Eksponentna in logaritemska funkcija

1. Graf eksponentne funkcije $f(x)=a^x$ poteka skozi točko $T(-\frac{3}{2},3\sqrt{3})$. Izračunaj $a$ in nariši graf te funkcije. Če graf funkcije $f$ prezrcališ čez izhodišče koordinatnega sistema, dobiš graf funkcije $g$. Zapiši enačbo funkcije $g$.
   Rešitev:    $a=\frac{1}{3},f(x)=(\frac{1}{3}{)}^x,g(x)=-3^x$
   Grafe vseh funkcij lahko preveriš s programom Graph (velja tudi za druge naloge).
2. Nariši graf funkcije:
   

   (a)    $f(x)=3-3^x$

   (b)    $f(x)=3^{3-x}$

   (c)    $f(x)=e^{-x}-3$

3. Poenostavi izraze:
   

   (a)    $3^{x+2}-2\cdot 3^{x+1}-3^x$

   (b)    ${\displaystyle \frac{7^{x+1}-7^{x-1}}{7^{x+1}+7^x}}$

   (c)    ${\displaystyle \frac{{12}^{x+1}-3\cdot {12}^x}{2^{2x+2}-2^{2x+1}-2^{2x}}}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =2\cdot 3^x$,     (b)  $\cdots =\frac{6}{7}$,     (c)  $\cdots =3^{x+2}$
4. Poenostavi izraz:   ${\displaystyle \frac{5^x+5^{-x}}{5^{1+x}+5^{1-x}}}$
   Opomba:    Te naloge žal ne moreš rešiti z izpostavljanjem $5^x$ v števcu in imenovalcu. Ali imaš še kakšno drugo idejo?
   Rešitev:    $\cdots =\frac{1}{5}$
5. Reši enačbe:
   

   (a)    ${\displaystyle 2^{x-1}=\frac{4}{\sqrt{2}}}$

   (b)    $3^{x+2}\cdot {\sqrt{3}}^x\cdot (\frac{1}{9}{)}^{x-2}=1$

   (c)    ${\displaystyle 3^x=5^{x-1}\cdot \frac{27}{25}}$

   Rešitev:    (a)  $x=\frac{5}{2}$,     (b)  $x=12$,     (c)  $x=3$
6. Reši enačbe:
   

   (a)    $7^{x+2}+7^x=2450$

   (b)    ${\displaystyle \frac{2^{x+1}+2^x}{16-2^{x-1}}=6}$

   (c)    ${\displaystyle \frac{3^{x+1}-4^x+3^{x-1}}{5\cdot 4^{x-1}-2\cdot 3^x}=1}$

   Rešitev:    (a)  $x=2$,     (b)  $x=4$,     (c)  $x=3$
7. Reši enačbe:
   

   (a)    $9^{2x}-2\cdot 9^x=3$

   (b)    ${\displaystyle 3^x-6=\frac{27}{3^x}}$

   (c)    $2^x-2^{5-x}=4$

   Rešitev:    (a)  $x=\frac{1}{2}$,     (b)  $x=2$,     (c)  $x=3$     (Namig: Pri vseh treh enačbah si lahko pomagaš z uvedbo nove neznanke.)
8. Izračunaj logaritme (to so lažji zgledi, ki jih lahko izračunaš tudi brez kalkulatorja):
   

   (a)    ${\log }_{3}81$

   (b)    ${\log }_{4}32$

   (c)    $\log \sqrt{5}(\frac{1}{5\sqrt{5}})$

   (d)    $\log \frac{1}{8}\sqrt[3]{2}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =4$,     (b)  $\cdots =\frac{5}{2}$,     (c)  $\cdots =-3$,     (d)  $\cdots =-\frac{1}{9}$
9. Reši enačbe in rešitve zaokroži na štiri mesta:
   

   (a)    $5^{x-1}=\frac{7}{33}$

   (b)    $3^{2x+1}=1234$

   (c)    $(\frac{2}{3}{)}^{3x}=\frac{125}{9}$

   (d)    $e^{x^2-1}=100$

   Rešitev:    (a)  $x\doteq 0,03656$,     (b)  $x\doteq 2,740$,     (c)  $x\doteq -2,163$,     (d)  $x_1\doteq -2,368,x_2\doteq 2,368$
10. Reši enačbe in rešitve zaokroži na štiri decimalke:
    

    (a)    $3^{x+1}+3^{x-1}=333$

    (b)    $5^x=13\cdot 2^x$

    (c)    $7\cdot 4^{x-2}=5\cdot 3^{x+1}$

    Rešitev:    (a)  $x\doteq 4,1909$,     (b)  $x\doteq 2,7993$,     (c)  $x\doteq 12,2869$
11. Nariši grafe funkcij:
    

    (a)    $f(x)={\log }_2(x+4)-2$

    (b)    $f(x)=2-{\log }_3(-x)$

    (c)    $f(x)=\log \frac{1}{2}(2x+6)$

12. Dana je funkcija $f(x)={\log }_2\frac{x+1}{2}$. Nariši graf in te funkcije in nato s pomočjo grafa:
    

    (a)    določi definicijsko območje funkcije,

    (b)    ugotovi, za katere $x$ velja:  $f(x)⩽0$.

