Geometrija v ravnini

1. Zunanji kot v pravilnem večkotniku meri ${11}^{\circ }{15}^{\prime }$. Izračunaj, koliko stranic in koliko diagonal ima ta večkotnik.
   Rešitev:    Ta večkotnik ima 32 stranic in 464 diagonal.
2. V nekem pravilnem večkotniku je notranji kot devetkrat večji od zunanjega kota. Izračunaj, koliko stranic ima ta večkotnik in koliko meri notranji kot.
   Rešitev:    Ta večkotnik ima 20 stranic in $\alpha ={162}^{\circ }.$
3. V nekem pravilnem večkotniku je notranji kot za ${135}^{\circ }$ večji od zunanjega kota. Izračunaj, koliko stranic ima ta večkotnik in koliko meri notranji kot.
   Rešitev:    Ta večkotnik ima 16 stranic in $\alpha ={157}^{\circ }{30}^{\prime }.$
4. Število diagonal v nekem pravilnem večkotniku je za 25 večje od števila stranic. Izračunaj, koliko meri notranji kot.
   Rešitev:    Ta večkotnik ima 10 stranic in $\alpha ={144}^{\circ }.$
5. Konstruiraj trikotnik:
     (a)    $\alpha ={120}^{\circ },c=5\mathrm{cm},t_b=7\mathrm{cm}$
     (b)    $\gamma ={120}^{\circ },v_a=4\mathrm{cm},t_b=7\mathrm{cm}$
     (c)    $a=7\mathrm{cm},b=9\mathrm{cm},v_c=6\mathrm{cm}$
     (d)    $b=6\mathrm{cm},v_b=2\mathrm{cm},v_c=5\mathrm{cm}$
     (e)    $\alpha ={30}^{\circ },v_b=2\mathrm{cm},t_b=2,5\mathrm{cm}$
   Namigi:    Primeri (c), (d) in (e) imajo po dve neskladni rešitvi.
6. Konstruiraj trikotnik:
     (a)    $c=8\mathrm{cm},v_a=v_b=5\mathrm{cm}$
     (b)    $c=7\mathrm{cm},v_a=6\mathrm{cm},v_b=2\mathrm{cm}$
     (c)    $a=b=7\mathrm{cm},v_a=4\mathrm{cm}$
   Namigi:    Pomagaj si s Talesovim izrekom. Primer (b) ima dve neskladni rešitvi.
7. Konstruiraj trikotnik:
     (a)    $c=5\mathrm{cm},v_c=7\mathrm{cm},\gamma ={30}^{\circ }$
     (b)    $\alpha ={75}^{\circ },a=7\mathrm{cm},v_a=3,5\mathrm{cm}$
     (c)    $\beta ={120}^{\circ },b=11\mathrm{cm},t_b=4\mathrm{cm}$
   Namigi:    Pomagaj si z izrekom o središčnem in obodnem kotu. Vsi trije primeri imajo po dve neskladni rešitvi.
8. Konstruiraj trikotnik:
     (a)    $\beta ={120}^{\circ },v_c=3\mathrm{cm},t_b=4\mathrm{cm}$
     (b)    $b=5\mathrm{cm},c=9\mathrm{cm},t_a=4\mathrm{cm}$
   Namigi:    Pomagaj si z dopolnjevanjem do paralelograma.
9. Konstruiraj paralelogram:
     (a)    $\alpha ={75}^{\circ },a=6\mathrm{cm},e=8\mathrm{cm}$
     (b)    $v_a=7\mathrm{cm},e=12\mathrm{cm},f=8\mathrm{cm}$
     (c)    $\alpha ={60}^{\circ },e=12\mathrm{cm},f=9\mathrm{cm}$
   Namigi:    Primera (b) in (c) imata po dve neskladni rešitvi. Primer (c) lahko rešiš s pomočjo izreka o središčnem in obodnem kotu.
10. Konstruiraj trapez:
      (a)    $a=7\mathrm{cm},b=5\mathrm{cm},c=2\mathrm{cm},v=4\mathrm{cm}$
      (b)    $a=7\mathrm{cm},b=8\mathrm{cm},c=2\mathrm{cm},d=5\mathrm{cm}$
      (c)    $a=10\mathrm{cm},v=3\mathrm{cm},c=4\mathrm{cm},<)ADB={105}^{\circ }$
    Namigi:    Primera (a) in (c) imata po dve neskladni rešitvi. Primer (c) lahko rešiš s pomočjo izreka o središčnem in obodnem kotu.
