Trigonometrijske funkcije

1. Izrazi s kotno funkcijo ostrega kota in izračunaj natančno:
     (a)    \(\sin 150^\circ\)
     (b)    \(\cos 315^\circ\)
     (c)    \(\cos 1950^\circ\)
     (d)    \(\tan 1320^\circ\)
     (e)    \(\cot (-585^\circ)\)
   Rešitev:    (a) \(\cdots=\sin 30^\circ=\frac{1}{2} \),   (b) \(\cdots=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\),   (c) \(\cdots=-\cos 30^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}\),   (d) \(\cdots=\tan 60^\circ=\sqrt{3}\),   (e) \(\cdots=-\cot 45^\circ=-1\)
2. Izrazi s kotno funkcijo ostrega kota in izračunaj natančno:
     (a)    \(\sin \frac{\pi}{6}\)
     (b)    \(\sin \frac{5\pi}{4}\)
     (c)    \(\cos \pi\)
     (d)    \(\cos \frac{31\pi}{6}\)
     (e)    \(\tan \frac{4\pi}{3}\)
   Rešitev:    (a) \(\cdots=\frac{1}{2}\),   (b) \(\cdots=-\frac{\sqrt{2}}{2}\),   (c) \(\cdots=-1\),   (d) \(\cdots=-\frac{\sqrt{3}}{2}\),   (e) \(\cdots=\sqrt{3}\)
3. Izračunaj natančno vrednost izraza:
     (a)    \(\sin120^\circ+\cos330^\circ \)
     (b)    \({\displaystyle\frac{\tan1500^\circ}{\sin2400^\circ\cdot\cos765^\circ}}\)
     (c)    \({\displaystyle\frac{\tan\frac{\pi}{4}-\tan\frac{2\pi}{3}}{\sin\frac{5\pi}{6}-\cos\frac{5\pi}{6}}}\)
     (d)    \({\displaystyle\frac{\sin\frac{25\pi}{4}\cdot\cot\frac{23\pi}{6}}{\cos\frac{28\pi}{3}}}\)
   Rešitev:    (a) \(\cdots=\sqrt{3}\),   (b) \(\cdots=-2\sqrt{2}\),   (c) \(\cdots=2\),   (d) \(\cdots=\sqrt{6}\)
4. Poenostavi izraze:
     (a)    \({\displaystyle \frac{1-\sin^2x}{\cos x}}\)
     (b)    \({\displaystyle \frac{1-\sin^4 x}{1+\sin^2 x}}\)
     (c)    \({\displaystyle \left(\frac{1}{\sin x}-\sin x\right)\cdot\frac{1}{\cos^2 x}}\)
     (d)    \({\displaystyle \frac{1}{1+\sin x}+\frac{1}{1-\sin x}}\)
   Rešitev:    (a) \(\cdots=\cos x\),   (b) \(\cdots=\cos^2 x\),   (c) \(\cdots=\frac{1}{\sin x}\),   (d) \(\cdots=\frac{2}{\cos^2 x}\)
5. Poenostavi izraze:
     (a)    \((\tan x \cos x+1)(1-\sin x)\)
     (b)    \({\displaystyle \sin^2x+\tan^2 x+\cos^2 x-\frac{1}{\cos^2 x}}\)
     (c)    \({\displaystyle \frac{\sin^2 x}{\tan^2x}+\frac{\cos^2x}{\cot^2x} }\)
     (d)    \({\displaystyle \left(\tan x+\frac{1}{\cos x}\right) \left(\tan x-\frac{1}{\cos x}\right)}\)
     (e)    \({\displaystyle (1+\cot^2 x)\left(\frac{1}{\cos x}-\cos x\right)}\)
     (f)    \({\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x-\frac{\textstyle 1}{\textstyle \sin x}}}\)
   Rešitev:    (a) \(\cdots=\cos^2 x\),   (b) \(\cdots=0\),   (c) \(\cdots=1\),   (d) \(\cdots=-1\),   (e) \(\cdots=\frac{1}{\cos x}\),   (f) \(\cdots=-\tan x\)
6. Poenostavi izraze:
     (a)    \({\displaystyle \frac{\tan x \sin 2x}{\sin x}}\)
     (b)    \({\displaystyle \frac{2\sin x-\sin 2x\cos x}{2\sin^2 x}}\)
     (c)    \({\displaystyle \frac{\cos^2x-\cos2x}{\sin^2x+\cos2x}}\)
   Rešitev:    (a) \(\cdots=2\sin x\),   (b) \(\cdots=\sin x\),   (c) \(\cdots=\tan^2 x\)
7. Za ostri kot \(\alpha\) velja:  \(\sin\alpha=\frac{8}{17}.\)  Izračunaj natančno:
     (a)    \(\cos\alpha\)
     (b)    \(\tan\alpha\)
   Rešitev:    (a) \(\cos\alpha=\frac{15}{17}\),   (b) \(\tan\alpha=\frac{8}{15}\)
8. Za topi kot \(\alpha\) velja:  \(\sin\alpha=\frac{4}{5}.\)  Izračunaj natančno:
     (a)    \(\cos\alpha\)
     (b)    \(\sin 2\alpha\)
   Rešitev:    (a) \(\cos\alpha=-\frac{3}{5}\),   (b) \(\sin 2\alpha=-\frac{24}{25}\)
9. Za kot \(\alpha\) velja:  \(180^\circ\lt\alpha\lt270^\circ\)  in  \(\cos\alpha=-\frac{1}{3}.\)  Izračunaj točno vrednost izraza  \(\cos 2\alpha.\)
   Rešitev:    \(\cos 2\alpha=-\frac{7}{9}\)
10. Za ostra kota \(\alpha\) in \(\beta\) velja:  \(\cos\alpha=\frac{5}{13}\)  in  \(\cos\beta=\frac{24}{25}.\)  Izračunaj točno vrednost izraza  \(\sin(\alpha-\beta).\)
    Rešitev:    \(\sin(\alpha-\beta)=\frac{253}{325}\)
11. Za topi kot \(\alpha\) velja:  \(\sin\alpha=\frac{1}{7}.\)  Izračunaj točno vrednost izraza  \(\cos (\alpha+30^\circ).\)
    Rešitev:    \(\cos (\alpha+30^\circ)=-\frac{13}{14}\)
12. Za kot \(\alpha\) velja:  \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)  in  \(\frac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\pi.\)  Izračunaj točno vrednost izraza  \(\sin (\alpha-\frac{\pi}{4}).\)
    Rešitev:    \(\sin (\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{7\sqrt{2}}{10}\)
13. Nariši grafe naslednjih funkcij:
    

