Vektorji v prostoru

1. Podana je kocka $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.$$ Točka $T$ je razpolovišče roba $A{A}^{\prime }$. V tej kocki so podani vektorji $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=\stackrel{\rightharpoonup }{BC}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=\stackrel{\rightharpoonup }{C{C}^{\prime }}$. Izrazi naslednje vektorje z vektorji $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$:
   

   (a)    $\stackrel{\rightharpoonup }{A{C}^{\prime }}$

   (b)    $\stackrel{\rightharpoonup }{DB}$

   (c)    $\stackrel{\rightharpoonup }{A^{\prime }C}$

   (d)    $\stackrel{\rightharpoonup }{TB}$

   (e)    $\stackrel{\rightharpoonup }{T{C}^{\prime }}$

   (f)    $\stackrel{\rightharpoonup }{DT}$

   Rešitev:    (a)  $\stackrel{\rightharpoonup }{A{C}^{\prime }}=\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{b}+\stackrel{\rightharpoonup }{c}$,     (b)  $\stackrel{\rightharpoonup }{DB}=\stackrel{\rightharpoonup }{a}-\stackrel{\rightharpoonup }{b}$,     (c)  $\stackrel{\rightharpoonup }{A^{\prime }C}=\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{b}-\stackrel{\rightharpoonup }{c}$,     (d)  $\stackrel{\rightharpoonup }{TB}=\stackrel{\rightharpoonup }{a}-\frac{1}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{c}$,     (e)  $\stackrel{\rightharpoonup }{T{C}^{\prime }}=\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{b}+\frac{1}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{c}$,     (f)  $\stackrel{\rightharpoonup }{DT}=-\stackrel{\rightharpoonup }{b}+\frac{1}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{c}$
2. Dana sta vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(2,7,10)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=2\stackrel{\rightharpoonup }{ı}-\stackrel{\rightharpoonup }{k}$. Zapiši (s koordinatami) vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=2\stackrel{\rightharpoonup }{a}-3\stackrel{\rightharpoonup }{b}$. Izračunaj tudi dolžino vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$.
   Rešitev:    $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(-2,14,23),|\stackrel{\rightharpoonup }{c}|=27$
3. Trikotnik ima oglišča $A(1,10,4),B(11,-2,6)$ in $C(12,7,-1)$. Izračunaj dolžino težiščnice na $c$ in koordinate težišča tega trikotnika.
   Rešitev:    $t_c=9,T(8,5,3)$
4. Točki $A(-4,3,1)$ in $B(26,18,-44)$ sta krajišči daljice $AB$. Točka $U$ leži na tej daljici in jo deli v razmerju $|AU|:|UB|=2:3$. Zapiši koordinate točke $U$.
   Rešitev:    $U(8,9,-17)$
5. Točki $A(-4,3,1)$ in $B(26,18,-44)$ sta krajišči daljice $AB$. Točka $V$ leži na tej daljici in jo deli v razmerju $|AV|:|AB|=2:3$. Zapiši koordinate točke $V$.
   Rešitev:    $V(16,13,-29)$
6. Dan je vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(12,-15,-16)$. Zapiši s koordinatami vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$, ki ima isto smer kot vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$, njegova dolžina pa meri 100 enot.
   Rešitev:    $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(48,-60,-64)$
7. Ugotovi, ali sta vektorja kolinearna:
   

   (a)    $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(2,-1,8)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(-4,-2,4)$

   (b)    $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(6,8,-4)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{d}=(9,12,-6)$

   (c)    $\stackrel{\rightharpoonup }{e}=(18,0,-15)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{f}=(-24,0,20)$

   (d)    $\stackrel{\rightharpoonup }{g}=(0,4,-3)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{h}=(-3,-8,0)$

   Rešitev:    (a)  Ne.     (b)  Da, $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=\frac{2}{3}\stackrel{\rightharpoonup }{d}$.     (c)  Da, $\stackrel{\rightharpoonup }{e}=-\frac{3}{4}\stackrel{\rightharpoonup }{f}$.     (d)  Ne.
8. Ugotovi, ali so vektorji koplanarni:
   

