Domov

Vektorji v prostoru

Linearne kombinacije vektorjev

  1. Razstavljanje vektorjev Podana je kocka \(ABCDA'B'C'D'\).\(\newcommand{\vekt}[1]{{\stackrel{\rightharpoonup}{{#1\,}}}}\) Točka \(T\) je razpolovišče roba \(AA'\). V tej kocki so podani vektorji \(\vekt{a}=\vekt{AB}\), \(\vekt{b}=\vekt{BC}\) in \(\vekt{c}=\vekt{CC'}\). Izrazi naslednje vektorje z vektorji \(\vekt{a}\), \(\vekt{b}\) in \(\vekt{c}\):

    (a)    \(\vekt{AC'}\)

    (b)    \(\vekt{DB}\)

    (c)    \(\vekt{A'C}\)

    (d)    \(\vekt{TB}\)

    (e)    \(\vekt{TC'}\)

    (f)    \(\vekt{DT}\)

    Rešitev:    (a)  \(\vekt{AC'}=\vekt{a}+\vekt{b}+\vekt{c}\),     (b)  \(\vekt{DB}=\vekt{a}-\vekt{b}\),     (c)  \(\vekt{A'C}=\vekt{a}+\vekt{b}-\vekt{c}\),     (d)  \(\vekt{TB}=\vekt{a}-\frac{1}{2}\!\vekt{c}\),     (e)  \(\vekt{TC'}=\vekt{a}+\vekt{b}+\frac{1}{2}\!\vekt{c}\),     (f)  \(\vekt{DT}=-\!\vekt{b}+\frac{1}{2}\!\vekt{c}\)
  2. Dana sta vektorja \(\vekt{a}=(2,7,10)\) in \(\vekt{b}=2\vekt{\imath}-\vekt{k}\). Zapiši (s koordinatami) vektor \(\vekt{c}=2\vekt{a}-3\!\vekt{b}\). Izračunaj tudi dolžino vektorja \(\vekt{c}\).
    Rešitev:    \(\vekt{c}=(-2,14,23),~~ |\vekt{c}|=27\)
  3. Trikotnik ima oglišča \(A(1,10,4),~ B(11,-2,6)\) in \(C(12,7,-1)\). Izračunaj dolžino težiščnice na \(c\) in koordinate težišča tega trikotnika.
    Rešitev:    \(t_c=9,~~ T(8,5,3)\)
  4. Točki \(A(-4,3,1)\) in \(B(26,18,-44)\) sta krajišči daljice \(AB\). Točka \(U\) leži na tej daljici in jo deli v razmerju \(|AU|:|UB|=2:3\). Zapiši koordinate točke \(U\).
    Rešitev:    \(U(8,9,-17)\)
  5. Točki \(A(-4,3,1)\) in \(B(26,18,-44)\) sta krajišči daljice \(AB\). Točka \(V\) leži na tej daljici in jo deli v razmerju \(|AV|:|AB|=2:3\). Zapiši koordinate točke \(V\).
    Rešitev:    \(V(16,13,-29)\)
  6. Točki \(U(-2,1,3)\) in \(V(8,6,-7)\) sta krajišči daljice \(UV\). Izračunaj koordinate točk \(E,~ F,~ G\) in \(H\), ki delijo daljico \(UV\) na pet skladnih odsekov.
    Rešitev:    \(E(0,2,1),~ F(2,3,-1),~ G(4,4,-3),~ H(6,5,-5)\)
  7. Dani sta točki \(A(9,15,13)\) in \(B(25,3,33)\).

    (a)   Na daljici \(AB\) leži točka \(T\) z lastnostjo \(|AT|:|TB|=1:3\).

    (b)   Na isti premici, a ne na daljici \(AB\), leži točka \(U\) z lastnostjo \(|AU|:|UB|=1:3\).

