Potence in koreni

Izrazi s potencami in koreni

1. Izračunaj brez kalkulatorja:
   

   (a)    \(\sqrt[\scriptstyle 3]{125}\cdot\sqrt[\scriptstyle 7]{128}\)

   (b)    \(\sqrt[\scriptstyle 4]{3^8}+\sqrt[\scriptstyle 6]{3^0}\)

   (c)    \(\sqrt[\scriptstyle 3]{250~\sqrt[\scriptstyle 3]{(-8)^2}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=10\),     (b)  \(\cdots=10\),     (c)  \(\cdots=10\)
2. Izračunaj brez kalkulatorja:
   

   (a)    \(8\raise0.9em{\textstyle\frac{2}{3}}+9\raise0.9em{\textstyle\frac{3}{2}}\)

   (b)    \(\Big(27\raise0.9em{-\textstyle\frac{1}{3}}+6^{-1}\Big)\cdot 16\raise0.9em{\textstyle\frac{1}{4}}\)

   (c)    \(\Big(6\frac{1}{4}\Big)\raise0.9em{-\textstyle\frac{1}{2}}\cdot 125\raise0.9em{\textstyle\frac{2}{3}}\cdot \sqrt{9^{1,5}-2} \)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=31\),     (b)  \(\cdots=1\),     (c)  \(\cdots=50\)
3. Poenostavi (za \(x\ne0,~ y\ne0\)):
   

   (a)    \({\displaystyle\frac{x^2~(xy^2)^3}{x^6 y~(x^{-1}y)^2}}\)

   (b)    \({\displaystyle\frac{x y^2 \frac{\textstyle x^5}{\textstyle y^7}} {\frac{\textstyle x y}{\textstyle y^6} (x^{-2})^{-3}}}\)

   (c)    \({\displaystyle\frac{(2x)^3~y^{-2}}{xy^{-3}}+\frac{(x^3)^5~x^{-13}}{(2y)^{-5}~y^4}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=xy^3\),     (b)  \(\cdots=x^{-1}=\frac{1}{x}\),     (c)  \(\cdots=40x^2y\)
4. Poenostavi (za \(x\gt0,~ y\gt0\)):
   

   (a)    \({\displaystyle\sqrt[\scriptstyle 3]{64x^{12}y^9}\cdot \sqrt[\scriptstyle 4]{\frac{81y^4}{x^{12}}}}\)

   (b)    \({\displaystyle\sqrt[\scriptstyle 5]{\frac{-32}{xy^2}\cdot \sqrt[\scriptstyle 3]{x^{18}y^{36}}}}\)

   (c)    \({\displaystyle\frac{\sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{\textstyle \sqrt{x^2}}{\textstyle xy^6}}} {\sqrt[\scriptstyle 4]{\frac{\textstyle xy^{10}}{\textstyle (x^3y^2)^3}}}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=12xy^4\),     (b)  \(\cdots=-2xy^2\),     (c)  \(\cdots=x^2y^{-3}=\frac{x^2}{y^3}\)
5. Poenostavi (za \(x\gt0,~ y\gt0\)):
   

   (a)    \({\displaystyle\frac{\sqrt{x^5y^3}}{\sqrt[\scriptstyle3]{x^4y^2}~ \sqrt[\scriptstyle6]{xy^2}}}\)

   (b)    \({\displaystyle\sqrt[\scriptstyle 5]{\frac{243~ \sqrt[\scriptstyle3]{x^5y}~ \sqrt{xy}}{32x^2y~ \sqrt[\scriptstyle6]{xy^{-1}}}}}\)

   (c)    \({\displaystyle\frac{\sqrt[\scriptstyle4]{x^6y^2}}{\sqrt[\scriptstyle3]{x^4y}} - \sqrt[\scriptstyle3]{\frac{xy}{\sqrt{xy}}}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=x\sqrt{y}\),     (b)  \(\cdots=\frac{3}{2}\),     (c)  \(\cdots=0\)
6. Poenostavi (za pozitiven \(x\) in \(y\)):
   

