Kompleksna števila

Računaje s kompleksnimi števili

1. Izračunaj naslednje račune v množici \(\mathbb{C}\):
   

   (a)    \(5+2i+(3-4i)i+\sqrt{-9}\)

   (b)    \({\displaystyle \frac{14+8i}{3-2i}+(5-2i)^2+i^7}\)

   (c)    \((\sqrt{5}+2i)^3+|7-14i|+2i^{-25}\)

   (d)    \({\displaystyle\frac{\frac{2}{i}+26}{5-\frac{2}{i+1}}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=9+8i\),     (b)  \(\cdots=23-17i\),     (c)  \(\cdots=20i\),     (d)  \(\cdots=6-2i\)
2. Izračunaj v \(\mathbb{C}\):
   

   (a)    \((\sqrt{7}-i)^4\)

   (b)    \((1+2i)^8\)

   (c)    \({\displaystyle\Big(\frac{1+i}{1-i}\Big)^{1234} }\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=8-24i\sqrt{7}\),     (b)  \(\cdots=-527+336i\),     (c)  \(\cdots=-1\)
3. Dani sta kompleksni števili \(z=24-7i\) in \(w=4+3i\). Izračunaj:
   

   (a)    \(\overline{z\,}\,w\)

   (b)    \({\displaystyle\frac{z}{i}+w^2}\)

   (c)    \({\displaystyle \frac{z}{w^2}}\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=75+100i\),     (b)  \(\cdots=0\),     (c)  \(\cdots=-i\)
4. Dani sta kompleksni števili \(z=24-7i\) in \(w=4+3i\). Izračunaj:
   

   (a)    \(|z|+|w|\)

   (b)    \(|z+w|\)

   (c)    \(|zw^{-1}|\)

   Rešitev:    (a)  \(\cdots=30\),     (b)  \(\cdots=20\sqrt{2}\),     (c)  \(\cdots=5\)
5. Brez kalkulatorja izračunaj vrednost izraza:  \({\displaystyle \frac{|6-8i|}{1+i}+\frac{6-8i}{1-i}+\left(i+\sqrt{3}\right)^3}\)
   Rešitev:    \(\cdots=12+2i\)
6. Brez kalkulatorja izračunaj vrednost izraza:  \({\displaystyle\frac{2-\frac{1}{1-i}}{|2-i\sqrt{5}|-i^{2017}}}\)
   Rešitev:    \(\cdots=\frac{1}{2}\)
7. Izračunaj v \(\mathbb{C}\):  \(\displaystyle\left(\frac{15}{3-4i}-\frac{4-8i}{|3-4i|}\right)^2\)
   Rešitev:    \(\cdots=(1+4i)^2=-15+8i\)
8. Izračunaj v \(\mathbb{C}\):  \(\displaystyle |8-6i|\cdot(2+i)^{-1}+\left(\frac{i^2+i}{i}\right)^2\)
   Rešitev:    \(\cdots=4\)
9. Dani sta kompleksni števili \(z=12+34i\) in \(w=6-8i\). Izračunaj vrednost izraza:  \(z\,w^{-1}-w\,i+|w|\)
   Rešitev:    \(\cdots=-3i\)
10. Dani sta kompleksni števili \(z=7-9i\) in \(w=-6+7i\). Izračunaj vrednost izraza:  \(\Big(\frac{\textstyle 1}{\textstyle z}+\frac{\textstyle 1}{\textstyle w}\Big)^{-1}\)
    Rešitev:    \(\cdots=(\frac{z+w}{zw})^{-1}=\frac{zw}{z+w}=-37+29i\)
11. Izračunaj \(\mathrm{Re}\,z\) in \(\mathrm{Im}\,z\), če je \({\displaystyle z=\frac{2}{2+i}-\frac{2-i}{i}}\).
    Rešitev:    \(\mathrm{Re}\,z=\frac{9}{5},~~~~ \mathrm{Im}\,z=\frac{8}{5}\)
12. Brez kalkulatorja izračunaj \(|z|\), če veš, da je \(\displaystyle z=\frac{7+5i}{1-2i}+\frac{3-4i}{|3-4i|}\).
    Rešitev:    \(z=3i,~~ |z|=3\)
13. Izračunaj \(|z^2|\) in \(z^{-1}\), če je \({\displaystyle z=\frac{2+2i}{2+i}-1}\).
    Rešitev:    \(|z^2|=\frac{1}{5},~~~~ z^{-1}=1-2i\)
14. Izračunaj kompleksno število \(z\), če veš, da velja:  \(\displaystyle z^{-1}=\frac{i^{39}+|3-4i|}{27+31i}\)
    Rešitev:    \(z=4+7i\)
15. Dano je kompleksno število \(z=(5+mi)(2+i)\). Določi realni parameter \(m\) tako, da bo veljalo:
    

