Geometrija v ravnini

1. Izračunaj, koliko diagonal ima pravilni osemnajstkotnik. Koliko meri notranji kot v tem večkotniku?
   Rešitev:    Ima 135 diagonal, notranji kot meri \(\alpha=160^\circ.\)
2. Neki pravilni večkotnik ima 27 diagonal. Izračunaj, koliko stranic ima in koliko meri zunanji kot tega večkotnika.
   Rešitev:    Ima 9 stranic (to je devetkotnik), zunanji kot meri \(\alpha\,'=40^\circ.\)
3. Notranji kot v pravilnem večkotniku meri \(156^\circ.\) Izračunaj, koliko diagonal ima ta večkotnik.
   Rešitev:    To je 15-kotnik, ima 90 diagonal.
4. Štirikotnik ima kote \(\alpha=73^\circ12'15'',~ \beta=58^\circ20'\) in \(\gamma=121^\circ40'.\) Izračunaj, koliko meri kot \(\delta\). Ali veš, katere vrste štirikotnik je to?
   Rešitev:    Kot \(\delta=106^\circ47'45''\). To je trapez (ker je \(\alpha+\delta=180^\circ\) in \(\beta+\gamma=180^\circ\)).
5. Konstruiraj trikotnike s podatki:
     (a)    \(b=7~\mathrm{cm},~ c=5,\!5~\mathrm{cm},~ \gamma=45^\circ\)
     (b)    \(\beta=60^\circ,~ c=5~\mathrm{cm},~ t_c=7~\mathrm{cm}\)
     (c)    \(a=5~\mathrm{cm},~ c=6~\mathrm{cm},~ v_c=4~\mathrm{cm}\)
     (d)    \(\alpha=75^\circ,~ v_c=5~\mathrm{cm},~ t_b=6~\mathrm{cm}\)
   Namigi:    Primera (a) in (c) imata po dve neskladni rešitvi.
6. Konstruiraj trikotnike s podatki:
     (a)    \(\alpha=75^\circ,~ v_b=4~\mathrm{cm},~ t_b=5~\mathrm{cm}\)
     (b)    \(\alpha=30^\circ,~ v_c=3~\mathrm{cm},~ a=4~\mathrm{cm}\)
     (c)    \(\alpha=\beta=30^\circ,~ v_a=4~\mathrm{cm}\)
   Namigi:    V primeru (c) lahko izračunaš tretji kot.
7. Konstruiraj trikotnike s podatki:
     (a)    \(c=9~\mathrm{cm},~ v_c=4~\mathrm{cm},~ \gamma=90^\circ\)
     (b)    \(c=7~\mathrm{cm},~ v_a=v_b=6~\mathrm{cm}\)
   Namigi:    Pomagaj si s Talesovim izrekom (nariši polkrog). Primer (a) ima dve neskladni rešitvi.
8. Nariši trikotnik s podatki \(a=5~\mathrm{cm},~ b=7~\mathrm{cm},~ c=4~\mathrm{cm}\) in ga prezrcali čez oglišče \(B\).
   
9. Nariši trikotnik s podatki \(a=4~\mathrm{cm},~ \beta=120^\circ,~ c=3~\mathrm{cm}\) in ga prezrcali čez nosilko višine na \(c\).
   
