Geometrija v ravnini

1. Zunanji kot v pravilnem večkotniku meri \(11^\circ15'\). Izračunaj, koliko stranic in koliko diagonal ima ta večkotnik.
   Rešitev:    Ta večkotnik ima 32 stranic in 464 diagonal.
2. V nekem pravilnem večkotniku je notranji kot devetkrat večji od zunanjega kota. Izračunaj, koliko stranic ima ta večkotnik in koliko meri notranji kot.
   Rešitev:    Ta večkotnik ima 20 stranic in \(\alpha=162^\circ.\)
3. V nekem pravilnem večkotniku je notranji kot za \(135^\circ\) večji od zunanjega kota. Izračunaj, koliko stranic ima ta večkotnik in koliko meri notranji kot.
   Rešitev:    Ta večkotnik ima 16 stranic in \(\alpha=157^\circ30'.\)
4. Število diagonal v nekem pravilnem večkotniku je za 25 večje od števila stranic. Izračunaj, koliko meri notranji kot.
   Rešitev:    Ta večkotnik ima 10 stranic in \(\alpha=144^\circ.\)
5. Konstruiraj trikotnik:
     (a)    \(\alpha=120^\circ,~ c=5~\mathrm{cm},~ t_b=7~\mathrm{cm}\)
     (b)    \(\gamma=120^\circ,~ v_a=4~\mathrm{cm},~ t_b=7~\mathrm{cm}\)
     (c)    \(a=7~\mathrm{cm},~ b=9~\mathrm{cm},~ v_c=6~\mathrm{cm}\)
     (d)    \(b=6~\mathrm{cm},~ v_b=2~\mathrm{cm},~ v_c=5~\mathrm{cm}\)
     (e)    \(\alpha=30^\circ,~ v_b=2~\mathrm{cm},~ t_b=2,\!5~\mathrm{cm}\)
   Namigi:    Primeri (c), (d) in (e) imajo po dve neskladni rešitvi.
6. Konstruiraj trikotnik:
     (a)    \(c=8~\mathrm{cm},~ v_a=v_b=5~\mathrm{cm}\)
     (b)    \(c=7~\mathrm{cm},~ v_a=6~\mathrm{cm},~ v_b=2~\mathrm{cm}\)
     (c)    \(a=b=7~\mathrm{cm},~ v_a=4~\mathrm{cm}\)
   Namigi:    Pomagaj si s Talesovim izrekom. Primer (b) ima dve neskladni rešitvi.
7. Konstruiraj trikotnik:
     (a)    \(c=5~\mathrm{cm},~ v_c=7~\mathrm{cm},~ \gamma=30^\circ\)
     (b)    \(\alpha=75^\circ,~ a=7~\mathrm{cm},~ v_a=3,\!5~\mathrm{cm}\)
     (c)    \(\beta=120^\circ,~ b=11~\mathrm{cm},~ t_b=4~\mathrm{cm}\)
   Namigi:    Pomagaj si z izrekom o središčnem in obodnem kotu. Vsi trije primeri imajo po dve neskladni rešitvi.
8. Konstruiraj trikotnik:
     (a)    \(\beta=120^\circ,~ v_c=3~\mathrm{cm},~ t_b=4~\mathrm{cm}\)
     (b)    \(b=5~\mathrm{cm},~ c=9~\mathrm{cm},~ t_a=4~\mathrm{cm}\)
   Namigi:    Pomagaj si z dopolnjevanjem do paralelograma.
9. Konstruiraj paralelogram:
     (a)    \(\alpha=75^\circ,~ a=6~\mathrm{cm},~ e=8~\mathrm{cm}\)
     (b)    \(v_a=7~\mathrm{cm},~ e=12~\mathrm{cm},~ f=8~\mathrm{cm}\)
     (c)    \(\alpha=60^\circ,~ e=12~\mathrm{cm},~ f=9~\mathrm{cm}\)
   Namigi:    Primera (b) in (c) imata po dve neskladni rešitvi. Primer (c) lahko rešiš s pomočjo izreka o središčnem in obodnem kotu.
10. Konstruiraj trapez:
      (a)    \(a=7~\mathrm{cm},~ b=5~\mathrm{cm},~ c=2~\mathrm{cm},~ v=4~\mathrm{cm}\)
      (b)    \(a=7~\mathrm{cm},~ b=8~\mathrm{cm},~ c=2~\mathrm{cm},~ d=5~\mathrm{cm}\)
      (c)    \(a=10~\mathrm{cm},~ v=3~\mathrm{cm},~ c=4~\mathrm{cm},~ \lt\!\!\!) ADB=105^\circ\)
    Namigi:    Primera (a) in (c) imata po dve neskladni rešitvi. Primer (c) lahko rešiš s pomočjo izreka o središčnem in obodnem kotu.
