Trigonometrijske funkcije

1. Izrazi s kotno funkcijo ostrega kota in izračunaj natančno:
     (a)    $\sin 150^\circ$
     (b)    $\cos 315^\circ$
     (c)    $\cos 1950^\circ$
     (d)    $\tan 1320^\circ$
     (e)    $\cot (-585^\circ)$
   Rešitev:    (a) $\cdots=\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$,   (b) $\cdots=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$,   (c) $\cdots=-\cos 30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}$,   (d) $\cdots=\tan 60^\circ=\sqrt{3}$,   (e) $\cdots=-\cot 45^\circ=-1$
2. Izrazi s kotno funkcijo ostrega kota in izračunaj natančno:
     (a)    $\sin \frac{\pi}{6}$
     (b)    $\sin \frac{5\pi}{4}$
     (c)    $\cos \pi$
     (d)    $\cos \frac{31\pi}{6}$
     (e)    $\tan \frac{4\pi}{3}$
   Rešitev:    (a) $\cdots=\frac{1}{2}$,   (b) $\cdots=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,   (c) $\cdots=-1$,   (d) $\cdots=-\frac{\sqrt{3}}{2}$,   (e) $\cdots=\sqrt{3}$
3. Izračunaj natančno vrednost izraza:
     (a)    $\sin120^\circ+\cos330^\circ$
     (b)    ${\displaystyle\frac{\tan1500^\circ}{\sin2400^\circ\cdot\cos765^\circ}}$
     (c)    ${\displaystyle\frac{\tan\frac{\pi}{4}-\tan\frac{2\pi}{3}}{\sin\frac{5\pi}{6}-\cos\frac{5\pi}{6}}}$
     (d)    ${\displaystyle\frac{\sin\frac{25\pi}{4}\cdot\cot\frac{23\pi}{6}}{\cos\frac{28\pi}{3}}}$
   Rešitev:    (a) $\cdots=\sqrt{3}$,   (b) $\cdots=-2\sqrt{2}$,   (c) $\cdots=2$,   (d) $\cdots=\sqrt{6}$
4. Poenostavi izraze:
     (a)    ${\displaystyle \frac{1-\sin^2x}{\cos x}}$
     (b)    ${\displaystyle \frac{1-\sin^4 x}{1+\sin^2 x}}$
     (c)    ${\displaystyle \left(\frac{1}{\sin x}-\sin x\right)\cdot\frac{1}{\cos^2 x}}$
     (d)    ${\displaystyle \frac{1}{1+\sin x}+\frac{1}{1-\sin x}}$
   Rešitev:    (a) $\cdots=\cos x$,   (b) $\cdots=\cos^2 x$,   (c) $\cdots=\frac{1}{\sin x}$,   (d) $\cdots=\frac{2}{\cos^2 x}$
5. Poenostavi izraze:
     (a)    $(\tan x \cos x+1)(1-\sin x)$
     (b)    ${\displaystyle \sin^2x+\tan^2 x+\cos^2 x-\frac{1}{\cos^2 x}}$
     (c)    ${\displaystyle \frac{\sin^2 x}{\tan^2x}+\frac{\cos^2x}{\cot^2x} }$
     (d)    ${\displaystyle \left(\tan x+\frac{1}{\cos x}\right) \left(\tan x-\frac{1}{\cos x}\right)}$
     (e)    ${\displaystyle (1+\cot^2 x)\left(\frac{1}{\cos x}-\cos x\right)}$
     (f)    ${\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x-\frac{\textstyle 1}{\textstyle \sin x}}}$
   Rešitev:    (a) $\cdots=\cos^2 x$,   (b) $\cdots=0$,   (c) $\cdots=1$,   (d) $\cdots=-1$,   (e) $\cdots=\frac{1}{\cos x}$,   (f) $\cdots=-\tan x$
6. Poenostavi izraze:
     (a)    ${\displaystyle \frac{\tan x \sin 2x}{\sin x}}$
     (b)    ${\displaystyle \frac{2\sin x-\sin 2x\cos x}{2\sin^2 x}}$
     (c)    ${\displaystyle \frac{\cos^2x-\cos2x}{\sin^2x+\cos2x}}$
   Rešitev:    (a) $\cdots=2\sin x$,   (b) $\cdots=\sin x$,   (c) $\cdots=\tan^2 x$
7. Za ostri kot $\alpha$ velja:  $\sin\alpha=\frac{8}{17}.$  Izračunaj natančno:
     (a)    $\cos\alpha$
     (b)    $\tan\alpha$
   Rešitev:    (a) $\cos\alpha=\frac{15}{17}$,   (b) $\tan\alpha=\frac{8}{15}$
8. Za topi kot $\alpha$ velja:  $\sin\alpha=\frac{4}{5}.$  Izračunaj natančno:
     (a)    $\cos\alpha$
     (b)    $\sin 2\alpha$
   Rešitev:    (a) $\cos\alpha=-\frac{3}{5}$,   (b) $\sin 2\alpha=-\frac{24}{25}$
9. Za kot $\alpha$ velja:  $180^\circ\lt\alpha\lt270^\circ$  in  $\cos\alpha=-\frac{1}{3}.$  Izračunaj točno vrednost izraza  $\cos 2\alpha.$
   Rešitev:    $\cos 2\alpha=-\frac{7}{9}$
10. Za ostra kota $\alpha$ in $\beta$ velja:  $\cos\alpha=\frac{5}{13}$  in  $\cos\beta=\frac{24}{25}.$  Izračunaj točno vrednost izraza  $\sin(\alpha-\beta).$
    Rešitev:    $\sin(\alpha-\beta)=\frac{253}{325}$
11. Za topi kot $\alpha$ velja:  $\sin\alpha=\frac{1}{7}.$  Izračunaj točno vrednost izraza  $\cos (\alpha+30^\circ).$
    Rešitev:    $\cos (\alpha+30^\circ)=-\frac{13}{14}$
12. Za kot $\alpha$ velja:  $\sin\alpha=\frac{3}{5}$  in  $\frac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\pi.$  Izračunaj točno vrednost izraza  $\sin (\alpha-\frac{\pi}{4}).$
    Rešitev:    $\sin (\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{7\sqrt{2}}{10}$
13. Nariši grafe naslednjih funkcij:
    