    Zapiši točki \(T\) in \(U\) s koordinatami.
    Rešitev:    (a)  \(T(13,12,18)\),     (b)  \(U(1,21,3)\)
  8. Paralelogram \(ABCD\) ima oglišča v točkah \(B(5,2,3),~ C(7,6,2),~ D(1,8,1)\). Izračunaj koordinate oglišča \(A\) in koordinate presečišča diagonal (\(S\)).
    Rešitev:    \(A(-1,4,2),~ S(3,5,2)\)
  9. Dane so točke \(A(2,-1,-1)\), \(B(18,1,7)\), \(C(11,5,2)\) in \(D(3,4,-2)\).

    (a)   Dokaži, da je štirikotnik \(ABCD\) trapez.

    (b)   Izračunaj koordinate presečišča diagonal tega trapeza. (Opozorilo: Diagonali trapeza se ne razpolavljata.)

    Rešitev:    (a)  \(\vekt{AB}=2\cdot\vekt{DC}\), torej je to trapez.     (b)  \(S(8,3,1)\)    (Osnovnici sta v razmerju \(2:1\), torej točka \(S\) deli vsako od diagonal v razmerju \(2:1\).)
  10. Dan je vektor \(\vekt{a}=(12,-15,-16)\). Zapiši s koordinatami vektor \(\vekt{b}\), ki ima isto smer kot vektor \(\vekt{a}\), njegova dolžina pa meri 100 enot.
    Rešitev:    \(\vekt{b}=(48,-60,-64)\)
  11. Ugotovi, ali sta vektorja kolinearna:

    (a)    \(\vekt{a}=(2,-1,8)\) in \(\vekt{b}=(-4,-2,4)\)

    (b)    \(\vekt{c}=(6,8,-4)\) in \(\vekt{d}=(9,12,-6)\)

    (c)    \(\vekt{e}=(18,0,-15)\) in \(\vekt{f}=(-24,0,20)\)

    (d)    \(\vekt{g}=(0,4,-3)\) in \(\vekt{h}=(-3,-8,0)\)

    Rešitev:    (a)  Ne.     (b)  Da, \(\vekt{c}=\frac{2}{3}\vekt{d}\).     (c)  Da, \(\vekt{e}=-\frac{3}{4}\vekt{f}\).     (d)  Ne.
  12. Ugotovi, ali so vektorji koplanarni:

    (a)    \(\vekt{a}=(1,3,-1),~ \vekt{b}=(2,-1,3),~ \vekt{c}=(3,-5,7)\)

    (b)    \(\vekt{a}=(2,-4,-1),~ \vekt{b}=(4,-7,2),~ \vekt{c}=(-2,2,8)\)

    Rešitev:    (a)  Da, \(\vekt{c}=-\vekt{a}+2\!\vekt{b}\).     (b)  Ne.
  13. Dani so vektorji \(\vekt{a}=(-2,3,1),~ \vekt{b}=(4,-2,7)\) in \(\vekt{c}=(2,5,\lambda)\). Določi realni parameter \(\lambda\) tako, da bodo vektorji ležali v isti ravnini (če se da).
    Rešitev:    \(\lambda=17,~~ \vekt{c}=3\vekt{a}+2\!\vekt{b}\)
  14. Zapiši vektor \(\vekt{c}\) kot linearno kombinacijo vektorjev \(\vekt{a}\) in \(\vekt{b}\), če se da:

    (a)    \(\vekt{a}=(5,2,-3),~ \vekt{b}=(7,4,-2),~ \vekt{c}=(4,-2,-9)\)

    (b)    \(\vekt{a}=(1,1,1),~ \vekt{b}=(2,2,2),~ \vekt{c}=(1,2,3)\)