   (a)    \({\displaystyle\frac{\sqrt[\scriptstyle4]{\frac{\textstyle x^{12}y^7}{\textstyle x^2y^{-5}}}}{~\sqrt{4x^3y^4}~} - \frac{\sqrt{\frac{\textstyle x^3y^3}{\textstyle x^3y}}}{~\sqrt[\scriptstyle3]{27x^{-3}}~}}\)

   (b)    \(\displaystyle\frac{~\sqrt[\scriptstyle 3]{27x^4y^5}~}{\sqrt[\scriptstyle 6]{x^2y^4}}- \left(\frac{\sqrt[\scriptstyle 4]{x^2}}{~\sqrt{x^3y^2}~}\right)^{-1}\)

   (c)    \({\displaystyle\sqrt{\frac{\frac{\textstyle y^3}{\textstyle \sqrt{5}}}{~\frac{\textstyle xy}{\textstyle (x\sqrt{5})^3}~} - \frac{\sqrt[\scriptstyle3]{x^2y^5}\cdot\sqrt{x^3y}}{\sqrt[\scriptstyle6]{xy}}~}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=\frac{xy}{2}-\frac{xy}{3}=\frac{xy}{6}\),     (b)  \(\cdots=3xy-xy=2xy\),     (c)  \(\cdots=\sqrt{5x^2y^2-x^2y^2}=2xy\)
7. Za \(a=\frac{1}{4}\) in \(b=\frac{3}{4}\) izračunaj vrednost naslednjega izraza:
   

       \({\displaystyle\frac{b}{\sqrt[\scriptstyle3]{\frac{\textstyle(ab)^4}{\textstyle a^7b}}} + \frac{\sqrt{\frac{\textstyle(ab)^3}{\textstyle ab^{-1}}}}{ab}}\)

   Rešitev:    \(\cdots=a+b=1\)
8. Izračunaj vrednost naslednjega izraza za \(x=2-\sqrt{2}\) in \(y=1+\sqrt{2}\):
   

       \({\displaystyle\frac{~x\sqrt{y^5}~}{\sqrt[\scriptstyle3]{\frac{\textstyle x^4}{\textstyle y^2}}} \cdot\frac{\Big(\frac{\textstyle x}{\textstyle y}\Big)^2}{~\sqrt[\scriptstyle6]{x^4y}~}}\)

   Rešitev:    \(\cdots=xy=\sqrt{2}\)
9. Brez kalkulatorja izračunaj natančno vrednost naslednjega izraza:   \({\displaystyle\frac{2^3\cdot\big(\frac{1}{4}\big)^2\cdot\sqrt[\scriptstyle6]{32}}{\sqrt[\scriptstyle4]{4}\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{2}}}\)
   Rešitev:    \(\cdots=\frac{1}{2}\)
10. Brez kalkulatorja izračunaj natančno vrednost naslednjega izraza in rezultat zapiši v obliki \(a\sqrt{b}~~ (a,b\in\mathrm{I\!N})\):
    

        \({\displaystyle\frac{\sqrt[\scriptstyle 3]{4}\cdot\sqrt[\scriptstyle 6]{2}\cdot\sqrt{2}^{\,3}} {\sqrt[\scriptstyle 7]{8\sqrt{2}\,}\cdot\sqrt[\scriptstyle 3]{\frac{1}{4}}}}\)

    Rešitev:    \(\cdots=4\sqrt{2}\)
11. Poenostavi izraz (za poljuben \(x\in\mathrm{I\!R}\)):
    

        \({\displaystyle\frac{0,\!25^x\cdot 8^{2x}\cdot\left(\sqrt[\scriptstyle6]{2}\,\right)^x} {\sqrt[\scriptstyle3]{4^x}\cdot\left(\sqrt{2^x}\,\right)^3}}\)

    Rešitev:    \(\cdots=2^{2x}=4^x\)
12. Izračunaj natančno (pomagaj si z delnim korenjenjem):
    

