Eksponentna in logaritemska funkcija

1. Poenostavi izraz:
     (a)    \(3^{x+2}-3^{x+1}-4\cdot 3^x\)
     (b)    \(2^{x+1}-2^{x-1}-10\cdot 2^{x-3}\)
     (c)    \({\displaystyle \frac{2\cdot6^{x+1}+3\cdot 6^x}{2^{x+3}-2^{x+2}-2^x}}\)
   Rešitev:    (a) \(\cdots=2\cdot3^x\),     (b) \(\cdots=\frac{1}{4}\cdot2^x=2^{x-2}\),     (c) \(\cdots=5\cdot3^x\)
2. Reši enačbo:
     (a)    \(5^{3x+1}=\frac{\textstyle1}{\textstyle25}\)
     (b)    \(2^{x+2}+2^{x+1}=160+2^x\)
     (c)    \(3^{x+1}\cdot\left(\frac{\textstyle1}{\textstyle3}\right)^x\cdot\sqrt{3}^{~x-1}=\frac{\textstyle1}{\textstyle9}\)
   Rešitev:    (a) \(x=-1\),     (b) \(x=5\),     (c) \(x=-5\)
3. Reši enačbo in rešitev zaokroži na tri decimalke:
     (a)    \(2^{x+1}=100\)
     (b)    \(3^x+5\cdot3^{x+1}=27\)
     (c)    \(5\cdot2^x=17\cdot3^x\)
   Rešitev:    (a) \(x\doteq5,\!644\),     (b) \(x\doteq0,\!476\),     (c) \(x\doteq-3,\!018\)
4. V isti koordinatni sistem nariši grafa funkcij \(f(x)=3^x\)  in  \(g(x)=-3^x\).
   Rešitev:
   
   
   

   Večja slika

5. Graf eksponentne funkcije \(f(x)=a^x\) poteka skozi točko \(T(\frac{3}{2},8)\). Izračunaj osnovo \(a\) in nariši graf te funkcije.
   Rešitev:
   
   Osnova:  \(a=4\)
   
   

   Večja slika

6. Nariši graf funkcije:   \(f(x)=2^{x-2}-3\)
   Rešitev:
   
   
   

   Večja slika

7. Nariši graf funkcije:   \(f(x)=\log_\frac{1}{3}\,x + 2\)
   Rešitev:
   
   
   

   Večja slika

8. Nariši graf funkcije:   \(f(x)=2\,\log_3 (x+4)\)
   Zapiši tudi enačbo asimptote.
   Rešitev:
   
   Asimptota:  \(x=-4\)
   
   

   Večja slika

9. Graf logaritemske funkcije \(f(x)=\log_a x\) poteka skozi točko \(T(5,2)\). Izračunaj osnovo \(a\) in nariši graf te funkcije.
   Rešitev:
   
   Osnova:  \(a=\sqrt{5}\)
   
   

   Večja slika

10. Razčleni izraz  —  preoblikuj izraz v vsoto logaritmov (za pozitivne \(a,b,c\)):
      (a)    \({\displaystyle \log\frac{a^3b^5}{c^2}}\)
      (b)    \({\displaystyle \log\frac{\sqrt{a}}{b^3c^4}}\)
      (c)    \({\displaystyle \log\sqrt[\scriptstyle3]{\frac{a}{bc^2}}}\)
    Rešitev:    (a) \(\cdots=3\log a+5\log b-2\log c\),     (b) \(\cdots=\frac{1}{2}\log a-3\log b-4\log c\),     (c) \(\cdots=\frac{1}{3}\log a-\frac{1}{3}\log b-\frac{2}{3}\log c\)
11. Skrči izraz  —  preoblikuj izraz v logaritem enočlenika (za pozitivne \(a,b,c\)):
      (a)    \(\log a+\frac{1}{2}\log b-2\log c\)
      (b)    \(\frac{1}{2}\log a+\frac{3}{2}\log b-3\log2-2\log c\)
    Rešitev:    (a) \(\cdots=\log\frac{a\sqrt{b}}{c^2}\),     (b) \(\cdots=\log\frac{\sqrt{ab^3}}{8c^2}\)
12. Izrazi neznanko \(x\) iz naslednje enakosti (za pozitivne \(a,b,c,x\)):
      (a)    \(\log x = \log a-\log b+\frac{1}{2}\log 2-2\log c\)
      (b)    \(\log x = 3 -\log (a+b+c)\)
    Rešitev:    (a) \(x=\frac{a\sqrt{2}}{bc^2}\),     (b) \(x=\frac{1000}{a+b+c}\)
13. Reši enačbo:
      (a)    \(\log_3 (2x-7)=2\)
      (b)    \(\log_5 \left(\frac{\textstyle x}{\textstyle 3}\right)=\frac{\textstyle 1}{\textstyle 2}\)
      (c)    \(\log_2 (x-1)=-3\)
    Rešitev:    (a) \(x=8\),     (b) \(x=3\sqrt{5}\),     (c) \(x=\frac{9}{8}\)
14. Reši enačbo:
      (a)    \(\log_2 (3x-8)=\log_2 x\)
      (b)    \(\log(x^2-4x)=\log(5x-14)\)
    Rešitev:    (a) \(x=4\),     (b) \(x=7\)
15. Reši enačbo:
      (a)    \(\log x+\log(x-4)=\log(2x-5)\)
      (b)    \(\log(2x-1)+\log(x-1)=2\,\log(x+1)\)
      (c)    \(1+\log(x-3)=\log(x+15)\)
      (d)    \({\displaystyle\frac{\log(2x-6)}{\log(x-3)}=2}\)
    Rešitev:    (a) \(x=5\),     (b) \(x=5\),     (c) \(x=5\),     (d) \(x=5\)