    Rešitev:    (a)  Se da: \(\vekt{c}=5\vekt{a}-3\!\vekt{b}\).     (b)  Se ne da.
  15. Dani so vektorji \(\vekt{a}=(5,3,1),~ \vekt{b}=(2,-6,3),~ \vekt{c}=(1,2,4)\) in \(\vekt{d}=(9,-6,-7)\). Zapiši vektor \(\vekt{d}\) kot linearno kombinacijo vektorjev \(\vekt{a},\,\vekt{b}\) in \(\vekt{c}\), če se da.
    Rešitev:    \(\vekt{d}=2\vekt{a}+\vekt{b}-3\vekt{c}\)
  16. Vektorji \(\vekt{a},\,\vekt{b}\) in \(\vekt{c}\) so neodvisni, med njimi pa velja zveza:

        \(u\vekt{a}+u\vekt{b}+w\vekt{b}+(w+2v)\vekt{c}=(v+2)\vekt{a}+\vekt{b}+2\vekt{c}\)

    Izračunaj števila \(u,\, v\) in \(w\).
    Rešitev:    \(u=5,~ v=3,~ w=-4\)
  17. Izračunaj števila \(a,~ b\) in \(c\), če veš, da velja zveza:

        \(a\vekt{\imath}+b\vekt{\jmath}+(c-4)\vekt{k}+c\vekt{\imath}+2a\vekt{k}=b\vekt{\imath}-(3a+5c)\vekt{\jmath}\)

    Rešitev:    \(a=3,~ b=1,~ c=-2\)

Skalarni produkt, dolžina, kot

  1. Dana sta vektorja \(\vekt{a}=(5,10,13)\) in \(\vekt{b}=(-7,1,10)\).

    (a)   Izračunaj skalarni produkt \(\vekt{a}\vekt{b}\).

    (b)   Izračunaj dolžini obeh vektorjev.

    (c)   Izračunaj kot med vektorjema.

    Rešitev:    (a)  \(\vekt{a}\vekt{b}=105\),     (b)  \(|\vekt{a}|=7\sqrt{6}\doteq17,\!15\),  \(|\vekt{b}|=5\sqrt{6}\doteq12,\!25\),     (c)  \(\varphi=60^\circ\)
  2. Izračunaj kot med vektorjema \(\vekt{a}=\frac{1}{4}\!\vekt{\imath}+2\vekt{\jmath}-\vekt{k}\) in \(\vekt{b}=3\vekt{\imath}+\frac{1}{4}\!\vekt{\jmath}+3\!\vekt{k}\). Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\varphi\doteq100^\circ33'\)
  3. Trikotnik ima oglišča v točkah \(A(1,5,6),~ B(8,4,-3)\) in \(C(5,3,-1)\). Izračunaj največji kot v tem trikotniku. Zapiši ga v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\gamma\doteq140^\circ33'\)
  4. Dan je vektor \(\vekt{f}=(1,\sqrt{2},\sqrt{3})\). Izračunaj kot, ki ga ta vektor oklepa z aplikatno osjo.
    Rešitev:    \(\varphi=45^\circ\)
  5. Razstavljanje vektorjev Kvader \(ABCDA'B'C'D'\) ima osnovna robova \(a=|AB|=12~\mathrm{cm},~ b=|BC|=4~\mathrm{cm}\) in višino \(v=|AA'|=5~\mathrm{cm}\). Točka \(T\) leži na daljici \(AB\) in jo deli v razmerju \(|AT|:|TB|=2:1\). Izračunaj kot med vektorjema \(\vekt{a}\,=\,\vekt{TA'}\) in \(\vekt{b}\,=\,\vekt{TC'}\). Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\varphi\doteq95^\circ38'\)
  6. Robovi kvadra \(ABCDA'B'C'D'\) merijo: \(a=10~\mathrm{cm}\), \(b=6~\mathrm{cm}\), \(v=8~\mathrm{cm}\). Izračunaj kot med telesnima diagonalama \(AC'\) in \(BD'\).
    Rešitev:    \(\varphi=90^\circ\)
  7. Paralelogram \(ABCD\) ima podana tri oglišča: \(A(1,1,14),~ B(7,6,4)\) in \(C(9,5,6)\). Zapiši koordinate oglišča \(D\). Izračunaj kot med stranico \(a\) in daljšo diagonalo tega paralelograma. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(D(3,0,16)\), daljša je diagonala \(f\), ki oklepa s stranico \(a\) kot \(\varphi\doteq11^\circ37'\).
  8. Točke \(A(-1,-2,15)\), \(B(3,4,7)\), \(C(11,13,6)\) in \(D(9,10,10)\) so oglišča trapeza \(ABCD\). Izračunaj ostri kot med diagonalama tega trapeza.
    Rešitev:    \(\varphi=45^\circ\)    (Opomba: Presečišča diagonal ni treba računati.)
  9. Dani sta točki \(A(4,-1,2)\) in \(B(m,2,8)\). Določi realni parameter \(m\) tako, da bo \(|\vekt{AB}|=7\).
    Rešitev:    \(m_1=2,~ m_2=6\)
  10. Dana sta vektorja \(\vekt{a}=(3,-6,6)\) in \(\vekt{b}=(-4,8,m)\). Določi realni parameter \(m\) tako, da bosta vektorja:

    (a)   vzporedna,

    (b)   pravokotna,

    (c)   enako dolga,

    (d)   koplanarna.

    Rešitev:    (a)  \(m=-8\),     (b)  \(m=10\),     (c)  \(m_1=1,~ m_2=-1\),     (d)  \(\forall m\in\mathrm{I\!R}\) (dva vektorja sta vedno koplanarna.)
  11. Določi realni parameter \(m\) tako, da bosta vektorja pravokotna:

    (a)    \(\vekt{a}=(3,-4,2)\) in \(\vekt{b}=(6,8,m)\)

    (b)    \(\vekt{a}=(m,2m+1,1)\) in \(\vekt{b}=(m+1,-3,7)\)

    Rešitev:    (a)  \(m=7\),     (b)  \(m_1=1,~ m_2=4\)
  12. Trikotnik ima oglišča \(A(2,-1,4),~ B(6,1,7)\) in \(C(-3,6,m)\). Določi realni parameter \(m\) tako, da bo kot \(\alpha\) v tem trikotniku meril \(90^\circ\).
    Rešitev:    \(m=6\)
  13. Dana sta vektorja \(\vekt{a}=(x,-1,0)\) in \(\vekt{b}=(4,3,5)\). Določi \(x\in\mathrm{I\!R}\) tako, da bosta vektorja oklepala kot \(120^\circ\).
    Rešitev:    \(x=-\frac{1}{7}\)
  14. Vektorja \(\vekt{a}=(11,-10,2)\) in \(\vekt{b}=(2,m,14)\) sta enako dolga, nista pa pravokotna. Določi ustrezno vrednost parametra \(m\) in izračunaj, koliko meri kot med vektorjema (pri tej vrednosti parametra \(m\)). Kot zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(m=-5\),  \(\varphi\doteq63^\circ37'\)    (Pozor: Parameter ne sme biti enak \(5\), sicer bi bila vektorja pravokotna.)

Vektorski produkt

  1. Izračunaj vektorski produkt naslednjih dveh vektorjev:

    (a)   \(\vekt{a}=(3,2,5)\) in \(\vekt{b}=(4,1,7)\)

    (b)   \(\vekt{c}=(-1,0,3)\) in \(\vekt{d}=(0,5,2)\)

    (c)   \(\vekt{e}=\vekt{\imath}+2\vekt{\jmath}\) in \(\vekt{f}=2\vekt{k}-\vekt{\imath}\)