    (a)    \(\mathrm{Re}\,z=3\)

    (b)    \(\mathrm{Im}\,z=13\)

    Rešitev:    (a)  \(m=7\),     (b)  \(m=4\)
16. Dano je kompleksno število \(z=(x-2i)^2+(2-3i)(3-xi)\). Določi realni parameter \(x\) tako, da bo \(z\) imaginarno število.
    Rešitev:    \(x_1=1,~~ x_2=2\)
17. Dano je kompleksno število \(z=i-\sqrt{3}\). Dokaži, da je \(z^6\) realno število.
    Rešitev:    \(z^6=-64 \in\mathrm{I\!R}\)

Množice v kompleksni ravnini

18. Nariši množico točk v kompleksni ravnini:  \(A=\{z\in\mathbb{C};~ \mathrm{Re}\,z\lt3,~ \mathrm{Im}\,z\in[-1,1]\}\)
    Rešitev:
    
    
    

    Večja slika

19. Nariši množico točk v kompleksni ravnini:  \(B=\{z\in\mathbb{C};~ \mathrm{Im}\,z\gt-1,~ |z|\leqslant 3\}\)
    Rešitev:
    
    
    

    Večja slika

20. Nariši množico točk v kompleksni ravnini:  \(C=\{z\in\mathbb{C};~ 2\mathrm{Re}\,z+\mathrm{Im}\,z=1\}\)
    Rešitev:
    
    
    

    Večja slika

21. Nariši množico točk v kompleksni ravnini:  \(D=\{z\in\mathbb{C};~ |z|\in(2,4],~ \mathrm{Im}\,z \gt \mathrm{Re}\,z\}\)
22. Nariši množico točk v kompleksni ravnini:  \(E=\{z\in\mathbb{C};~ \mathrm{Im}\,z\gt \mathrm{Re}\,z,~ \mathrm{Im}\,z\gt-\mathrm{Re}\,z,~ |z|\leqslant3\}\)
23. Nariši množico točk v kompleksni ravnini:  \(\displaystyle F=\left\{z\in\mathbb{C};~ \mathrm{Im}\,z\lt3,~ \frac{\mathrm{Re}\,z}{4}+\frac{\mathrm{Im}\,z}{2}\geqslant1\right\}\)
24. Nariši množico točk v kompleksni ravnini:  \(G=\{z\in\mathbb{C};~ -1\lt\mathrm{Im}\,z\lt 1~ \lor~ |z|\leqslant 3\}\)
25. Nariši množico točk v kompleksni ravnini:  \(H=\{z\in\mathbb{C};~ \mathrm{Im}\,z\in(-1,1) ~\lor~ |z-i|\leqslant 1\}\)

Enačbe s kompleksnimi števili

26. Ugotovi, za katero kompleksno število \(z\) velja enakost:
    

    (a)    \(2z+6i=16\)

    (b)    \(zi+13+i=3(z-6i)\)

    (c)    \(2z^{-1}-i=1\)

    (d)    \({\displaystyle\frac{z}{z-5i}=\frac{z+3i}{z+1}}\)

    Rešitev:    (a)  \(z=8-3i\),     (b)  \(z=2+7i\),     (c)  \(z=1-i\),     (d)  \(z=3-6i\)
27. Ugotovi, za katero kompleksno število \(z\) velja enakost:
    

    (a)    \(2z+3\overline{z\,}=10+6i\)

    (b)    \(3\overline{z\,}-14=(10-z)i\)

    (c)    \((3+2i)z=\overline{z\,}-40+2i\)

    (d)    \((2-i)\,\overline{z\,}-z=i^{2016}-9i\)

