Kompleksna števila

1. Izračunaj naslednje račune v množici $\mathbb{C}$:
   

   (a)    $5+2i+(3-4i)i+\sqrt{-9}$

   (b)    ${\displaystyle \frac{14+8i}{3-2i}+(5-2i{)}^2+i^7}$

   (c)    $(\sqrt{5}+2i{)}^3+|7-14i|+2i^{-25}$

   (d)    ${\displaystyle \frac{\frac{2}{i}+26}{5-\frac{2}{i+1}}}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =9+8i$,     (b)  $\cdots =23-17i$,     (c)  $\cdots =20i$,     (d)  $\cdots =6-2i$
2. Izračunaj v $\mathbb{C}$:
   

   (a)    $(\sqrt{7}-i{)}^4$

   (b)    $(1+2i{)}^8$

   (c)    ${\displaystyle (\frac{1+i}{1-i}{)}^{1234}}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =8-24i\sqrt{7}$,     (b)  $\cdots =-527+336i$,     (c)  $\cdots =-1$
3. Dani sta kompleksni števili $z=24-7i$ in $w=4+3i$. Izračunaj:
   

   (a)    $\bar{z}w$

   (b)    ${\displaystyle \frac{z}{i}+w^2}$

   (c)    ${\displaystyle \frac{z}{w^2}}$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =75+100i$,     (b)  $\cdots =0$,     (c)  $\cdots =-i$
4. Dani sta kompleksni števili $z=24-7i$ in $w=4+3i$. Izračunaj:
   

   (a)    $|z|+|w|$

   (b)    $|z+w|$

   (c)    $|z{w}^{-1}|$

   Rešitev:    (a)  $\cdots =30$,     (b)  $\cdots =20\sqrt{2}$,     (c)  $\cdots =5$
5. Izračunaj $\mathrm{Re}z$ in $\mathrm{Im}z$, če je ${\displaystyle z=\frac{2}{2+i}-\frac{2-i}{i}}$.
   Rešitev:    $\mathrm{Re}z=\frac{9}{5},\mathrm{Im}z=\frac{8}{5}$
6. Izračunaj $|z^2|$ in $z^{-1}$, če je ${\displaystyle z=\frac{2+2i}{2+i}-1}$.
   Rešitev:    $|z^2|=\frac{1}{5},z^{-1}=1-2i$
7. Dano je kompleksno število $z=(5+mi)(2+i)$. Določi realni parameter $m$ tako, da bo veljalo:
   

   (a)    $\mathrm{Re}z=3$

   (b)    $\mathrm{Im}z=13$

   Rešitev:    (a)  $m=7$,     (b)  $m=4$
8. Dano je kompleksno število $z=(x-2i{)}^2+(2-3i)(3-xi)$. Določi realni parameter $x$ tako, da bo $z$ imaginarno število.
   Rešitev:    $x_1=1,x_2=2$
9. Dano je kompleksno število $z=i-\sqrt{3}$. Dokaži, da je $z^6$ realno število.
   Rešitev:    $z^6=-64\in \mathrm{I}\mathrm{R}$
10. Nariši množico točk v kompleksni ravnini:  $A=\{z\in \mathbb{C};\mathrm{Re}z<3,\mathrm{Im}z\in [-1,1]\}$
    Rešitev:
    
    
    

    Večja slika

11. Nariši množico točk v kompleksni ravnini:  $B=\{z\in \mathbb{C};\mathrm{Im}z>-1,|z|⩽3\}$
    Rešitev:
    
    
    

    Večja slika

12. Nariši množico točk v kompleksni ravnini:  $M=\{z\in \mathbb{C};2\mathrm{Re}z+\mathrm{Im}z=1\}$
    Rešitev:
    
    
    

    Večja slika

13. Ugotovi, za katero kompleksno število $z$ velja enakost:
    

    (a)    $2z+6i=16$

    (b)    $zi+13+i=3(z-6i)$

    (c)    $2z^{-1}-i=1$

    (d)    ${\displaystyle \frac{z}{z-5i}=\frac{z+3i}{z+1}}$

    Rešitev:    (a)  $z=8-3i$,     (b)  $z=2+7i$,     (c)  $z=1-i$,     (d)  $z=3-6i$
14. Reši naslednje enačbe v množici $\mathbb{C}$:
    

    (a)    $2z+3\bar{z}=10+6i$

    (b)    $3\bar{z}-14=(10-z)i$

    (c)    $(3+2i)z=\bar{z}-40+2i$

    (d)    ${\displaystyle \frac{z-19i}{\bar{z}-i}=2-i}$

    Rešitev:    (a)  $z=2-6i$,     (b)  $z=4-2i$,     (c)  $z=-13+7i$,     (d)  $z=5+4i$
15. Reši naslednje enačbe v množici $\mathbb{C}$:
    

    (a)    $|z|=z+2+8i$

    (b)    $|z|=(z+8)i+16$

    (c)    $|z{|}^2+z^2=18-24i$

    (d)    $|z{|}^2=z+24+2i$

    Rešitev:    (a)  $z=15-8i$,     (b)  $z=-8+6i$,     (c)  $z_1=3-4i,z_2=-3+4i$,     (d)  $z_1=5-2i,z_2=-4-2i$
16. Razcepi v $\mathbb{C}$ naslednje izraze:
    

    (a)    $x^2+9$

    (b)    $x^4+4x^2$

    (c)    $x^3+2x$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =(x+3i)(x-3i)$,     (b)  $\cdots =x^2(x+2i)(x-2i)$,     (c)  $\cdots =x(x+i\sqrt{2})(x-i\sqrt{2})$
17. Razcepi v $\mathbb{C}$ naslednje izraze:
    

    (a)    $(x+3{)}^2+4$

    (b)    $(x^2-10x+25)+9$

    (c)    $x^2-6x+10$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =(x+3+2i)(x+3-2i)$,     (b)  $\cdots =(x-5+3i)(x-5-3i)$,     (c)  $\cdots =(x-3+i)(x-3-i)$
18. Razcepi v $\mathbb{C}$ naslednje izraze:
    

    (a)    $x^3-6x^2+x-6$

    (b)    $x^4+8x^2-9$

    (c)    $x^5+2x^4+2x^3+4x^2-8x-16$

    Rešitev:    (a)  $\cdots =(x-6)(x+i)(x-i)$,     (b)  $\cdots =(x+1)(x-1)(x+3i)(x-3i)$,     (c)  $\cdots =(x+2)(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x+2i)(x-2i)$

 Domov