   (a)    $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(1,3,-1),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(2,-1,3),\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(3,-5,7)$

   (b)    $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(2,-4,-1),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(4,-7,2),\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(-2,2,8)$

   Rešitev:    (a)  Da, $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=-\stackrel{\rightharpoonup }{a}+2\stackrel{\rightharpoonup }{b}$.     (b)  Ne.
9. Dani so vektorji $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(-2,3,1),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(4,-2,7)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(2,5,\lambda )$. Določi realni parameter $\lambda$ tako, da bodo vektorji ležali v isti ravnini (če se da).
   Rešitev:    $\lambda =17,\stackrel{\rightharpoonup }{c}=3\stackrel{\rightharpoonup }{a}+2\stackrel{\rightharpoonup }{b}$
10. Zapiši vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$ kot linearno kombinacijo vektorjev $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$, če se da:
    

    (a)    $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(5,2,-3),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(7,4,-2),\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(4,-2,-9)$

    (b)    $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(1,1,1),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(2,2,2),\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(1,2,3)$

    Rešitev:    (a)  Se da: $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=5\stackrel{\rightharpoonup }{a}-3\stackrel{\rightharpoonup }{b}$.     (b)  Se ne da.
11. Dani so vektorji $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(5,3,1),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(2,-6,3),\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(1,2,4)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{d}=(9,-6,-7)$. Zapiši vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{d}$ kot linearno kombinacijo vektorjev $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$, če se da.
    Rešitev:    $\stackrel{\rightharpoonup }{d}=2\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{b}-3\stackrel{\rightharpoonup }{c}$
12. Vektorji $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$ so neodvisni, med njimi pa velja zveza:   $u\stackrel{\rightharpoonup }{a}+u\stackrel{\rightharpoonup }{b}+w\stackrel{\rightharpoonup }{b}+(w+2v)\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(v+2)\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{b}+2\stackrel{\rightharpoonup }{c}$.   Izračunaj števila $u,v$ in $w$.
    Rešitev:    $u=5,v=3,w=-4$
13. Izračunaj kot med vektorjema $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\frac{1}{4}\stackrel{\rightharpoonup }{ı}+2\stackrel{\rightharpoonup }{ȷ}-\stackrel{\rightharpoonup }{k}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=3\stackrel{\rightharpoonup }{ı}+\frac{1}{4}\stackrel{\rightharpoonup }{ȷ}+3\stackrel{\rightharpoonup }{k}$. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\phi \doteq {100}^{\circ }{33}^{\prime }$
14. Trikotnik ima oglišča v točkah $A(1,5,6),B(8,4,-3)$ in $C(5,3,-1)$. Izračunaj največji kot v tem trikotniku. Zapiši ga v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\gamma \doteq {140}^{\circ }{33}^{\prime }$
15. Dan je vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{f}=(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$. Izračunaj kot, ki ga ta vektor oklepa z aplikatno osjo.
    Rešitev:    $\phi ={45}^{\circ }$
16. Kvader $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ima osnovna robova $a=|AB|=12\mathrm{cm},b=|BC|=4\mathrm{cm}$ in višino $v=|A{A}^{\prime }|=5\mathrm{cm}$. Točka $T$ leži na daljici $AB$ in jo deli v razmerju $|AT|:|TB|=2:1$. Izračunaj kot med vektorjema $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\stackrel{\rightharpoonup }{T{A}^{\prime }}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=\stackrel{\rightharpoonup }{T{C}^{\prime }}$. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\phi \doteq {95}^{\circ }{38}^{\prime }$
17. Paralelogram $ABCD$ ima podana tri oglišča: $A(1,1,14),B(7,6,4)$ in $C(9,5,6)$. Zapiši koordinate oglišča $D$. Izračunaj kot med stranico $a$ in daljšo diagonalo tega paralelograma. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $D(3,0,16)$, daljša je diagonala $f$, ki oklepa s stranico $a$ kot $\phi \doteq {11}^{\circ }{37}^{\prime }$.
18. Dana sta vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(3,-6,6)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(-4,8,m)$. Določi realni parameter $m$ tako, da bosta vektorja:
    

    (a)    vzporedna,

    (b)    pravokotna,

    (c)    enako dolga,

    (d)    koplanarna.