    Rešitev:    (a)  \(z=2-6i\),     (b)  \(z=4-2i\),     (c)  \(z=-13+7i\),     (d)  \(z=3+2i\)
28. Reši naslednje enačbe v množici \(\mathbb{C}\):
    

    (a)    \((2-i)\,z+(4\overline{z\,}-11)\,i=0\)

    (b)    \((z+i)\,\overline{z\,}+i=39+4i\)

    (c)    \(z\,\overline{z\,}+(2\,\overline{z\,}-6)\,i=17\)

    (d)    \(\left(\frac{3}{2}+i\right)z-i=\frac{1}{2}\,\overline{z\,}+7\)

    Rešitev:    (a)  \(z=5-2i\),     (b)  \(z_1=3+5i,~ z_2=3-6i\),     (c)  \(z_1=3+2i,~ z_2=3-4i\),     (d)  \(z=5-2i\)
29. Reši naslednje enačbe v množici \(\mathbb{C}\):
    

    (a)    \({\displaystyle\frac{z-19i}{\overline{z\,}-i}=2-i}\)

    (b)    \(\displaystyle\frac{5\,\overline{z\,}-7}{z+13}=i^{\,2023}\)

    (c)    \({\displaystyle\frac{2\,\overline{z\,}-i}{z\,i+7}=1}\)

    (d)    \({\displaystyle\frac{7\,\overline{z\,}-5\,i\,z}{3-i}=9}\)

    Rešitev:    (a)  \(z=5+4i\),     (b)  \(z=2+3i\),     (c)  \(z=5-3i\),     (d)  \(z=6-3i\)
30. Reši naslednje enačbe v množici \(\mathbb{C}\):
    

    (a)    \(|z|=z+2+8i\)

    (b)    \(|z|=(z+8)i+16\)

    (c)    \(|z|^2+z^2=18-24i\)

    (d)    \(|z|^2=z+24+2i\)

    Rešitev:    (a)  \(z=15-8i\),     (b)  \(z=-8+6i\),     (c)  \(z_1=3-4i,~ z_2=-3+4i\),     (d)  \(z_1=5-2i,~ z_2=-4-2i\)
31. Izračunaj \(z^{-1}\), če veš, da je \(z\) kompleksno število, za katero velja:  \((13-11i)\,z=3-i\)
    Rešitev:    \(z^{-1}=5-2i\)
32. Izračunaj \(z^{-2}\), če veš, da je \(z\) kompleksno število, za katero velja:  \((2z+1)i=z\)
    Rešitev:    \(z^{-2}=3+4i\)
33. Izračunaj \(|z|\), če veš, da je \(z\) kompleksno število, za katero velja:  \(2z+\overline{z\,}i+i^{2017}=22\)
    Rešitev:    \(|z|=17\)

Razcepljanje izrazov v množici kompleksnih števil

34. Razcepi v množici \(\mathbb{C}\) naslednje izraze:
    

    (a)    \(x^2+9\)

    (b)    \(x^4+4x^2\)

    (c)    \(x^3+2x\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=(x+3i)(x-3i)\),     (b)  \(\cdots=x^2(x+2i)(x-2i)\),     (c)  \(\cdots=x(x+i\sqrt{2})(x-i\sqrt{2})\)
35. Razcepi v \(\mathbb{C}\) naslednje izraze:
    

    (a)    \((x+3)^2+4\)

    (b)    \((x^2-10x+25)+9\)

    (c)    \(x^2-6x+10\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=(x+3+2i)(x+3-2i)\),     (b)  \(\cdots=(x-5+3i)(x-5-3i)\),     (c)  \(\cdots=(x-3+i)(x-3-i)\)
36. Razcepi v \(\mathbb{C}\) naslednje izraze:
    

    (a)    \(x^3-6x^2+x-6\)

    (b)    \(x^4+8x^2-9\)

    (c)    \(x^5+2x^4+2x^3+4x^2-8x-16\)

    Rešitev:    (a)  \(\cdots=(x-6)(x+i)(x-i)\),     (b)  \(\cdots=(x+1)(x-1)(x+3i)(x-3i)\),     (c)  \(\cdots=(x+2)(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x+2i)(x-2i)\)

 Domov