11. Konstruiraj enakokraki trapez s podatki $a=8\mathrm{cm},v=2,5\mathrm{cm},<)ACB={90}^{\circ }$ in mu očrtaj krožnico.
    Namigi:    Pri konstrukciji trapeza si lahko pomagaš s Talesovim izrekom. Pri tem tudi takoj dobiš očrtano krožnico in je ni treba risati še posebej.
12. Konstruiraj deltoid:
      (a)    $\alpha =\gamma ={120}^{\circ },a=b=6\mathrm{cm},f=9\mathrm{cm}$
      (b)    $\alpha =\gamma ={105}^{\circ },e=6\mathrm{cm},f=10\mathrm{cm}$
    Namigi:    Primer (b) ima dve neskladni rešitvi. Rešiš ga lahko s pomočjo izreka o središčnem in obodnem kotu.
13. Paralelogram $ABCD$ ima podatke $a=10\mathrm{cm},b=3\mathrm{cm},\alpha ={60}^{\circ }$. Nariši ta paralelogram in ga prezrcali čez nosilko diagonale $f$.
14. Trikotnik $\mathrm{△}ABC$ ima podatke $a=5\mathrm{cm},b=6\mathrm{cm},c=7\mathrm{cm}$. Nariši ta trikotnik in ga prezrcali čez središče očrtane krožnice.
15. Nariši kvadrat $ABCD$ s stranico $a=4\mathrm{cm}$ in ga zasukaj okoli oglišča $A$ za kot ${120}^{\circ }$ (v pozitivni smeri $\circlearrowleft$).
16. Enakokraki trapez ima stranice $a=30\mathrm{cm},b=d=17\mathrm{cm}$ in $c=14\mathrm{cm}.$ Izračunaj višino tega trapeza.
    Rešitev:    Višina:  $v=15\mathrm{cm}.$
17. Enakokraki trapez ima stranice $a=92\mathrm{cm},b=d=29\mathrm{cm}$ in $c=52\mathrm{cm}.$ Izračunaj diagonali tega trapeza.
    Rešitev:    Diagonali: $e=f=75\mathrm{cm}$ (namig: najprej izračunaj višino:  $v=21\mathrm{cm}$)
18. Konveksni deltoid ima podatke $a=b=20\mathrm{cm},c=d=13\mathrm{cm},e=24\mathrm{cm}.$ Izračunaj, koliko meri diagonala $f$.
    Rešitev:    $f=21\mathrm{cm}.$
19. V pravokotniku meri stranica $a=70\mathrm{cm}$, diagonala pa je $50\mathrm{cm}$ daljša od stranice $b.$ Izračunaj, koliko meri diagonala.
    Rešitev:    Diagonala meri $74\mathrm{cm}.$
20. Daljica $AB$ in premica $p$ ležita v isti ravnini. Točka $A$ je 5 enot oddaljena od premice $p$, točka $B$ pa je 40 enot oddaljena od premice $p$. Dolžina daljice $AB$ meri 37 enot. Izračunaj, koliko meri dolžina projekcije te daljice na premico $p$.
    Rešitev:    $|A^{\prime }{B}^{\prime }|=12$ enot
21. Daljica $AB$ in premica $p$ ležita v isti ravnini. Točka $A$ je 2 enoti oddaljena od premice $p$, točka $B$ pa je 30 enot oddaljena od premice $p$. Dolžina daljice $AB$ meri 8 enot več kot dolžina projekcije te daljice na premico $p$. Izračunaj dolžino daljice $AB$. Zapiši vse možne rešitve.
    Rešitev:    (1) $|AB|=53$ enot, (2) $|AB|=68$ enot
22. Trikotnik $\mathrm{△}ABC$ ima stranice $a=24\mathrm{cm},b=18\mathrm{cm}$ in $c=33\mathrm{cm}$. Temu trikotniku je podoben drugi trikotnik $\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. V drugem trikotniku je najdaljša stranica za $10\mathrm{cm}$ daljša od najkrajše stranice. Izračunaj, koliko merijo stranice drugega trikotnika.
