Vektorji v ravnini

1. V pravokotniku $ABCD$ točki $U$ in $V$ delita stranico $DC$ na tri skladne dele.$$ V tem pravokotniku sta podana vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=\stackrel{\rightharpoonup }{BC}$. Izrazi naslednje vektorje kot linearne kombinacije vektorjev $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$:
   

   (a)    $\stackrel{\rightharpoonup }{AC}$

   (b)    $\stackrel{\rightharpoonup }{AU}$

   (c)    $\stackrel{\rightharpoonup }{VU}$

   (d)    $\stackrel{\rightharpoonup }{VA}$

   Rešitev:    (a)  $\stackrel{\rightharpoonup }{AC}=\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{b}$,     (b)  $\stackrel{\rightharpoonup }{AU}=\frac{1}{3}\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{b}$,     (c)  $\stackrel{\rightharpoonup }{VU}=-\frac{1}{3}\stackrel{\rightharpoonup }{a}$,     (d)  $\stackrel{\rightharpoonup }{VA}=-\frac{2}{3}\stackrel{\rightharpoonup }{a}-\stackrel{\rightharpoonup }{b}$
2. Podan je pravilni šestkotnik $ABCDEF$. Središče tega šestkotnika je točka $S$. V tem šestkotniku sta podana vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{e}=\stackrel{\rightharpoonup }{SC}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{f}=\stackrel{\rightharpoonup }{SD}$. Izrazi naslednje vektorje z vektorjema $\stackrel{\rightharpoonup }{e}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$:
   

   (a)    $\stackrel{\rightharpoonup }{AC}$

   (b)    $\stackrel{\rightharpoonup }{CD}$

   (c)    $\stackrel{\rightharpoonup }{EC}$

   (d)    $\stackrel{\rightharpoonup }{DA}$

   (e)    $\stackrel{\rightharpoonup }{EA}$

   Rešitev:    (a)  $\stackrel{\rightharpoonup }{AC}=\stackrel{\rightharpoonup }{e}+\stackrel{\rightharpoonup }{f}$,     (b)  $\stackrel{\rightharpoonup }{CD}=-\stackrel{\rightharpoonup }{e}+\stackrel{\rightharpoonup }{f}$,     (c)  $\stackrel{\rightharpoonup }{EC}=2\stackrel{\rightharpoonup }{e}-\stackrel{\rightharpoonup }{f}$,     (d)  $\stackrel{\rightharpoonup }{DA}=-2\stackrel{\rightharpoonup }{f}$,     (e)  $\stackrel{\rightharpoonup }{EA}=\stackrel{\rightharpoonup }{e}-2\stackrel{\rightharpoonup }{f}$
3. V trikotniku $\mathrm{△}ABC$ sta podana vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{u}=\stackrel{\rightharpoonup }{AC}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$. Točka $D$ je razpolovišče stranice $BC$. Zapiši naslednje vektorje v bazi $\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v}$:
   

   (a)    $\stackrel{\rightharpoonup }{CB}$

   (b)    $\stackrel{\rightharpoonup }{BD}$

   (c)    $\stackrel{\rightharpoonup }{AD}$

   Rešitev:    (a)  $\stackrel{\rightharpoonup }{CB}=-\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\stackrel{\rightharpoonup }{v}$,     (b)  $\stackrel{\rightharpoonup }{BD}=\frac{1}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{u}-\frac{1}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{v}$,     (c)  $\stackrel{\rightharpoonup }{AD}=\frac{1}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{u}+\frac{1}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{v}$
4. Vektorje na sliki zapiši s koordinatami:
   