    Rešitev:    (a)  $m=-8$,     (b)  $m=10$,     (c)  $m_1=1,m_2=-1$,     (d)  $\mathrm{\forall }m\in \mathrm{I}\mathrm{R}$ (dva vektorja sta vedno koplanarna.)
19. Določi realni parameter $m$ tako, da bosta vektorja pravokotna:
    

    (a)    $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(3,-4,2)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(6,8,m)$

    (b)    $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(m,2m+1,1)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(m+1,-3,7)$

    Rešitev:    (a)  $m=7$,     (b)  $m_1=1,m_2=4$
20. Trikotnik ima oglišča $A(2,-1,4),B(6,1,7)$ in $C(-3,6,m)$. Določi realni parameter $m$ tako, da bo kot $\alpha$ v tem trikotniku meril ${90}^{\circ }$.
    Rešitev:    $m=6$

Vektorski produkt

21. Izračunaj vektorski produkt naslednjih dveh vektorjev:
    

    (a)   $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(3,2,5)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(4,1,7)$

    (b)   $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(-1,0,3)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{d}=(0,5,2)$

    (c)   $\stackrel{\rightharpoonup }{e}=\stackrel{\rightharpoonup }{ı}+2\stackrel{\rightharpoonup }{ȷ}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{f}=2\stackrel{\rightharpoonup }{k}-\stackrel{\rightharpoonup }{ı}$

    Rešitev:    (a)  $\stackrel{\rightharpoonup }{a}\times \stackrel{\rightharpoonup }{b}=(9,-1,-5)$,     (b)  $\stackrel{\rightharpoonup }{c}\times \stackrel{\rightharpoonup }{d}=(-15,2,-5)$,     (c)  $\stackrel{\rightharpoonup }{e}\times \stackrel{\rightharpoonup }{f}=(4,-2,2)$
22. Izračunaj ploščino paralelograma $ABCD$, če poznaš vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=(10,7,2)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{AD}=(2,-6,5)$.
    Rešitev:    $S=|\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\times \stackrel{\rightharpoonup }{AD}|=99$
23. Štirikotnik $ABCD$ ima oglišča $A(3,1,-2),B(10,3,2),C(12,0,8)$ in $D(5,-2,4)$.
    

    (a)   Dokaži, da je to paralelogram.

    (b)   Izračunaj obseg in ploščino tega paralelograma (na štiri mesta natančno).

    Rešitev:    (a)  Zadostuje, če dokažeš, da je $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=\stackrel{\rightharpoonup }{DC}$;     (b)  obseg: $o\doteq 30,61$,   ploščina: $S\doteq 48,55$
24. Izračunaj ploščino trikotnika z oglišči $A(2,3,2),B(11,7,1)$ in $C(3,7,-1)$.
    Rešitev:    $S=21$
25. Izračunaj ploščino trikotnika z oglišči $A(7,2),B(9,5)$ in $C(1,8)$.
    Rešitev:    $S=15$
26. Izračunaj prostornino paralelepipeda $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, če poznaš vektorje, ki ležijo na njegovih robovih: $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=(7,-1,2),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=\stackrel{\rightharpoonup }{AD}=(6,2,3)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=\stackrel{\rightharpoonup }{A{A}^{\prime }}=(-2,1,8)$.
    Rešitev:    $V=|(\stackrel{\rightharpoonup }{a}\times \stackrel{\rightharpoonup }{b})\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{c}|=165$
27. Tristrana piramida ima oglišča v točkah $A(-2,5,6),B(7,8,7),C(1,12,11)$ in $D(4,16,10)$.
    

    (a)   Izračunaj prostornino te piramide.

    (b)   Izračunaj površino te piramide (na štiri mesta natančno).

    Rešitev:    (a)  Prostornina: $V=33$;     (b)  površina: $P\doteq 115,3$

 Domov