. Kot zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\phi \doteq {82}^{\circ }{14}^{\prime }$
18. Dana je premica $p:2x-4y+1=0$. Zapiši enačbo premice $q$, ki oklepa kot ${90}^{\circ }$ s premico $p$ in poteka skozi točko $T(5,-7)$.
    Rešitev:    $q:y=-2x+3$
19. Dana je premica $p:y=\frac{3}{5}x+2$. Premica $q$ oklepa kot ${45}^{\circ }$ s premico $p$ in poteka skozi točko $T(0,2)$. Zapiši enačbo premice $q$ (navedi vse možne rešitve).
    Rešitev:    Dve rešitvi: $q_1:y=4x+2,q_2:y=-\frac{1}{4}x+2$
20. Premica $p$ ima enačbo: $\frac{x}{3}-\frac{y}{\sqrt{3}}=1$. Zapiši enačbi premic $q_1$ in $q_2$, ki potekata skozi koordinatno izhodišče in oklepata s premico $p$ kot ${30}^{\circ }$.
    Rešitev:    $q_1:y=\sqrt{3}x,q_2:y=0$

 Domov