   Rešitev:    $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(5,3)$,     $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(2,5)$,     $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(2,-2)$,     $\stackrel{\rightharpoonup }{d}=(4,-1)$,     $\stackrel{\rightharpoonup }{e}=(0,-4)$
5. V koordinatnem sistemu so podane točke $A(-2,3),B(5,-1)$ in $C(4,5)$. Zapiši s koordinatami vektorje $\stackrel{\rightharpoonup }{AB},\stackrel{\rightharpoonup }{BC}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{CA}$. Nato izračunaj vsoto $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}+\stackrel{\rightharpoonup }{BC}+\stackrel{\rightharpoonup }{CA}$.
   Rešitev:    $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=(7,-4)$,     $\stackrel{\rightharpoonup }{BC}=(-1,6)$,     $\stackrel{\rightharpoonup }{CA}=(-6,-2)$,     $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}+\stackrel{\rightharpoonup }{BC}+\stackrel{\rightharpoonup }{CA}=\stackrel{\rightharpoonup }{0}=(0,0)$
6. Točki $A(2,-3)$ in $B(-6,9)$ sta krajišči daljice $AB$. Zapiši koordinati točke $T$, ki leži na tej daljici in jo deli v razmerju $|AT|:|TB|=1:3$.
   Rešitev:    $T(0,0)$
7. Dani sta točki $A(7,0)$ in $B(-5,2)$. Zapiši koordinate točk $E$ in $F$, ki delita daljico $AB$ na tri skladne dele.
   Rešitev:    $E(3,\frac{2}{3}),F(-1,\frac{4}{3})$
8. Točka $R(3,8)$ leži na daljici $AB$ in jo deli v razmerju $|AR|:|RB|=2:3$. Eno krajišče daljice ima koordinati $A(-7,2)$. Izračunaj koordinati krajišča $B$.
   Rešitev:    $B(18,17)$
9. Podane so koordinate treh oglišč paralelograma $ABCD$:    $A(0,-1),C(12,9)$ in $D(2,7)$. Izračunaj koordinati oglišča $B$.
   Rešitev:    $B(10,1)$
10. V paralelogramu $ABCD$ poznamo oglišči $A(-2,0)$ in $D(0,6)$. Razpolovišče stranice $BC$ je v točki $F(8,5)$. Izračunaj koordinate oglišč $B$ in $C$.
    Rešitev:    $B(7,2),C(9,8)$
11. Štirikotnik $ABCD$ ima oglišča $A(-2,-1),B(7,5),C(3,7)$ in $D(-3,3)$. Zapiši vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{DC}$ ter ugotovi, kakšne vrste štirikotnik je to (paralelogram, trapez, deltoid …).
    Rešitev:    $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=(9,6),\stackrel{\rightharpoonup }{DC}=(6,4)$. Ker je $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=\frac{3}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{DC}$, sta stranici $AB$ in $DC$ vzporedni in različno dolgi. To pomeni, da je ta štirikotnik trapez.
12. Trikotnik ima oglišča $A(-1,6),B(9,8)$ in $C(7,-5)$. Razpolovišče stranice $AB$ označimo $R$, težišče trikotnika pa $T$. Zapiši točki $R$ in $T$ s koordinatami.
    Rešitev:    $R(4,7),T(5,3)$
13. Trikotnik $\mathrm{△}ABC$ ima oglišči $A(-2,3)$ in $B(10,-7)$, težišče trikotnika pa je v točki $T(6,1)$. Zapiši koordinati razpolovišča stranice $AB$. Nato zapiši s koordinatama še tretje oglišče $C$.
    Rešitev:    $R(4,-2),C(10,7)$
14. Podani so vektorji $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(8,15),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(2,10),\stackrel{\rightharpoonup }{c}=\stackrel{\rightharpoonup }{a}+2\stackrel{\rightharpoonup }{b}$.
    

    (a)    Izračunaj dolžino vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$.

    (b)    Zapiši koordinati vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$.

    (c)    Izračunaj dolžino vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$.

    Rešitev:    (a)  $|\stackrel{\rightharpoonup }{a}|=17$,     (b)  $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(12,35)$,     (c)  $|\stackrel{\rightharpoonup }{c}|=37$
15. V standardni ortonormirani bazi sta podana vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=15\stackrel{\rightharpoonup }{ı}+30\stackrel{\rightharpoonup }{ȷ},\stackrel{\rightharpoonup }{b}=27\stackrel{\rightharpoonup }{ı}+25\stackrel{\rightharpoonup }{ȷ}$.
    