10. Pravokotni trikotnik ima kateti \(a=\frac{11}{2}~\mathrm{cm},~ b=\frac{28}{3}~\mathrm{cm}.\) Izračunaj dolžino hipotenuze. Rezultat naj bo točen (zapiši ga v obliki ulomka).
    Rešitev:    Hipotenuza: \(c=\frac{65}{6}~\mathrm{cm}.\)
11. Pravokotnik ima stranici \(a=21~\mathrm{cm},~ b=20~\mathrm{cm}.\) Izračunaj, koliko meri diagonala tega pravokotnika.
    Rešitev:    Diagonala meri \(29~\mathrm{cm}.\)
12. Enakokraki trikotnik ima stranici \(41~\mathrm{cm}\) in \(18~\mathrm{cm}.\) Izračunaj obseg in višino na osnovnico.
    Rešitev:    Obseg: \(o=100~\mathrm{cm}\),  višina: \(v_c=40~\mathrm{cm}.\)
    Namig:    Tretja stranica mora meriti \(41~\mathrm{cm}.\)
    Namreč:  Trikotnik s stranicami \(41~\mathrm{cm},~ 41~\mathrm{cm},~ 18~\mathrm{cm}\) obstaja; trikotnik s stranicami \(18~\mathrm{cm},~ 18~\mathrm{cm},~ 41~\mathrm{cm}\) pa ne obstaja.
13. Romb ima diagonali \(e=24~\mathrm{cm},~ f=18~\mathrm{cm}.\) Izračunaj, koliko meri stranica tega romba.
    Rešitev:    Stranica: \(a=15~\mathrm{cm}.\)
14. Točka \(A\) leži na premici \(p.\) Točka \(B\) je \(2,\!4~\mathrm{cm}\) oddaljena od premice \(p\) in hkrati \(7,\!4~\mathrm{cm}\) oddaljena od točke \(A.\) Izračunaj dolžino projekcije daljice \(AB\) na premico \(p.\) Nariši ustrezno sliko.
    Rešitev:    Dolžina projekcije: \(|A'B'|=7~\mathrm{cm}.\)
15. Konstruiraj paralelograme s podatki:
      (a)    \(a=7~\mathrm{cm},~ \beta=105^\circ,~ e=9~\mathrm{cm}\)
      (b)    \(\alpha=60^\circ,~ a=8~\mathrm{cm},~ v_a=3~\mathrm{cm}\)
      (c)    \(\alpha=45^\circ,~ v_a=4~\mathrm{cm},~ v_b=6~\mathrm{cm}\)
      (d)    \(a=5~\mathrm{cm},~ v_a=6~\mathrm{cm},~ b=7~\mathrm{cm}\)
    Namigi:    Primer (d) ima dve neskladni rešitvi.
16. Konstruiraj trikotnik s podatki:
      (a)    \(\alpha=75^\circ,~ b=3~\mathrm{cm},~ t_a=5~\mathrm{cm}\)
      (b)    \(\alpha=60^\circ,~ v_c=4~\mathrm{cm},~ t_a=5~\mathrm{cm}\)
    Namigi:    Oba primera lahko rešiš z dopolnjevanjem do paralelograma.
17. Konstruiraj romb s podatki:
      (a)    \(e=6~\mathrm{cm},~ f=4~\mathrm{cm}\)
      (b)    \(a=5~\mathrm{cm},~ f=3~\mathrm{cm}\)
    
18. Konstruiraj pravokotnik s podatki:
      (a)    \(a=8~\mathrm{cm},~ e=9~\mathrm{cm}\)
      (b)    \(a=7~\mathrm{cm},~ R=4~\mathrm{cm}\) (radij očrtane krožnice)
    
19. Prvi trikotnik ima stranice \(a=7~\mathrm{cm},~ b=5~\mathrm{cm},~ c=10~\mathrm{cm}\). Drugi trikotnik je temu podoben in ima obseg \(o'=55~\mathrm{cm}\). Izračunaj, koliko merijo stranice drugega trikotnika.
    Rešitev:    \(a'=17,\!5~\mathrm{cm},~ b'=12,\!5~\mathrm{cm},~ c'=25~\mathrm{cm}\)
20. Enakokraki trikotnik ima stranice \(a=b=25~\mathrm{cm},~ c=14~\mathrm{cm}\). Drugi trikotnik je temu podoben in ima višino \({v_c}'=12~\mathrm{cm}\). Izračunaj, koliko merijo stranice drugega trikotnika.
    Rešitev:    \(a'=b'=12,\!5~\mathrm{cm},~ c'=7~\mathrm{cm}\)