11. Konstruiraj enakokraki trapez s podatki \(a=8~\mathrm{cm},~ v=2,\!5~\mathrm{cm},~ \lt\!\!\!) ACB=90^\circ\) in mu očrtaj krožnico.
    Namigi:    Pri konstrukciji trapeza si lahko pomagaš s Talesovim izrekom. Pri tem tudi takoj dobiš očrtano krožnico in je ni treba risati še posebej.
12. Konstruiraj deltoid:
      (a)    \(\alpha=\gamma=120^\circ,~ a=b=6~\mathrm{cm},~ f=9~\mathrm{cm}\)
      (b)    \(\alpha=\gamma=105^\circ,~ e=6~\mathrm{cm},~ f=10~\mathrm{cm}\)
    Namigi:    Primer (b) ima dve neskladni rešitvi. Rešiš ga lahko s pomočjo izreka o središčnem in obodnem kotu.
13. Paralelogram \(ABCD\) ima podatke \(a=10~\mathrm{cm},~ b=3~\mathrm{cm},~ \alpha=60^\circ\). Nariši ta paralelogram in ga prezrcali čez nosilko diagonale \(f\).
14. Trikotnik \(\triangle ABC\) ima podatke \(a=5~\mathrm{cm},~ b=6~\mathrm{cm},~ c=7~\mathrm{cm}\). Nariši ta trikotnik in ga prezrcali čez središče očrtane krožnice.
15. Nariši kvadrat \(ABCD\) s stranico \(a=4~\mathrm{cm}\) in ga zasukaj okoli oglišča \(A\) za kot \(120^\circ\) (v pozitivni smeri \(\circlearrowleft\)).
16. Enakokraki trapez ima stranice \(a=30~\mathrm{cm},~ b=d=17~\mathrm{cm}\) in \(c=14~\mathrm{cm}.\) Izračunaj višino tega trapeza.
    Rešitev:    Višina:  \(v=15~\mathrm{cm}.\)
17. Enakokraki trapez ima stranice \(a=92~\mathrm{cm},~ b=d=29~\mathrm{cm}\) in \(c=52~\mathrm{cm}.\) Izračunaj diagonali tega trapeza.
    Rešitev:    Diagonali: \(e=f=75~\mathrm{cm}\) (namig: najprej izračunaj višino:  \(v=21~\mathrm{cm}\))
18. Konveksni deltoid ima podatke \(a=b=20~\mathrm{cm},~ c=d=13~\mathrm{cm},~ e=24~\mathrm{cm}.\) Izračunaj, koliko meri diagonala \(f\).
    Rešitev:    \(f=21~\mathrm{cm}.\)
19. V pravokotniku meri stranica \(a=70~\mathrm{cm}\), diagonala pa je \(50~\mathrm{cm}\) daljša od stranice \(b.\) Izračunaj, koliko meri diagonala.
    Rešitev:    Diagonala meri \(74~\mathrm{cm}.\)
20. Daljica \(AB\) in premica \(p\) ležita v isti ravnini. Točka \(A\) je 5 enot oddaljena od premice \(p\), točka \(B\) pa je 40 enot oddaljena od premice \(p\). Dolžina daljice \(AB\) meri 37 enot. Izračunaj, koliko meri dolžina projekcije te daljice na premico \(p\).
    Rešitev:    \(|A'B'|=12\) enot
21. Daljica \(AB\) in premica \(p\) ležita v isti ravnini. Točka \(A\) je 2 enoti oddaljena od premice \(p\), točka \(B\) pa je 30 enot oddaljena od premice \(p\). Dolžina daljice \(AB\) meri 8 enot več kot dolžina projekcije te daljice na premico \(p\). Izračunaj dolžino daljice \(AB\). Zapiši vse možne rešitve.
    Rešitev:    (1) \(|AB|=53\) enot, (2) \(|AB|=68\) enot
22. Trikotnik \(\triangle ABC\) ima stranice \(a=24~\mathrm{cm},~ b=18~\mathrm{cm}\) in \(c=33~\mathrm{cm}\). Temu trikotniku je podoben drugi trikotnik \(\triangle A'B'C'\). V drugem trikotniku je najdaljša stranica za \(10~\mathrm{cm}\) daljša od najkrajše stranice. Izračunaj, koliko merijo stranice drugega trikotnika.