    (a)    Izračunaj:   $|\stackrel{\rightharpoonup }{a}-\stackrel{\rightharpoonup }{b}|$

    (b)    Izračunaj:   $|3\stackrel{\rightharpoonup }{a}-2\stackrel{\rightharpoonup }{b}|$

    Rešitev:    (a)  $|\stackrel{\rightharpoonup }{a}-\stackrel{\rightharpoonup }{b}|=13$,     (b)  $|3\stackrel{\rightharpoonup }{a}-2\stackrel{\rightharpoonup }{b}|=41$
16. Računsko preveri, ali sta vektorja odvisna (kolinearna) ali ne:
    

    (a)    $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(5,-2)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(15,-6)$

    (b)    $\stackrel{\rightharpoonup }{e}=(8,-6)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{f}=(12,-4)$

    (c)    $\stackrel{\rightharpoonup }{g}=(12,-16)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{h}=(-9,12)$

    Rešitev:    (a)  Sta odvisna, saj je $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=3\stackrel{\rightharpoonup }{a}$.     (b)  Nista odvisna.     (c)  Sta odvisna, saj je $\stackrel{\rightharpoonup }{h}=-\frac{3}{4}\stackrel{\rightharpoonup }{g}$.
17. Dan je vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(-7,24)$. Zapiši (s koordinatama) vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$, ki ima enako smer in orientacijo kot vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$, njegova dolžina pa je 100.
    Rešitev:    $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(-28,96)$
18. Dan je vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=18\stackrel{\rightharpoonup }{ı}-24\stackrel{\rightharpoonup }{ȷ}$. Zapiši vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$, ki ima enako smer in nasprotno orientacijo kot vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$, njegova dolžina pa je 1.
    Rešitev:    $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=-\frac{3}{5}\stackrel{\rightharpoonup }{ı}+\frac{4}{5}\stackrel{\rightharpoonup }{ȷ}=(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})$
19. Dani so vektorji $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(4,-6),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(6,7)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(10,9)$. Zapiši vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$ kot linearno kombinacijo vektorjev $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$.
    Rešitev:    $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=\frac{1}{4}\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\frac{3}{2}\stackrel{\rightharpoonup }{b}$
20. Dana sta vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(3,4)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(5,6)$. Zapiši vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{ı}$ kot linearno kombinacijo vektorjev $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$, če se da.
    Rešitev:    Se da:  $\stackrel{\rightharpoonup }{ı}=-3\stackrel{\rightharpoonup }{a}+2\stackrel{\rightharpoonup }{b}$
21. Dana sta vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(6,-5)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(3,4)$.
    

    (a)    Ugotovi, ali vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ sestavljata bazo ravnine.

    (b)    Izrazi vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(27,-55)$ kot linearno kombinacijo vektorjev $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$, če se da.

    Rešitev:    (a)  Vektorja sta nekolinearna in različna od $\stackrel{\rightharpoonup }{0}$, torej sestavljata bazo ravnine.   (b)  Se da: $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=7\stackrel{\rightharpoonup }{a}-5\stackrel{\rightharpoonup }{b}$
22. Dana sta vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(2,-6)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(-3,9)$.
    

    (a)    Ugotovi, ali vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ sestavljata bazo ravnine.

    (b)    Izrazi vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(2,9)$ kot linearno kombinacijo vektorjev $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$, če se da.

    Rešitev:    (a)  Vektorja sta kolinearna, torej ne sestavljata baze ravnine.   (b)  Se ne da.
23. Dana sta vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(3,1)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(2,-1)$.
    

    (a)    Nariši ta dva vektorja.

    (b)    Izračunaj dolžini obeh vektorjev.

    (c)    Izračunaj skalarni produkt $\stackrel{\rightharpoonup }{a}\stackrel{\rightharpoonup }{b}$.

    (d)    Izračunaj kot med vektorjema $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$.