    (a)    \((\sqrt{50}-\sqrt{32})(\sqrt{27}-\sqrt{12})\)

    (b)    \({\displaystyle\frac{\sqrt{60}-\sqrt{15}}{\sqrt{75}-\sqrt{48}}}\)

    (c)    \({\displaystyle\frac{\sqrt{125}+\sqrt{9}-\sqrt{20}}{1+\sqrt{80}-\sqrt{45}}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\sqrt{6}\),     (b)  \(\cdots=\sqrt{5}\),     (c)  \(\cdots=3\)
13. Poenostavi (za pozitiven \(x\) in \(y\)):
    

    (a)    \({\displaystyle\sqrt{\frac{9x^5}{x^3y}\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{8y^9\,}~}-\frac{\sqrt[\scriptstyle3]{(2x)^6\,y^9\,}} {~x^2\cdot \sqrt{2x^{-2}y^4\,}~}}\)

    (b)    \({\displaystyle\sqrt{\frac{~50\,\sqrt{x^5y^2}~}{\sqrt[\scriptstyle6]{x^3y^6}}} - \frac{\big(2xy^3\big)^2}{~\sqrt{2x^2y^{12}}~} }\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=xy\sqrt{2}\),     (b)  \(\cdots=3x\sqrt{2}\),    
14. Racionaliziraj (odpravi koren v imenovalcu):
    

    (a)    \({\displaystyle\frac{12}{\sqrt{6}}}\)

    (b)    \({\displaystyle\frac{12}{1+\sqrt{5}}}\)

    (c)    \({\displaystyle\frac{4\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=2\sqrt{6}\),     (b)  \(\cdots=-3+3\sqrt{5}\),     (c)  \(\cdots=14+6\sqrt{7}\)
15. Izračunaj natančno (pomagaj si z delnim korenjenjem in racionalizacijo imenovalca):
    

    (a)    \(\sqrt[\scriptstyle5]{\frac{27}{\sqrt{3}}}\)

    (b)    \({\displaystyle\frac{\frac{100}{\sqrt{3}}-53}{2-\frac{4-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}}\)

    (c)    \({\displaystyle\frac{\sqrt{12}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}}\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\sqrt{3}\),     (b)  \(\cdots=8\sqrt{3}-7\),     (c)  \(\cdots=3+3\sqrt{3}\)
16. Izračunaj natančno (pomagaj si z delnim korenjenjem in racionalizacijo imenovalca):
    

    (a)    \(\sqrt[\scriptstyle5]{4\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{4}\cdot\sqrt[\scriptstyle6]{\frac{1}{2}}~}\)

    (b)    \(\Big(\frac{\textstyle6}{\textstyle\sqrt{2}} -\sqrt{8}\Big)^6 \)

    (c)    \(\displaystyle\left(\frac{\sqrt{18}-3}{\sqrt{8}-\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)^3\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=\sqrt{2}\),     (b)  \(\cdots=8\),     (c)  \(\cdots=20-14\sqrt{2}\)
17. Dani sta števili \(t\) in \(u\). Brez kalkulatorja izračunaj, katero od števil je večje. Pomagaj si z delnim korenjenjem in racionalizacijo.
    

        \({\displaystyle t=\frac{\sqrt{2}}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}},~~~~ u=\frac{6-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}}\)

    Rešitev:    Števili sta enaki: \(t=u=2\sqrt{2}-2\)
18. Določi realna parametra \(m\) in \(n\) tako, da bo enakost veljala za vsak pozitiven \(x\) in \(y\):
    

        \({\displaystyle\sqrt[\scriptstyle3]{\frac{~x^2\sqrt{x^m y\,}~}{y^3 \sqrt{x y^n\,}}} =\sqrt[\scriptstyle6]{\frac{\,x^5\,}{y^8}}}\)

    Rešitev:    \(m=2,~ n=3\)

