Trigonometrijske funkcije

Prehod v I. kvadrant, osnovne zveze, adicijski izreki

1. Preoblikuj v kotno funkcijo ostrega kota in izračunaj natančno:
   

   (a)    $\cos {3210}^{\circ }$

   (b)    $\sin {6000}^{\circ }$

   (c)    $\tan {8880}^{\circ }$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$,     (b)  $\cdots =-\sin {60}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$,     (c)  $\cdots =\tan {60}^{\circ }=\sqrt{3}$
2. Preoblikuj v kotno funkcijo ostrega kota in izračunaj natančno:
   

   (a)    $\sin \frac{39\pi }{4}$

   (b)    $\cot \frac{25\pi }{3}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,     (b)  $\cdots =\cot \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
3. Poenostavi in izračunaj (rezultat naj bo točen in primerno poenostavljen):
   

   (a)    ${\displaystyle \frac{\sin {1230}^{\circ }+\cos {1230}^{\circ }}{\cos {300}^{\circ }+\sin {900}^{\circ }}}$

   (b)    ${\displaystyle \frac{\sin \frac{15\pi }{4}}{\tan \frac{11\pi }{6}-\cot \frac{10\pi }{3}}}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =1-\sqrt{3}$,     (b)  $\cdots =\frac{\sqrt{6}}{4}$
4. Poenostavi izraz:
   

   (a)    $(1-\sin x)(1+\sin x)(1+{\tan }^{2}x)$

   (b)    ${\displaystyle (\frac{1}{\tan x}+\tan x)\cdot {\sin }^{2}x}$

   (c)    ${\displaystyle (\frac{1}{\sin x}-\sin x{)}^{-1}\cdot {\cot }^{2}x}$

   (d)    ${\displaystyle \frac{{\sin }^{3}x-{\cos }^{3}x}{\sin x-\cos x}-1}$

   (e)    ${\displaystyle \frac{\tan x}{\cos x-\frac{1}{\cos x}}+\sin x+\sin x{\cot }^{2}x}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =1$,     (b)  $\cdots =\tan x$,     (c)  $\cdots =\frac{1}{\sin x}$,     (d)  $\cdots =\sin x\cos x$,     (e)  $\cdots =0$
5. Poenostavi izraz:
   

   (a)    $\sin 2x(\tan x+\cot x)$

   (b)    $\tan 2x(\cot x-\tan x)$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =2$,     (b)  $\cdots =2$
6. Poenostavi izraz:
   

   (a)    ${\displaystyle \frac{(\sin x+\cos x{)}^2-1}{\cos 2x}}$

   (b)    ${\displaystyle \frac{\sin x+\sin 2x}{1+\cos x+\cos 2x}}$

   (c)    ${\displaystyle \frac{\frac{\sin x}{\cos x+1}}{\frac{2\sin x}{\sin 2x}-1}}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =\tan 2x$,     (b)  $\cdots =\tan x$,     (c)  $\cdots =\cot x$
7. Za ostri kot $\alpha$ velja:  $\sin \alpha =\frac{20}{29}$. Izračunaj (rezultat zapiši kot okrajšan ulomek):
   

   (a)    $\cos \alpha$

   (b)    $\cot \alpha$

   Rešitev:    (a)  $\cos \alpha =\frac{21}{29}$,     (b)  $\cot \alpha =\frac{21}{20}$
8. Za topi kot $\alpha$ velja:  $\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}$. Izračunaj (rezultat naj bo točen):
   

   (a)    $\cos \alpha$

   (b)    $\tan \alpha$

   Rešitev:    (a)  $\cos \alpha =-\frac{3}{4}$,     (b)  $\tan \alpha =-\frac{\sqrt{7}}{3}$
9. Za kot $\alpha$ velja:  $\tan \alpha =4\sqrt{5}$,  ${180}^{\circ }<\alpha <{270}^{\circ }$. Izračunaj $\cos \alpha$. Rezultat naj bo točen.
   Rešitev:    $\cos \alpha =-\frac{1}{9}$
10. Za kot $\alpha$ velja:  $\tan \alpha =\frac{1}{7}$,  ${180}^{\circ }<\alpha <{270}^{\circ }$. Izračunaj $\sin \alpha$. Rezultat naj bo točen in primerno poenostavljen.
    Rešitev:    $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{10}$
11. Za kot $\alpha$ velja:  $\cos \alpha =-\frac{7}{9}$,  $0<\alpha <\pi$. Izračunaj $\cos 2\alpha$. Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    $\cos 2\alpha =\frac{17}{81}$
12. Za topi kot $\alpha$ velja:  $\sin \alpha =\frac{11}{14}$. Izračunaj $\sin (\alpha -{60}^{\circ })$. Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    $\cdots =\frac{13}{14}$
13. Za ostra kota $\alpha$ in $\beta$ velja:  $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$,  $\sin \beta =\frac{2}{7}$. Dokaži, da je vrednost izraza $\cos (\alpha -\beta )$ enaka $\frac{8\sqrt{5}}{21}$.
    Rešitev:    $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =\frac{2}{3}\cdot \frac{3\sqrt{5}}{7}+\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{2}{7}=\frac{8\sqrt{5}}{21}$
14. Za topi kot $\alpha$ velja:  $\sin \alpha =\frac{3\sqrt{7}}{8}$. Izračunaj $\sin \frac{\alpha }{2}$.
    Rešitev:    $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{3}{4}$