    Rešitev:    (a)  …   (b)  $|\stackrel{\rightharpoonup }{a}|=\sqrt{10},|\stackrel{\rightharpoonup }{b}|=\sqrt{5}$,    (c)  $\stackrel{\rightharpoonup }{a}\stackrel{\rightharpoonup }{b}=5$,    (d)  $\phi ={45}^{\circ }$
24. Dani so vektorji $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(2,-9),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(3,-2)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(6,5)$. Izračunaj kot med vektorjema $\stackrel{\rightharpoonup }{u}=\stackrel{\rightharpoonup }{a}+6\stackrel{\rightharpoonup }{b}$  in  $\stackrel{\rightharpoonup }{v}=\stackrel{\rightharpoonup }{b}+2\stackrel{\rightharpoonup }{c}$. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\stackrel{\rightharpoonup }{u}=(20,-21),\stackrel{\rightharpoonup }{v}=(15,8);\phi \doteq {74}^{\circ }{28}^{\prime }$
25. Dana sta vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(15,-20)$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(24,m)$. Določi realni parameter $m$ tako, da bosta vektorja
    

    (a)    pravokotna,

    (b)    enako dolga.

    Rešitev:    (a)  $m=18$,    (b)  $m_1=7,m_2=-7$
26. Trikotnik ima oglišča v točkah $A(3,1),B(7,4)$ in $C(4,8)$. Izračunaj velikosti vseh treh kotov in dolžine vseh treh stranic v tem trikotniku. Ugotovi, kakšne vrste trikotnik je to.
    Rešitev:    Koti: $\alpha =\gamma ={45}^{\circ },\beta ={90}^{\circ }$,  stranice: $a=c=5,b=5\sqrt{2}$. To je enakokraki pravokotni trikotnik.
27. Trikotnik ima oglišča v točkah $A(-3,3),B(20,-5)$ in $C(8,4)$. Izračunaj, koliko meri največji kot v tem trikotniku. Rezultat zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    Največji je kot $\gamma \doteq {137}^{\circ }{56}^{\prime }$.
28. Dani so vektorji $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(\frac{3}{5},\frac{4}{5}),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(-\frac{4}{5},\frac{3}{5})$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=(2,1)$.
    

    (a)   Dokaži, da vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ sestavljata ortonormirano bazo ravnine.

    (b)   Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$ razvij po bazi $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b}$.

    Rešitev:    (a)  Vektorja sta enotska $(|\stackrel{\rightharpoonup }{a}|=|\stackrel{\rightharpoonup }{b}|=1)$ in pravokotna $(\stackrel{\rightharpoonup }{a}\cdot \stackrel{\rightharpoonup }{b}=0)$, torej sestavljata ortonormirano bazo ravnine.    (b)  $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=2\stackrel{\rightharpoonup }{a}-\stackrel{\rightharpoonup }{b}$
29. Vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{e}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ sta enako dolga. Izračunaj kot med vektorjema $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=\stackrel{\rightharpoonup }{e}+\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{b}=\stackrel{\rightharpoonup }{e}-\stackrel{\rightharpoonup }{f}$.
    Rešitev:    $\phi ={90}^{\circ }$
30. Dolžina vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ meri 5 enot, dolžina vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$ pa meri 8 enot. Vektorja oklepata kot ${120}^{\circ }$. Izračunaj dolžino vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{c}=\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{b}$.
    Rešitev:    $|\stackrel{\rightharpoonup }{c}|=7$
31. Vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{e}$ in $\stackrel{\rightharpoonup }{f}$ sta enotska in oklepata kot ${60}^{\circ }$. Izračunaj dolžino vektorja $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=7\stackrel{\rightharpoonup }{e}+8\stackrel{\rightharpoonup }{f}$.
    Rešitev:    $|\stackrel{\rightharpoonup }{a}|=13$
32. Vektor $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$ ima dolžino $\sqrt{2}$ in oklepa kot ${45}^{\circ }$ s pozitivnim delom abscisne osi. Izračunaj $|\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{ı}|$. Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    $|\stackrel{\rightharpoonup }{a}+\stackrel{\rightharpoonup }{ı}|=\sqrt{5}$

 Domov