Enačbe s potencami in koreni

19. Reši enačbe (v \(\mathrm{I\!R}\)):
    

    (a)    \(x^5=32\)

    (b)    \(x^4=81\)

    (c)    \((x-2)^3=125\)

    (d)    \((2x+3)^4=625\)

    Rešitev:    (a)  \(x=2\),     (b)  \(x_1=3,~ x_2=-3\),     (c)  \(x=7\),     (d)  \(x_1=1,~ x_2=-4\)
20. Reši enačbe v \(\mathrm{I\!R}\) (če se da):
    

    (a)    \(4x^2=1\)

    (b)    \(2x^3+54=0\)

    (c)    \(3x^4+3=0\)

    (d)    \(\displaystyle\left(x^3-13\right)^2-196=0\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=\frac{1}{2},~ x_2=-\frac{1}{2}\),     (b)  \(x=-3\),     (c)  enačba ni rešljiva v \(\mathrm{I\!R}\),     (d)  \(x_1=-1,~ x_2=3\)
21. Reši enačbe v \(\mathrm{I\!R}\) (če se da):
    

    (a)    \(\left(\frac{1}{4}x^3-9\right)^2=49\)

    (b)    \(256-\big(x^2-5\big)^4=0\)

    (c)    \(1296-\big(x^2-10\big)^4=0\)

    (d)    \(\displaystyle\left(\frac{2x-1}{3}\right)^4-625=0\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=2,~ x_2=4\),     (b)  \(x_1=1,~ x_2=-1,~ x_3=3,~x_4=-3\),     (c)  \(x_1=2,~ x_2=-2,~ x_3=4,~x_4=-4\),     (d)  \(x_1=8,~ x_2=-7\)
22. Reši enačbe (v \(\mathrm{I\!R}\)):
    

    (a)    \(\sqrt[\scriptstyle3]{x}=4\)

    (b)    \(\sqrt[\scriptstyle4]{x+10}=2\)

    (c)    \(\sqrt[\scriptstyle5]{6x-2}=-2\)

    Rešitev:    (a)  \(x=64\),     (b)  \(x=6\),     (c)  \(x=-5\)
23. Reši enačbe v \(\mathrm{I\!R}\) (če se da):
    

    (a)    \(\sqrt[\scriptstyle3]{x-2}-2=0\)

    (b)    \(\sqrt[\scriptstyle4]{2x-5}+3=0\)

    (c)    \({\displaystyle5-\sqrt{\frac{x+3}{2}}=0}\)

    Rešitev:    (a)  \(x=10\),     (b)  enačba ni rešljiva v \(\mathrm{I\!R}\),     (c)  \(x=47\)
24. Reši enačbe v \(\mathrm{I\!R}\) (če se da):
    

    (a)    \(\big(1+\sqrt[\scriptstyle3]{x+2}\big)^3=27\)

    (b)    \(\sqrt[\scriptstyle3]{(x-2)^4-17}=4\)

    (c)    \(\sqrt{(x-4)^3-2}=5\)

    (d)    \(\sqrt[\scriptstyle3]{44+\big(x-5\big)^4~}=5\)

    Rešitev:    (a)  \(x=6\),     (b)  \(x_1=5,~ x_2=-1\),     (c)  \(x=7\),     (d)  \(x_1=2,~ x_2=8\)
25. Reši enačbe v \(\mathrm{I\!R}\) (če se da):
    

    (a)    \(\displaystyle(\sqrt[\scriptstyle3]{x}-7)^2=9\)

    (b)    \(\sqrt[\scriptstyle3]{20+\sqrt{(x-1)^2-15~}~}=3\)

    (c)    \(6+2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{4+\sqrt{(2x-5)^2+7}~}=10\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=64,~ x_2=1000\),     (b)  \(x_1=9,~ x_2=-7\),     (c)  \(x_1=1,~ x_2=4\)
26. Reši enačbe v \(\mathrm{I\!R}\) (če se da):
    