    (a)    \(f(x)=3\sin x\)

    (b)    \(f(x)=2-\cos x\)

    (c)    \(f(x)=\sin 2x+2\)

14. Nariši grafe naslednjih funkcij:
    

    (a)    \(f(x)=|\cos 3x|\)

    (b)    \(f(x)=|2\sin x+1|\)

15. Dani sta premici \(p\!:~ y=6x+1\)  in  \(q\!:~ y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}\). Izračunaj kot med premicama. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\varphi\doteq62^\circ6'\)
16. Dani sta premici \(p\!:~ 7x-2y+10=0\)  in  \(q\!:~ 8x+3y-6=0\). Izračunaj kot med premicama. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\varphi\doteq36^\circ30'\)
17. Dani sta premici \(p\!:~ \frac{x}{2}-\frac{y}{4}=1\)  in  \(q\!:~ \frac{x}{6}+\frac{y}{3}=1\). Izračunaj kot med premicama.
    Rešitev:    \(\varphi=90^\circ\)
18. Dani sta premici \(p\!:~ 4x-5y=0\)  in  \(q\!:~ 2x-6=0\). Izračunaj kot med premicama. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\varphi\doteq51^\circ20'\)
19. Dana je premica \(p\!:~ y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}\). Zapiši enačbo premice \(q\), ki poteka skozi točko \(A(6,-1)\) in je pravokotna na premico \(p\).
    Rešitev:    \(q\!:~ y=-\frac{4}{3}x+7\)
20. Dana je premica \(p\!:~ 2x+6y-3=0\). Zapiši enačbo premice \(q\), ki poteka skozi izhodišče koordinatnega sistema in je pravokotna na premico \(p\).
    Rešitev:    \(q\!:~ y=3x\)