    Rešitev:    \(a'=16~\mathrm{cm},~ b'=12~\mathrm{cm},~ c'=22~\mathrm{cm}\)
23. Enakokraki trapez \(ABCD\) ima osnovnici \(a=30~\mathrm{cm},~ c=18~\mathrm{cm}\) in diagonali \(e=f=40~\mathrm{cm}\). Diagonali se sekata v točki \(S\).
      (a)   Izračunaj oddaljenost točke \(S\) od točke \(A\).
      (b)   Izračunaj oddaljenost točke \(S\) od stranice \(a\).
    Rešitev:    (a) \(25~\mathrm{cm}\),     (b) \(20~\mathrm{cm}\)
24. Enakokraki trikotnik \(\triangle ABC\) ima podatke \(a=b=48~\mathrm{cm},~ c=42~\mathrm{cm}.\) Kraka tega trikotnika povežemo z daljico \(UV\), ki meri \(35~\mathrm{cm}\) in je vzporedna s stranico \(c.\) Izračunaj dolžini krakov trapeza \(ABVU.\)
    Rešitev:    \(|AU|=|BV|=8~\mathrm{cm}.\)
25. Pravokotni trikotnik ima kateti \(a=12~\mathrm{cm},~ b=16~\mathrm{cm}.\) Izračunaj:
      (a)    projekciji katet na hipotenuzo,
      (b)    višino na hipotenuzo,
      (c)    kota \(\alpha\) in \(\beta\) (v stopinjah in minutah).
    Rešitev:    (a) \(a_1=7,\!2~\mathrm{cm},~ b_1=12,\!8~\mathrm{cm},\)     (b) \(v_c=9,\!6~\mathrm{cm},\)     (c) \(\alpha\doteq36^\circ52',~ \beta\doteq53^\circ8'.\)
26. Diagonala pravokotnika meri \(e=19~\mathrm{cm}\), kot med diagonalo in stranico \(a\) pa meri \(\varphi=54^\circ45'.\) Izračunaj, koliko merita stranici pravokotnika. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(a\doteq10,\!97~\mathrm{cm},~ b\doteq15,\!52~\mathrm{cm}\)
27. Pravokotnik \(ABCD\) ima stranici \(a=24~\mathrm{cm},~ b=7~\mathrm{cm}.\) Če točki \(B\) in \(D\) pravokotno projiciramo na diagonalo \(e,\) dobimo točki \(B'\) in \(D'.\) Izračunaj dolžino daljice \(B'D'.\) Rezultat naj bo točen.
    Rešitev:    \(|B'D'|=21\frac{2}{25}~\mathrm{cm}=21,\!08~\mathrm{cm}.\)
28. V krožnico s polmerom \(8~\mathrm{cm}\) včrtamo pravilni devetkotnik. Izračunaj dolžino stranice devetkotnika in najkrajše diagonale. Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    Stranica: \(a\doteq5,\!472~\mathrm{cm},\)   diagonala: \(d\doteq10,\!28~\mathrm{cm}.\)
29. Trikotnik \(\triangle ABC\) ima podatke \(\alpha=71^\circ,~ b=6~\mathrm{cm},~ c=7~\mathrm{cm}\). Izračunaj \(v_c\) in \(a\). Rezultata zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(v_c\doteq5,\!673~\mathrm{cm},~ a\doteq7,\!593~\mathrm{cm}\)
30. Trikotnik \(\triangle ABC\) ima stranice \(a=19~\mathrm{cm},~ b=26~\mathrm{cm},~ c=35~\mathrm{cm}\). Izračunaj vse tri kote v tem trikotniku. Zapiši jih v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\alpha\doteq32^\circ12',~ \beta\doteq46^\circ50',~ \gamma\doteq100^\circ58'\)
31. Trapez ima podatke \(a=10~\mathrm{cm},~ b=7~\mathrm{cm},~ c=3~\mathrm{cm},~ \beta=58^\circ\). Izračunaj, koliko meri diagonala \(e\). Rezultat zaokroži na štiri mesta.
    Rešitev:    \(e\doteq8,\!649~\mathrm{cm}\)
32. Paralelogram ima podatke \(b=13~\mathrm{cm},~ e=30~\mathrm{cm},~ f=14~\mathrm{cm}\). Izračunaj, koliko meri ostri kot med diagonalama.
    Rešitev:    \(\varphi=60^\circ\)
33. Trikotnik \(\triangle ABC\) ima podatke \(a=8~\mathrm{cm},~ c=12~\mathrm{cm},~ \beta=52^\circ\). Izračunaj, koliko meri ostri kot med težiščnico na \(c\) in stranico \(c\). Kot zapiši v stopinjah in minutah.
    Rešitev:    \(\varphi\doteq80^\circ20'\)

 Domov