    (a)    \(\displaystyle\frac{4+\sqrt[\scriptstyle5]{5x-3}}{2}=3\)

    (b)    \(\displaystyle\frac{1+2\,\sqrt{(x-4)^3+1}}{7}=1\)

    (c)    \({\displaystyle\frac{1+\sqrt{4+\sqrt[\scriptstyle3]{2x+5}}}{4}=1}\)

    Rešitev:    (a)  \(x=7\),     (b)  \(x=6\),     (c)  \(x=60\)
27. Reši enačbe v \(\mathrm{I\!R}\) (če se da):
    

    (a)    \(\sqrt{x^2-5}=x-1\)

    (b)    \(x+\sqrt{x^2-6x}=2\)

    (c)    \(x+\sqrt{2x+1}=1\)

    (d)    \(3+\sqrt{2x+2}=x\)

    Rešitev:    (a)  \(x=3\),     (b)  \(x=-2\),     (c)  \(x=0\),     (d)  \(x=7\)
28. Reši enačbe v \(\mathrm{I\!R}\) (če se da):
    

    (a)    \(1+\sqrt{2x+10}=-x\)

    (b)    \(\sqrt{2x+16}=x+4\)

    (c)    \(\sqrt{x-3}+5=x\)

    (d)    \(\displaystyle\frac{x-\sqrt{x}}{3}=2\)

    Rešitev:    (a)  \(x=-3\),     (b)  \(x=0\),     (c)  \(x=7\),     (d)  \(x=9\)
29. Reši enačbe v \(\mathrm{I\!R}\) (če se da):
    

    (a)    \(\sqrt[\scriptstyle3]{3x^2+4x-12}=x\)

    (b)    \(\sqrt[\scriptstyle3]{x^2-1}=x-1\)

    (c)    \(1+\sqrt[\scriptstyle3]{x^3-4x^2+39}=x\)

    (d)    \(\displaystyle\frac{1-\sqrt[\scriptstyle3]{21x-62}}{x-3}=-1\)

    Rešitev:    (a)  \(x_1=-2,~x_2=2,~x_3=3\),     (b)  \(x_1=0,~x_2=1,~x_3=3\),     (c)  \(x_1=-8,~x_2=5\),     (d)  \(x_1=-3,~x_2=6\)
30. Reši enačbo:  \(\sqrt{x}-2=\sqrt[\scriptstyle3]{13\sqrt{x}-14}\)
    Rešitev:    \(x_1=1,~ x_2=36\)    (Namig: Uvedi novo neznanko \(t=\sqrt{x}\).)

Grafi in transformacije grafov

31. Nariši v istem koordinatnem sistemu grafe funkcij:
    

    (a)    \(f_1(x)=x^2\)

    (b)    \(f_2(x)=\frac{1}{2}x^2\)

    (c)    \(f_3(x)=\frac{1}{2}x^2-3\)

32. Nariši graf funkcije:   \(f(x)=(x-3)^3+2\)
33. Nariši graf funkcije:   \(f(x)=2-(x+1)^3\)
34. Nariši graf funkcije:   \({\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-3}}\)
35. Nariši graf funkcije:   \({\displaystyle f(x)=2-\frac{1}{x^2}}\)
36. Nariši graf funkcije:   \(f(x)=2\cdot\sqrt[\scriptstyle3]{x+2}+1\)
37. Nariši graf funkcije:   \(f(x)=\sqrt{2x+8}\)
38. Nariši graf funkcije:   \(f(x)=\sqrt{4-x}\)
39. V spodnjem koordinatnem sistemu je narisan graf funkcije \(y=f(x)\). Nariši še naslednje grafe:
    

    (a)    \(y=\frac{1}{2} f(x)\)

    (b)    \(y=f(-x)\)

    (c)    \(y=1-f(x)\)

    
40. Spodaj je narisan graf funkcije \(y=f(x)\). V isti koordinatni sistem nariši še graf funkcije:
    

        \(g(x)=f(2x+6)-2\)

    

 Domov