Faktorizacija in razčlenjevanje

15. Faktoriziraj in poenostavi:
    

    (a)    $\cos 7\alpha +\cos 5\alpha$

    (b)    $\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})-\sin (\alpha -\frac{\pi }{4})$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =2\cos 6\alpha \cos \alpha$,     (b)  $\cdots =\sqrt{2}\cos \alpha$
16. Faktoriziraj in poenostavi:
    

    (a)    ${\displaystyle \frac{\sin 2x-\sin x}{\cos 2x+\cos x}}$

    (b)    ${\displaystyle \frac{\sin x-\sin (x+{20}^{\circ })}{\cos (x+{20}^{\circ })-\cos x}}$

    (c)    ${\displaystyle \frac{\cos ({60}^{\circ }+x)-\cos ({120}^{\circ }-3x)}{2\cos x}}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\tan \frac{x}{2}$,     (b)  $\cdots =\cot (x+{10}^{\circ })$,     (c)  $\cdots =-\sin (2x-{30}^{\circ })$
17. Faktoriziraj in poenostavi:
    

    (a)    ${\displaystyle \frac{\frac{1}{2}+\cos 2x}{\cos (x-{30}^{\circ })}}$

    (b)    ${\displaystyle \frac{2\sin x-\sqrt{2}}{2\cos x+\sqrt{2}}}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =2\cos (x+{30}^{\circ })$,     (b)  $\cdots =\tan (\frac{x-{45}^{\circ }}{2})$
18. Faktoriziraj in poenostavi:
    

    (a)    ${\displaystyle \frac{\sin x+\cos (x-\frac{\pi }{6})}{\sin x+\sin (x-\frac{2\pi }{3})}}$

    (b)    ${\displaystyle \frac{\sin (5x+{30}^{\circ })+\cos x}{\cos 4x+\cos ({60}^{\circ }-2x)}}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\sqrt{3}\cot (x-\frac{\pi }{3})$,     (b)  $\cdots =2\sin (x+{30}^{\circ })$
19. Faktoriziraj in poenostavi:
    

    (a)    $\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x$

    (b)    ${\displaystyle \frac{\sin 2x+2\sin 3x+\sin 4x}{4\sin 3x}}$

    (c)    ${\displaystyle \frac{1+\cos x+\cos 2x}{\cos (\frac{3x-{60}^{\circ }}{2})+\cos (\frac{x+{60}^{\circ }}{2})}}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =4\cos 4x\cos (x+{30}^{\circ })\cos (x-{30}^{\circ })$,     (b)  $\cdots ={\cos }^2\frac{x}{2}$,     (c)  $\cdots =2\cos (\frac{x+{60}^{\circ }}{2})$
20. Razčleni (preoblikuj v obliko vsote):
    

    (a)    $\cos 7x\cos 2x$

    (b)    $\sin 5x\sin 3x$

    (c)    $\sin 3x\cos 2x$

    (d)    $\cos 5x\sin 2x$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{1}{2}\cos 9x+\frac{1}{2}\cos 5x$,     (b)  $\cdots =-\frac{1}{2}\cos 8x+\frac{1}{2}\cos 2x$,     (c)  $\cdots =\frac{1}{2}\sin 5x+\frac{1}{2}\sin x$,     (d)  $\cdots =\frac{1}{2}\sin 7x-\frac{1}{2}\sin 3x$
21. Najprej razčleni, potem pa faktoriziraj:
    

    (a)    $\sin 7x\cos 3x-\sin 5x\cos x$

    (b)    $\sin 6x\sin x+\cos 5x\cos 2x$

    (c)    $\sin 6x\sin 4x-\sin 3x\sin x$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\sin 2x\cos 8x$,     (b)  $\cdots =\cos 4x\cos x$,     (c)  $\cdots =\sin 7x\sin 3x$
22. Dokaži, da naslednje enakosti veljajo za vsak $x\in \mathbb{R}$, za katerega sta leva in desna stran enakosti obe definirani:
    

    (a)    ${\displaystyle \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\tan (x-{45}^{\circ })}$

    (b)    ${\displaystyle \frac{\sin x+\cos x}{\sin (x-{15}^{\circ })+\cos (x+{15}^{\circ })}=\sqrt{2}}$

    (c)    ${\displaystyle \frac{1+\cos x+\cos 2x+\cos 3x}{\cos x}=4\cos \frac{x}{2}\cos \frac{3x}{2}}$

 Domov