    Rešitev:    (a)  ${\mathcal{D}}_f=(-1,\mathrm{\infty })$,     (b)   to velja za $x\in (-1,1]$.
13. Razčleni  —  preoblikuj izraz v vsoto členov (za pozitivne $a,b,c$):
    

    (a)    ${\log }_2(a^{2}b\sqrt{2})$

    (b)    ${\displaystyle \log \sqrt[3]{\frac{a^6{b}^{12}}{c}}}$

    (c)    ${\displaystyle \log \frac{100a}{\sqrt{b{c}^3}}}$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\frac{1}{2}+2{\log }_{2}a+{\log }_{2}b$,     (b)  $\cdots =2\log a+4\log b-\frac{1}{3}\log c$,     (c)  $\cdots =2+\log a-\frac{1}{2}\log b-\frac{3}{2}\log c$
14. Izračunaj vrednost izraza   ${\displaystyle \ln \frac{x^2}{y\sqrt{z}}}$,  če veš, da velja:   $\ln x=3$,  $\ln y=\frac{9}{2}$,  $\ln z=\frac{1}{3}$.
    Rešitev:    $\cdots =\frac{4}{3}$
15. Skrči  —  preoblikuj izraz v logaritem enočlenika (za pozitivne $a,b,c$):
    

    (a)    ${\displaystyle \log a-\frac{2\log b+3\log c}{6}}$

    (b)    $3-{\log }_{3}a+\frac{1}{3}{\log }_{3}b-2{\log }_{3}c$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =\log \frac{a}{\sqrt[6]{b^2{c}^3}}$,     (b)  $\cdots ={\log }_3\frac{27\sqrt[3]{b}}{a{c}^2}$
16. Izrazi neznanko $x$, če veš, da velja naslednja zveza:
    

    (a)    ${\log }_{3}x=\frac{1}{2}+{\log }_{3}a+{\log }_{3}b-{\log }_3(a+b)$

    (b)    $\ln x=5\ln 2+\ln (a^2-b^2)-3\ln 4-\ln (a-b)$

    Rešitev:    (a)  $x=\frac{ab\sqrt{3}}{a+b}$,     (b)  $x=\frac{a+b}{2}$
17. Reši enačbo:
    

    (a)    ${\log }_9(x-3)=\frac{3}{2}$

    (b)    ${\log }_{x}64=3$

    (c)    ${\log }_x(2x+15)=2$

    Rešitev:    (a)  $x=30$,     (b)  $x=4$,     (c)  $x=5$
18. Reši enačbo:
    

    (a)    ${\log }_3(x+1)+{\log }_3(x-2)={\log }_3(3x+10)$

    (b)    $1+{\log }_2(x-1)=2{\log }_2(x+3)-{\log }_{2}x$

    (c)    ${\log }_8(x-\frac{1}{3})={\log }_{8}x-\frac{1}{3}$

    Rešitev:    (a)  $x=6$,     (b)  $x=9$,     (c)  $x=\frac{2}{3}$
19. Reši enačbo:
    

    (a)    ${\displaystyle \log (\frac{x-7}{2})=\frac{\log (x-7)}{2}}$

    (b)    ${\displaystyle \frac{\log x+2}{\log (2x+12)}=2}$

    (c)    ${\displaystyle \frac{\log (x-5)}{\log (7-x)}=\frac{1}{2}}$

    Rešitev:    (a)  $x=11$,     (b)  $x_1=9,x_2=4$,     (c)  enačba nima rešitve.
20. Reši enačbo:
    

    (a)    ${\displaystyle 2\log x+1=\frac{1}{\log x}}$

    (b)    ${\displaystyle \frac{\log x}{\log x+3}=\frac{4}{\log x}}$

    (c)    ${\displaystyle \frac{\log x}{\log 10x}=\frac{\log 100x}{\log 10000x}}$

    Rešitev:    (a)  $x_1=\frac{1}{10},x_2=\sqrt{10}$,     (b)  $x_1=\frac{1}{100},x_2=1000000$,     (c)  $x=100$     (Namig: Pri vseh treh enačbah si lahko pomagaš z uvedbo nove neznanke.)
21. Reši enačbo:
    

    (a)    ${\log }_4(x-3)={\log }_{16}(2x+2)$

    (b)    ${\log }_2(x-2)={\log }_8(7x-8)$

    Rešitev:    (a)  $x=7$,     (b)  $x=5$

 Domov