Polinomi

1. Dana sta polinoma \(p(x)=x^2+3x-2\)   in   \(q(x)=x^3+5x^2+4x\). Izračunaj:
   

   (a)    \(p(x)+q(x)\)

   (b)    \(p(x)-q(x)\)

   (c)    \(p(x)\cdot q(x)\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=x^3+6x^2+7x-2\),     (b)  \(\cdots=-x^3-4x^2-x-2\),     (c)  \(\cdots=x^5+8x^4+17x^3+2x^2-8x\)
2. Poenostavi:   \((x^2+2x-4)^2+(x-2)^3\)
   Rešitev:    \(\cdots=x^4+5x^3-10x^2-4x+8\)
3. Dan je polinom \(p(x)=x^3-5x^2-x+15\). Izračunaj vrednost polinoma:
   

   (a)   za \(x=1\)

   (b)   za \(x=-2\)

   (c)   za \(x=\sqrt{3}\)

   Rešitev:    (a)  \(p(1)=10\),     (b)  \(p(-2)=-11\),     (c)  \(p(\sqrt{3})=2\sqrt{3}\)
4. Izračunaj količnik in ostanek pri deljenju:
   \((2x^4-5x^3+7x^2-6x+1):(x^2-3x+4)\)
   Rešitev:    Količnik: \(k(x)=2x^2+x+2\),  ostanek: \(o(x)=-4x-7\).
5. Dokaži, da je polinom \(p(x)=x^4+2x^3+3x^2+14x+5\) deljiv s polinomom \(q(x)=x^2+3x+1\).
   Rešitev:    Če deliš \(p(x):q(x)\), dobiš ostanek \(o(x)=0\). To pomeni, da je \(p(x)\) deljiv s \(q(x)\).
6. Z razstavljanjem poišči vse ničle naslednjih polinomov:
   

   (a)    \(p(x)=x^3+5x^2-4x-20\)

   (b)    \(p(x)=x^4-3x^3-3x^2+9x\)

   (c)    \(p(x)=x^5-3x^4-6x^3+18x^2+8x-24\)

   Rešitev:    (a)  \(x_1=-5,~ x_2=2,~ x_3=-2\),     (b)  \(x_1=0,~ x_2=3,~ x_3=\sqrt{3},~ x_4=-\sqrt{3}\),     (c)  \(x_1=3,~ x_2=2,~ x_3=-2,~ x_4=\sqrt{2},~ x_5=-\sqrt{2}\)
7. Preveri, ali je dano število \(x\) ničla polinoma \(p(x)=3x^3+2x^2-7x+2\):
   

   (a)    \(x=-2\)

   (b)    \(x=2\)

   (c)    \(x=\frac{1}{3}\)

   Rešitev:    (a)  Je ničla,     (b)  ni ničla,     (c)  je ničla.
8. Poišči vse ničle naslednjih polinomov:
   

   (a)    \(p(x)=x^3-7x^2+7x+15\)

   (b)    \(p(x)=x^4+2x^3-7x^2+4x\)

   (c)    \(p(x)=x^5-7x^4+19x^3-25x^2+16x-4\)

   (d)    \(p(x)=x^4+7x^3+16x^2+14x+4\)

   Rešitev:    (a)  \(x_1=-1,~ x_2=3,~ x_3=5\),     (b)  \(x_1=0,~ x_2=-4,~ x_{3,4}=1~\mathrm{(II.)}\),     (c)  \(x_{1,2,3}=1~\mathrm{(III.)},~ x_{4,5}=2~\mathrm{(II.)}\),     (d)  \(x_1=-1,~ x_2=-2,~ x_3=-2-\sqrt{2},~ x_4=-2+\sqrt{2}\)
9. Poišči vse ničle naslednjih polinomov:
   

   (a)    \(p(x)=2x^4-3x^3-9x^2-x+3\)

   (b)    \(p(x)=5x^4-6x^3-14x^2+18x-3\)

   (c)    \(p(x)=4x^4-11x^2+9x-2\)

   (d)    \(p(x)=2x^4+11x^3+22x^2+19x+6\)

