Kvadratna funkcija

1. Izračunaj teme in ničli ter nariši graf kvadratne funkcije:
   

   (a)    $f(x)=x^2-2x-3$

   (b)    $f(x)=-x^2+3x+4$

   (c)    $f(x)=2x^2-4$

   (d)    $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-2x+2$

   Rešitev:    (a)  $T(1,-4),x_1=-1,x_2=3$,     (b)  $T(\frac{3}{2},\frac{25}{4}),x_1=-1,x_2=4$,     (c)  $T(0,-4),x_1=-\sqrt{2},x_2=\sqrt{2}$,     (d)  $T(2,0),x_{1,2}=2$
   Grafe funkcij lahko preveriš s programom Graph.
2. Izračunaj teme in ničli ter nariši graf kvadratne funkcije:
   

   (a)    $f(x)=(2+x)(2-x)$

   (b)    $f(x)=2x(x+3)$

   (c)    $f(x)=\frac{1}{2}x(x-4)+4$

   Rešitev:    (a)  $T(0,4),x_1=-2,x_2=2$,     (b)  $T(-\frac{3}{2},-\frac{9}{2}),x_1=0,x_2=-3$,     (c)  $T(2,2)$, funkcija nima realnih ničel (v kompleksnem pa ima ničli: $x_1=2-2i,x_2=2+2i$)
3. Dana je kvadratna funkcija $f(x)=(2x-4)(x-4)-6$. Zapiši enačbo te funkcije v vseh treh značilnih oblikah in nariši graf.
   Rešitev:    Splošna oblika: $f(x)=2x^2-12x+10$, temenska oblika: $f(x)=2(x-3{)}^2-8$, ničelna oblika: $f(x)=2(x-1)(x-5)$.
4. Izračunaj vse (tudi nerealne) ničle danih funkcij. Rezultati naj bodo točni.
   

   (a)    $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-3x+2$

   (b)    $f(x)=x^2\sqrt{2}-2x\sqrt{3}$

   (c)    $f(x)=2x^2-3x+\frac{13}{8}$

   Rešitev:    (a)  $x_1=3-\sqrt{5},x_2=3+\sqrt{5}$,     (b)  $x_1=0,x_2=\sqrt{6}$,     (c)  $x_1=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}i,x_2=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}i$
5. Graf kvadratne funkcije poteka skozi točke $A(1,-2),B(2,-1)$ in $C(3,4)$. Zapiši enačbo te kvadratne funkcije v splošni obliki.
   Rešitev:    $f(x)=2x^2-5x+1$
6. Kvadratna funkcija ima teme v točki $T(4,6)$. Graf te funkcije seka simetralo lihih kvadrantov v dveh točkah: ena od njiju je točka $A(2,2)$. Zapiši enačbo te kvadratne funkcije v splošni obliki in nariši graf.
   Rešitev:    $f(x)=-x^2+8x-10$
7. Graf kvadratne funkcije seka abscisno os pri $x_1=2$ in $x_2=4$, ordinatno os pa pri $y=-4$. Zapiši enačbo te kvadratne funkcije v splošni obliki in nariši graf.
   Rešitev:    $f(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+3x-4$
8. Kvadratna funkcija ima ničli $x_1=2-\sqrt{2}$ in $x_2=2+\sqrt{2}$. Graf te funkcije poteka skozi točko $A(3,-2)$ Zapiši enačbo te kvadratne funkcije v temenski obliki in nariši graf.
   Rešitev:    $f(x)=2(x-2{)}^2-4$
9. Kvadratna funkcija ima teme $T(3,-1)$ in ničli $x_1=3-i$ in $x_2=3+i$. Zapiši enačbo te kvadratne funkcije v splošni obliki in nariši graf.
   Rešitev:    $f(x)=-x^2+6x-10$
10. Zapiši v splošni obliki enačbo kvadratne funkcije, katere graf je na spodnji sliki.
    
    Rešitev:    $f(x)=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}x-2$
11. Kvadratna funkcija ima enačbo $f(x)=2x^2+mx-3$. Določi realni parameter $m$ tako,
    

    (a)    da bo graf potekal skozi točko $A(3,6)$,

    (b)    da bo $x=-3$ ničla te funkcije.

    Rešitev:    (a)  $m=-3$,     (b)  $m=5$
12. Dana je kvadratna funkcija $f(x)=x^2-mx+m+3$. Določi $m\in \mathrm{I}\mathrm{R}$ tako, da bo teme te funkcije ležalo:
    

    (a)    na ordinatni osi,

    (b)    na abscisni osi.

