Geometrija v ravnini

1. Izračunaj, koliko diagonal ima pravilni osemnajstkotnik. Koliko meri notranji kot v tem večkotniku?
   Rešitev:    Ima 135 diagonal, notranji kot meri $\alpha=160^\circ.$
2. Neki pravilni večkotnik ima 27 diagonal. Izračunaj, koliko stranic ima in koliko meri zunanji kot tega večkotnika.
   Rešitev:    Ima 9 stranic (to je devetkotnik), zunanji kot meri $\alpha\,'=40^\circ.$
3. Notranji kot v pravilnem večkotniku meri $156^\circ.$ Izračunaj, koliko diagonal ima ta večkotnik.
   Rešitev:    To je 15-kotnik, ima 90 diagonal.
4. Štirikotnik ima kote $\alpha=73^\circ12'15'',~ \beta=58^\circ20'$ in $\gamma=121^\circ40'.$ Izračunaj, koliko meri kot $\delta$. Ali veš, katere vrste štirikotnik je to?
   Rešitev:    Kot $\delta=106^\circ47'45''$. To je trapez (ker je $\alpha+\delta=180^\circ$ in $\beta+\gamma=180^\circ$).
5. Konstruiraj trikotnike s podatki:
     (a)    $b=7~\mathrm{cm},~ c=5,\!5~\mathrm{cm},~ \gamma=45^\circ$
     (b)    $\beta=60^\circ,~ c=5~\mathrm{cm},~ t_c=7~\mathrm{cm}$
     (c)    $a=5~\mathrm{cm},~ c=6~\mathrm{cm},~ v_c=4~\mathrm{cm}$
     (d)    $\alpha=75^\circ,~ v_c=5~\mathrm{cm},~ t_b=6~\mathrm{cm}$
   Namigi:    Primera (a) in (c) imata po dve neskladni rešitvi.
6. Konstruiraj trikotnike s podatki:
     (a)    $\alpha=75^\circ,~ v_b=4~\mathrm{cm},~ t_b=5~\mathrm{cm}$
     (b)    $\alpha=30^\circ,~ v_c=3~\mathrm{cm},~ a=4~\mathrm{cm}$
     (c)    $\alpha=\beta=30^\circ,~ v_a=4~\mathrm{cm}$
   Namigi:    V primeru (c) lahko izračunaš tretji kot.
7. Konstruiraj trikotnike s podatki:
     (a)    $c=9~\mathrm{cm},~ v_c=4~\mathrm{cm},~ \gamma=90^\circ$
     (b)    $c=7~\mathrm{cm},~ v_a=v_b=6~\mathrm{cm}$
   Namigi:    Pomagaj si s Talesovim izrekom (nariši polkrog). Primer (a) ima dve neskladni rešitvi.
8. Nariši trikotnik s podatki $a=5~\mathrm{cm},~ b=7~\mathrm{cm},~ c=4~\mathrm{cm}$ in ga prezrcali čez oglišče $B$.
   
9. Nariši trikotnik s podatki $a=4~\mathrm{cm},~ \beta=120^\circ,~ c=3~\mathrm{cm}$ in ga prezrcali čez nosilko višine na $c$.
   
10. Pravokotni trikotnik ima kateti $a=\frac{11}{2}~\mathrm{cm},~ b=\frac{28}{3}~\mathrm{cm}.$ Izračunaj dolžino hipotenuze. Rezultat naj bo točen (zapiši ga v obliki ulomka).
    Rešitev:    Hipotenuza: $c=\frac{65}{6}~\mathrm{cm}.$
11. Pravokotnik ima stranici $a=21~\mathrm{cm},~ b=20~\mathrm{cm}.$ Izračunaj, koliko meri diagonala tega pravokotnika.
    Rešitev:    Diagonala meri $29~\mathrm{cm}.$
12. Enakokraki trikotnik ima stranici $41~\mathrm{cm}$ in $18~\mathrm{cm}.$ Izračunaj obseg in višino na osnovnico.
    Rešitev:    Obseg: $o=100~\mathrm{cm}$,  višina: $v_c=40~\mathrm{cm}.$
    Namig:    Tretja stranica mora meriti $41~\mathrm{cm}.$
    Namreč:  Trikotnik s stranicami $41~\mathrm{cm},~ 41~\mathrm{cm},~ 18~\mathrm{cm}$ obstaja; trikotnik s stranicami $18~\mathrm{cm},~ 18~\mathrm{cm},~ 41~\mathrm{cm}$ pa ne obstaja.
13. Romb ima diagonali $e=24~\mathrm{cm},~ f=18~\mathrm{cm}.$ Izračunaj, koliko meri stranica tega romba.
    Rešitev:    Stranica: $a=15~\mathrm{cm}.$
14. Točka $A$ leži na premici $p.$ Točka $B$ je $2,\!4~\mathrm{cm}$ oddaljena od premice $p$ in hkrati $7,\!4~\mathrm{cm}$ oddaljena od točke $A.$ Izračunaj dolžino projekcije daljice $AB$ na premico $p.$ Nariši ustrezno sliko.
    Rešitev:    Dolžina projekcije: $|A'B'|=7~\mathrm{cm}.$
15. Konstruiraj paralelograme s podatki:
      (a)    $a=7~\mathrm{cm},~ \beta=105^\circ,~ e=9~\mathrm{cm}$
      (b)    $\alpha=60^\circ,~ a=8~\mathrm{cm},~ v_a=3~\mathrm{cm}$
      (c)    $\alpha=45^\circ,~ v_a=4~\mathrm{cm},~ v_b=6~\mathrm{cm}$
      (d)    $a=5~\mathrm{cm},~ v_a=6~\mathrm{cm},~ b=7~\mathrm{cm}$
    Namigi:    Primer (d) ima dve neskladni rešitvi.
16. Konstruiraj trikotnik s podatki:
      (a)    $\alpha=75^\circ,~ b=3~\mathrm{cm},~ t_a=5~\mathrm{cm}$
      (b)    $\alpha=60^\circ,~ v_c=4~\mathrm{cm},~ t_a=5~\mathrm{cm}$
    Namigi:    Oba primera lahko rešiš z dopolnjevanjem do paralelograma.
17. Konstruiraj romb s podatki:
      (a)    $e=6~\mathrm{cm},~ f=4~\mathrm{cm}$
      (b)    $a=5~\mathrm{cm},~ f=3~\mathrm{cm}$
    
18. Konstruiraj pravokotnik s podatki:
      (a)    $a=8~\mathrm{cm},~ e=9~\mathrm{cm}$
      (b)    $a=7~\mathrm{cm},~ R=4~\mathrm{cm}$ (radij očrtane krožnice)
    
19. Prvi trikotnik ima stranice $a=7~\mathrm{cm},~ b=5~\mathrm{cm},~ c=10~\mathrm{cm}$. Drugi trikotnik je temu podoben in ima obseg $o'=55~\mathrm{cm}$. Izračunaj, koliko merijo stranice drugega trikotnika.
    Rešitev:    $a'=17,\!5~\mathrm{cm},~ b'=12,\!5~\mathrm{cm},~ c'=25~\mathrm{cm}$
20. Enakokraki trikotnik ima stranice $a=b=25~\mathrm{cm},~ c=14~\mathrm{cm}$. Drugi trikotnik je temu podoben in ima višino ${v_c}'=12~\mathrm{cm}$. Izračunaj, koliko merijo stranice drugega trikotnika.
    Rešitev:    $a'=b'=12,\!5~\mathrm{cm},~ c'=7~\mathrm{cm}$