   Rešitev:    (a)  \(x_1=\frac{1}{2},~ x_2=3,~ x_{3,4}=-1~\mathrm{(II.)}\),     (b)  \(x_1=\frac{1}{5},~ x_2=1,~ x_3=\sqrt{3},~ x_4=-\sqrt{3}\),     (c)  \(x_{1,2}=\frac{1}{2}~\mathrm{(II.)},~ x_3=1,~ x_4=-2\),     (d)  \(x_1=-\frac{3}{2},~ x_2=-2,~ x_{3,4}=-1~\mathrm{(II.)}\)
10. Poišči vse ničle polinoma \(p(x)=3x^4+16x^3+21x^2-4x-12\).
    Namig: ena od ničel je \(x_1=\frac{2}{3}\).
    Rešitev:    \(x_1=\frac{2}{3},~ x_2=-1,~ x_3=-2,~ x_4=-3\)
11. Preoblikuj polinom v ničelno obliko:
    

    (a)    \(p(x)=x^3-7x-6\)

    (b)    \(p(x)=4x^4+17x^3+24x^2+13x+2\)

    Rešitev:    (a)  \(p(x)=(x+1)(x+2)(x-3)\),     (b)  \(p(x)=4(x+\frac{1}{4})(x+2)(x+1)^2\)
12. Preoblikuj polinom v splošno obliko:
    

    (a)    \(p(x)=(x-2)(x+3)(x-5)\)

    (b)    \(p(x)=2(x-\frac{5}{2})(x+1)(x+2)^2\)

    Rešitev:    (a)  \(p(x)=x^3-4x^2-11x+30\),     (b)  \(p(x)=2x^4+5x^3-9x^2-32x-20\)
13. Polinom tretje stopnje ima ničle \(x_1=-1,~ x_2=2,~ x_3=-3\). Graf tega polinoma poteka skozi točko \(A(1,-16)\). Zapiši enačbo tega polinoma v ničelni in nato še v splošni obliki.
    Rešitev:    \(p(x)=2(x+1)(x-2)(x+3)=2x^3+4x^2-10x-12\)
14. Polinom tretje stopnje ima enostavno ničlo \(x_1=1\) in dvojno ničlo \(x_{2,3}=3\). Graf tega polinoma poteka skozi točko \(T(2,-1)\). Zapiši enačbo tega polinoma v splošni obliki.
    Rešitev:    \(p(x)=-x^3+7x^2-15x+9\)
15. Polinom četrte stopnje ima dvojno ničlo \(x_{1,2}=1\) in dvojno ničlo \(x_{3,4}=-2\). Graf tega polinoma seka ordinatno os pri \(y=2\). Zapiši enačbo tega polinoma v splošni obliki.
    Rešitev:    \(p(x)=\frac{1}{2}x^4+x^3-\frac{3}{2}x^2-2x+2\)
16. Nariši graf polinoma:
    

    (a)    \(p(x)=(x-1)(x-2)(x-4)\)

    (b)    \(p(x)=(x-1)^2(x+2)\)

    (c)    \(p(x)=x^2(x-2)(x-3)\)

    (d)    \(p(x)=2(x+1)^3(x-1)^2\)

    Rešitev:    Grafe lahko preveriš s programom Graph.
17. Izračunaj ničle in nariši graf polinoma:
    

    (a)    \(p(x)=x^3-2x^2-x+2\)

    (b)    \(p(x)=x^3-3x\)

    (c)    \(p(x)=2x^4-4x^3\)

    (d)    \(p(x)=2x^3+3x^2-1\)

    Rešitev:    Ničle: (a)  \(x_1=1,~ x_2=-1,~ x_3=2\),     (b)  \(x_1=0,~ x_2=\sqrt{3},~ x_3=-\sqrt{3}\),     (c)  \(x_{1,2,3}=0~\mathrm{(III.)},~ x_4=2\),     (d)  \(x_1=\frac{1}{2},~ x_{2,3}=-1~\mathrm{(II.)}\)
    Grafe lahko preveriš s programom Graph.