    Rešitev:    (a)  $m=0$,     (b)  $m_1=-2,m_2=6$
13. Dana je družina kvadratnih funkcij $f(x)=\frac{1}{4}{x}^2-mx+m^2+m-2$. Ugotovi, katera funkcija iz te družine ima teme na premici z enačbo $y=2x-11$. Zapiši parameter $m$ in enačbo ustrezne funkcije.
    Rešitev:    $m=3,f(x)=\frac{1}{4}{x}^2-3x+10$
14. V koordinatnem sistemu (desno) je narisan graf funkcije $f(x)=x^2-3x+2$. Če ta graf prezrcalimo čez koordinatno izhodišče, dobimo graf funkcije $g$. Nariši graf funkcije $g$ v isti koordinatni sistem in zapiši enačbo funkcije $g$ v splošni obliki.
    Rešitev:    $g(x)=-x^2-3x-2$
15. Reši naslednje enačbe (v $\mathbb{C}$). Zapiši točne vrednosti rešitev.
    

    (a)    $2x^2-10x-28=0$

    (b)    $4x^2-9x+2=0$

    (c)    $9x^2+12x+4=0$

    (d)    $x^2-6x+13=0$

    Rešitev:    (a)  $x_1=-2,x_2=7$,     (b)  $x_1=\frac{1}{4},x_2=2$,     (c)  $x=-\frac{2}{3}$,     (d)  $x_1=3-2i,x_2=3+2i$
16. Reši enačbe:
    

    (a)    $2x(x-2{)}^2=x^2+4x$

    (b)    $(x+4{)}^3-x(x-1)(x+1)=35(x+2)$

    (c)    $(x+1{)}^3=x^3+10x-1$

    (d)    $(x-1{)}^3+(x-2{)}^3=11x-9$

    Rešitev:    (a)  $x_1=\frac{1}{2},x_2=4,x_3=0$,     (b)  $x_1=-\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{3}$,     (c)  $x_1=2,x_2=\frac{1}{3}$,     (d)  $x_1=4,x_2=\frac{1}{2},x_3=0$
17. Reši enačbe:
    

    (a)    $x^4-19x^2+48=0$

    (b)    $(x^2-7x+10{)}^2-2(x^2-7x+10)-8=0$

    (c)    ${\displaystyle 2\cdot (\frac{2}{x-3}{)}^2-3\cdot (\frac{2}{x-3})+1=0}$

    Namig:    Pomagaj si z uvedbo nove neznanke.
    Rešitev:    (a)  $x_1=4,x_2=-4,x_3=\sqrt{3},x_4=-\sqrt{3}$,     (b)  $x_1=1,x_2=3,x_3=4,x_4=6$,     (c)  $x_1=5,x_2=7$
18. Reši enačbe:
    

    (a)    $1+\sqrt{4x+8}=x$

    (b)    ${\displaystyle \frac{1+\sqrt{x+21}}{x-2}-3=0}$

    (c)    ${\displaystyle \frac{3-\sqrt{x+4}}{x-5}=-2}$

    Rešitev:    (a)  $x=7$,     (b)  $x=4$,     (c)  enačba ni rešljiva.
19. Reši enačbo   $\sqrt{2x+15}+\sqrt{x+7}=5$
    Rešitev:    $x=-3$
20. Produkt dveh števil je enak 448. Izračunaj ti dve števili, če veš, da je prvo število za 2 večje od polovice drugega.
    Rešitev:    To sta števili 16 in 28 ali pa števili –14 in –32.
21. Pravokotnik ima obseg $94\mathrm{cm}$, diagonala tega pravokotnika pa meri $37\mathrm{cm}$. Izračunaj, koliko merita stranici pravokotnika.
    Rešitev:    Stranici merita $12\mathrm{cm}$ in $35\mathrm{cm}$   (ali $a=12\mathrm{cm},b=35\mathrm{cm}$ ali pa $a=35\mathrm{cm},b=12\mathrm{cm}$).
22. V pravokotnem trikotniku je kateta $b$ za $1\mathrm{cm}$ daljša od katete $a$, hipotenuza $c$ pa je za $8\mathrm{cm}$ daljša od katete $b$. Izračunaj, koliko merijo stranice tega trikotnika.
    Rešitev:    Stranice merijo: $a=20\mathrm{cm},b=21\mathrm{cm},c=29\mathrm{cm}$.
23. Dan je vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(m,m+3,3m)$. Določi pozitivno število $m$ tako, da bo veljalo $|\stackrel{\rightharpoonup }{a}|=21$.
    Rešitev:    $m=6$
24. Kvader z višino $17\mathrm{cm}$ ima za osnovno ploskev kvadrat. Površina tega kvadra meri $1222{\mathrm{cm}}^2$. Izračunaj prostornino tega kvadra.
    Rešitev:    $V=2873{\mathrm{cm}}^3$
25. Če število $m\in {\mathrm{I}\mathrm{R}}^{+}$ korenimo in dobljeni rezultat prištejemo številu $m$, dobimo 3540. Izračunaj $m$.
    Rešitev:    $m=3481$
26. Dana je enačba $2x^2-5x+2m-7=0$. Določi $m\in \mathrm{I}\mathrm{R}$ tako, da bo ena od rešitev te enačbe $x_1=1$. Izračunaj, koliko je v tem primeru druga rešitev.
    Rešitev:    $m=5,x_2=\frac{3}{2}$
27. Dana je enačba $4x^2-20x+8m=7$. Določi $m\in \mathrm{I}\mathrm{R}$ tako, da bo imela ta enačba točno eno rešitev. To rešitev tudi izračunaj.
    Rešitev:    $m=4,x=\frac{5}{2}$
28. Dana je enačba $m{x}^2+(2m+4)x+m+5=0$. Določi $m\in \mathrm{I}\mathrm{R}$ tako, da bo imela ta enačba točno eno rešitev. To rešitev tudi izračunaj.
    Rešitev:    Lahko je $m=4,x=-\frac{3}{2}$, lahko pa tudi $m=0,x=-\frac{5}{4}$.
29. Dana je kvadratna funkcija $f(x)=x^2-x-3$. Izračunaj, v katerih točkah graf te funkcije seka premico z enačbo:
    