    Rešitev:    (a)  \(\vekt{a}\times\vekt{b}=(9,-1,-5)\),     (b)  \(\vekt{c}\times\vekt{d}=(-15,2,-5)\),     (c)  \(\vekt{e}\times\vekt{f}=(4,-2,2)\)
  2. Dana sta vektorja \(\vekt{a}=(4,6,7)\) in \(\vekt{b}=(3,4,5)\). Vektor \(\vekt{c}\) je pravokoten na vektor \(\vekt{a}\) in tudi na \(\vekt{b}\), njegova dolžina pa je enaka 15. Zapiši vektor \(\vekt{c}\) s koordinatami. Navedi obe možni rešitvi.
    Rešitev:    \(\vekt{c}=(10,5,-10)\) ali pa \((-10,-5,10)\)
  3. Izračunaj ploščino paralelograma \(ABCD\), če poznaš vektorja \(\vekt{AB}\,=(10,7,2)\) in \(\vekt{AD}\,=(2,-6,5)\).
    Rešitev:    \(S=|\vekt{AB}\times\vekt{AD}|=99\)
  4. Štirikotnik \(ABCD\) ima oglišča \(A(3,1,-2),~ B(10,3,2),~ C(12,0,8)\) in \(D(5,-2,4)\).

    (a)   Dokaži, da je to paralelogram.

    (b)   Izračunaj obseg in ploščino tega paralelograma (na štiri mesta natančno).

    Rešitev:    (a)  Zadostuje, če dokažeš, da je \(\vekt{AB}\,=\,\vekt{DC}\);     (b)  obseg: \(o\doteq30,\!61\),   ploščina: \(S\doteq48,\!55\)
  5. Izračunaj ploščino trikotnika z oglišči \(A(2,3,2),~ B(11,7,1)\) in \(C(3,7,-1)\).
    Rešitev:    \(S=21\)
  6. Izračunaj ploščino trikotnika z oglišči \(A(7,2),~ B(9,5)\) in \(C(1,8)\).
    Rešitev:    \(S=15\)
  7. Trikotnik \(\triangle ABC\) ima oglišča \(A(4,0,5)\), \(B(10,12,-7)\) in \(C(7,12,14)\).

    (a)   Izračunaj ploščino tega trikotnika.

    (b)   Izračunaj dolžino višine na \(c\).

    Rešitev:    (a)  \(S=135\);     (b)  \(v_c=15\)
  8. Izračunaj prostornino paralelepipeda \(ABCDA'B'C'D'\), če poznaš vektorje, ki ležijo na njegovih robovih: \(\vekt{a}=\,\vekt{AB}\,=(7,-1,2),~ \vekt{b}=\,\vekt{AD}\,=(6,2,3)\) in \(\vekt{c}=\,\vekt{AA'}\,=(-2,1,8)\).
    Rešitev:    \(V=|(\vekt{a}\times\vekt{b})\,\cdot\vekt{c}|=165\)
  9. Paralelepiped ima oglišča v točkah \(A(1,1,1)\), \(B(8,3,2)\), \(C(11,8,4)\), \(D(4,6,3)\) in \(A'(-1,6,8)\), \(B'(6,8,9)\), \(C'(9,13,11)\), \(D'(2,11,10)\). Izračunaj prostornino tega paralelepipeda.
    Rešitev:    \(V=150\)
  10. Tristrana piramida ima oglišča v točkah \(A(-2,5,6),~ B(7,8,7),~ C(1,12,11)\) in \(D(4,16,10)\).

    (a)   Izračunaj prostornino te piramide.

    (b)   Izračunaj površino te piramide (na štiri mesta natančno).

    Rešitev:    (a)  Prostornina: \(V=33\);     (b)  površina: \(P\doteq115,\!3\)
  11. Ugotovi, ali so naslednji trije vektorji koplanarni:

        \(\vekt{a}=(4,2,5),~~ \vekt{b}=(2,6,3),~~ \vekt{c}=(5,10,7)\)

    Rešitev:    Nalogo lahko rešiš na dva načina:
    (1)  Enega od vektorjev lahko izraziš z ostalima dvema: \(\vekt{c}=\frac{1}{2}\vekt{a}+\frac{3}{2}\vekt{b}\), torej so koplanarni.
    (2)  Lahko pa izračunaš \((\vekt{a}\times\vekt{b})\cdot\vekt{c}\). Ker je rezultat 0, so koplanarni.
Powered by MathJax
Domov

 Domov