    Rešitev:    $a^{\prime }=16\mathrm{cm},b^{\prime }=12\mathrm{cm},c^{\prime }=22\mathrm{cm}$
23. Enakokraki trapez $ABCD$ ima osnovnici $a=30\mathrm{cm},c=18\mathrm{cm}$ in diagonali $e=f=40\mathrm{cm}$. Diagonali se sekata v točki $S$.
      (a)   Izračunaj oddaljenost točke $S$ od točke $A$.
      (b)   Izračunaj oddaljenost točke $S$ od stranice $a$.
    Rešitev:    (a) $25\mathrm{cm}$,     (b) $20\mathrm{cm}$
24. Enakokraki trikotnik $\mathrm{△}ABC$ ima podatke $a=b=48\mathrm{cm},c=42\mathrm{cm}.$ Kraka tega trikotnika povežemo z daljico $UV$, ki meri $35\mathrm{cm}$ in je vzporedna s stranico $c.$ Izračunaj dolžini krakov trapeza $ABVU.$
    Rešitev:    $|AU|=|BV|=8\mathrm{cm}.$
25. Pravokotni trikotnik ima kateti $a=12\mathrm{cm},b=16\mathrm{cm}.$ Izračunaj:
      (a)    projekciji katet na hipotenuzo,
      (b)    višino na hipotenuzo,
      (c)    kota $\alpha$ in $\beta$ (v stopinjah in minutah).
    Rešitev:    (a) $a_1=7,2\mathrm{cm},b_1=12,8\mathrm{cm},$     (b) $v_c=9,6\mathrm{cm},$     (c) $\alpha \doteq {36}^{\circ }{52}^{\prime },\beta \doteq {53}^{\circ }{8}^{\prime }.$
26. Diagonala pravokotnika meri $e=19\mathrm{cm}$, kot med diagonalo in stranico $a$ pa meri $\phi ={54}^{\circ }{45}^{\prime }.$ Izračunaj, koliko merita stranici pravokotnika. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    $a\doteq 10,97\mathrm{cm},b\doteq 15,52\mathrm{cm}$
27. Pravokotnik $ABCD$ ima stranici $a=24\mathrm{cm},b=7\mathrm{cm}.$ Če točki $B$ in $D$ pravokotno projiciramo na diagonalo $e,$ dobimo točki $B^{\prime }$ in $D^{\prime }.$ Izračunaj dolžino daljice $B^{\prime }{D}^{\prime }.$ Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    $|B^{\prime }{D}^{\prime }|=21\frac{2}{25}\mathrm{cm}=21,08\mathrm{cm}.$
28. V krožnico s polmerom $8\mathrm{cm}$ včrtamo pravilni devetkotnik. Izračunaj dolžino stranice devetkotnika in najkrajše diagonale. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    Stranica: $a\doteq 5,472\mathrm{cm},$   diagonala: $d\doteq 10,28\mathrm{cm}.$
29. Trikotnik $\mathrm{△}ABC$ ima podatke $\alpha ={71}^{\circ },b=6\mathrm{cm},c=7\mathrm{cm}$. Izračunaj $v_c$ in $a$. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    $v_c\doteq 5,673\mathrm{cm},a\doteq 7,593\mathrm{cm}$
30. Trikotnik $\mathrm{△}ABC$ ima stranice $a=19\mathrm{cm},b=26\mathrm{cm},c=35\mathrm{cm}$. Izračunaj vse tri kote v tem trikotniku. Zapiši jih v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\alpha \doteq {32}^{\circ }{12}^{\prime },\beta \doteq {46}^{\circ }{50}^{\prime },\gamma \doteq {100}^{\circ }{58}^{\prime }$
31. Trapez ima podatke $a=10\mathrm{cm},b=7\mathrm{cm},c=3\mathrm{cm},\beta ={58}^{\circ }$. Izračunaj, koliko meri diagonala $e$. Rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    $e\doteq 8,649\mathrm{cm}$
32. Paralelogram ima podatke $b=13\mathrm{cm},e=30\mathrm{cm},f=14\mathrm{cm}$. Izračunaj, koliko meri ostri kot med diagonalama.
    Rešitev:    $\phi ={60}^{\circ }$
33. Trikotnik $\mathrm{△}ABC$ ima podatke $a=8\mathrm{cm},c=12\mathrm{cm},\beta ={52}^{\circ }$. Izračunaj, koliko meri ostri kot med težiščnico na $c$ in stranico $c$. Kot zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    $\phi \doteq {80}^{\circ }{20}^{\prime }$

 Domov