    (a)    $y=3x+2$

    (b)    $y=3x-7$

    (c)    $y=3x-11$

    Rešitev:    (a)  $P_1(5,17),P_2(-1,-1)$,     (b)  $P(2,-1)$,     (c)  graf ne seka premice.
30. Izračunaj, v katerih točkah se sekata grafa funkcij $f(x)=x^2+3x-4$ in $g(x)=-x^2+2x+2$.
    Rešitev:    $P_1(-2,-6),P_2(\frac{3}{2},\frac{11}{4})$
31. Izračunaj presečišče grafov funkcij $f(x)=\sqrt{3x+1}$ in $g(x)=x-3$.
    Rešitev:    $P(8,5)$
32. Izračunaj, v kateri točki graf funkcije $f(x)=\sqrt{x-2}$ seka premico ${\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{y}{2}=1}$.
    Rešitev:    $P(6,2)$
33. Dana je funkcija $f(x)=2-\sqrt{9-8x}$. Izračunaj, v katerih točkah graf funkcije seka simetralo lihih kvadrantov.
    Rešitev:    $P_1(1,1),P_2(-5,-5)$
34. Dani sta funkciji $f(x)=x^2-4x+m+1$ in $g(x)=2x-4$. Določi realni parameter $m$ tako, da bosta imela grafa teh dveh funkcij točno eno presečišče. Zapiši tudi koordinati tega presečišča.
    Rešitev:    $m=4,P(3,2)$
35. Dana je enačba $8x^2-12x+1=0$. Izračunaj vrednost izraza $x_1^2+x_2^2$, če sta $x_1$ in $x_2$ rešitvi te enačbe.
    Namig:    Uporabiš lahko Viètovi pravili za vsoto in produkt rešitev enačbe.
    Rešitev:    $x_1^2+x_2^2=2$
36. Kvadratna funkcija $f(x)=x^2-4x+20$ ima v $\mathbb{C}$ dve ničli: $x_1$ in $x_2$. Izračunaj vrednost izraza $(x_1^{-1}+x_2^{-1}{)}^{-1}$.
    Namig:    Uporabiš lahko Viètovi pravili za vsoto in produkt ničel funkcije.
    Rešitev:    $(x_1^{-1}+x_2^{-1}{)}^{-1}=5$
37. Reši neenačbe:
    

    (a)    $x^2-7x+10⩽0$

    (b)    $2x^2>6x$

    (c)    $2x-\frac{1}{3}⩾3x^2$

    (d)    $(2x+3)x<-4$

    Rešitev:    (a)  $x\in [2,5]$,     (b)  $x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (3,\mathrm{\infty })$,     (c)  $x=\frac{1}{3}$,     (d)  neenačba nima rešitve.
38. Dana je neenačba:  $x^2-6x+m⩽0$. Določi realni parameter $m$ tako,
    

    (a)   da bo imela neenačba eno samo rešitev,

    (b)   da bo množica rešitev te neenačbe interval širine 4.

    Rešitev:    (a)  $m=9$,     (b)  $m=5$

 Domov