    (a)    $f(x)=3\sin x$

    (b)    $f(x)=2-\cos x$

    (c)    $f(x)=\sin 2x+2$

14. Nariši grafe naslednjih funkcij:
    

    (a)    $f(x)=|\cos 3x|$

    (b)    $f(x)=|2\sin x+1|$

15. Dani sta premici $p\!:~ y=6x+1$  in  $q\!:~ y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}$. Izračunaj kot med premicama. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\varphi\doteq62^\circ6'$
16. Dani sta premici $p\!:~ 7x-2y+10=0$  in  $q\!:~ 8x+3y-6=0$. Izračunaj kot med premicama. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\varphi\doteq36^\circ30'$
17. Dani sta premici $p\!:~ \frac{x}{2}-\frac{y}{4}=1$  in  $q\!:~ \frac{x}{6}+\frac{y}{3}=1$. Izračunaj kot med premicama.
    Rešitev:    $\varphi=90^\circ$
18. Dani sta premici $p\!:~ 4x-5y=0$  in  $q\!:~ 2x-6=0$. Izračunaj kot med premicama. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\varphi\doteq51^\circ20'$
19. Dana je premica $p\!:~ y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$. Zapiši enačbo premice $q$, ki poteka skozi točko $A(6,-1)$ in je pravokotna na premico $p$.
    Rešitev:    $q\!:~ y=-\frac{4}{3}x+7$
20. Dana je premica $p\!:~ 2x+6y-3=0$. Zapiši enačbo premice $q$, ki poteka skozi izhodišče koordinatnega sistema in je pravokotna na premico $p$.
    Rešitev:    $q\!:~ y=3x$